En geometría hiperbólica , el panal dodecaédrico de orden 4 es uno de los cuatro teselados (o panales ) compactos y regulares que llenan el espacio del 3 espacio hiperbólico . Con símbolo de Schläfli {5,3,4}, tiene cuatro dodecaedros alrededor de cada borde y 8 dodecaedros alrededor de cada vértice en una disposición octaédrica . Sus vértices se construyen a partir de 3 ejes ortogonales. Su dual es el panal cúbico de orden 5 .
Un panal geométrico es un relleno espacial de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no queden espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselación matemática más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ("plano") ordinario, como los panales uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo finito uniforme se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
El ángulo diédrico de un dodecaedro regular es ~116,6°, por lo que es imposible encajar 4 de ellos en una arista en el espacio tridimensional euclidiano. Sin embargo, en el espacio hiperbólico, un dodecaedro regular adecuadamente escalado se puede escalar de modo que sus ángulos diédricos se reduzcan a 90 grados, y luego cuatro encajan exactamente en cada borde.
Tiene una construcción de media simetría, {5,3 1,1 }, con dos tipos (colores) de dodecaedros en la construcción de Wythoff .
↔
.
Una vista del panal dodecaédrico de orden 4 según el modelo de Beltrami-Klein
Hay cuatro panales compactos regulares en el espacio hiperbólico 3D:
Hay quince panales uniformes en la familia del grupo Coxeter [5,3,4] , incluida esta forma regular.
Hay once panales uniformes en la familia del grupo Coxeter bifurcado [5,3 1,1 ], incluido este panal en su forma alterna. Esta construcción se puede representar alternando (tablero de ajedrez) con dos colores de celdas dodecaédricas.
Este panal también está relacionado con el panal cúbico de 16 celdas y el panal de mosaico hexagonal de orden 4, todos los cuales tienen figuras de vértices octaédricos:
Este panal es parte de una secuencia de policoras y panales con células dodecaédricas :
El panal dodecaédrico de orden 4 rectificado ,, tiene celdas de octaedro e icosidodecaedro alternadas , con figura de vértice de prisma cuadrado .
Existen cuatro panales regulares compactos rectificados:
El panal dodecaédrico de orden 4 truncado ,, tiene celdas de octaedro y dodecaedro truncado , con figura de vértice de pirámide cuadrada .
Puede verse como análogo al mosaico pentagonal de orden 4 truncado hiperbólico 2D , t{5,4} con pentágono truncado y caras cuadradas:
El panal dodecaédrico bitruncado de orden 4 , o el panal cúbico bitruncado de orden 5 ,, tiene células de octaedro truncado y de icosaedro truncado , con una figura de vértice disfenoide digonal .
El panal dodecaédrico cantelado de orden 4 ,, tiene células de rombicosidodecaedro , cuboctaedro y cubo , con figura de vértice en cuña .
El panal dodecaédrico de orden 4 cantitruncado ,, tiene icosidodecaedro truncado , octaedro truncado y celdas cúbicas , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
El panal dodecaédrico de orden 4 runcinado es el mismo que el panal cúbico de orden 5 runcinado .
El panal dodecaédrico de orden 4 runcitruncado ,, tiene dodecaedro truncado , rombicuboctaedro , prisma decagonal y celdas cúbicas , con figura de vértice piramidal isósceles-trapezoidal .
El panal dodecaédrico de orden 4 runcicantelado es el mismo que el panal cúbico de orden 5 runcicantelado .
El panal dodecaédrico omnitruncado de orden 4 es el mismo que el panal cúbico omnitruncado de orden 5 .