En geometría , el cubo chato , o cuboctaedro chato , es un sólido de Arquímedes con 38 caras: 6 cuadrados y 32 triángulos equiláteros . Tiene 60 aristas y 24 vértices .
Es un poliedro quiral ; es decir, tiene dos formas distintas, que son imágenes especulares (o " enantiomorfos ") entre sí. La unión de ambas formas es un compuesto de dos cubos chatos , y la cáscara convexa de ambos conjuntos de vértices es un cuboctaedro truncado .
Kepler lo nombró por primera vez en latín como cubus simus en 1619 en sus Harmonices Mundi . HSM Coxeter , señalando que podría derivarse tanto del octaedro como del cubo, lo llamó cuboctaedro chato , con un símbolo de Schläfli extendido verticalmente , y que representa una alternancia de un cuboctaedro truncado , que tiene el símbolo de Schläfli .
Para un cubo chato con una longitud de arista , su área de superficie y volumen son: [1]
donde t es la constante de tribonacci
Si el cubo chato original tiene una longitud de arista 1, su icositetraedro pentagonal dual tiene longitudes de lados
Las coordenadas cartesianas para los vértices de un cubo chato son todas las permutaciones pares de
con un número par de signos más, junto con todas las permutaciones impares con un número impar de signos más, donde t ≈ 1,83929 es la constante de tribonacci . Tomando las permutaciones pares con un número impar de signos más y las permutaciones impares con un número par de signos más, se obtiene un cubo chato diferente, la imagen especular. Al tomarlos todos juntos se obtiene el compuesto de dos cubos chatos .
Este cubo chato tiene aristas de longitud , un número que satisface la ecuación
y se puede escribir como
Para obtener un cubo chato con una longitud de arista unitaria, divida todas las coordenadas anteriores por el valor α dado anteriormente.
El cubo chato tiene dos proyecciones ortogonales especiales , centradas, en dos tipos de caras: triángulos y cuadrados, corresponden a los planos de Coxeter A 2 y B 2 .
El cubo chato también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse sobre el plano mediante una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Los arcos de círculo máximo (geodésicas) en la esfera se proyectan como arcos circulares en el plano.
El cubo chato se puede generar tomando las seis caras del cubo, tirando de ellas hacia afuera para que ya no se toquen, luego dándoles a cada una una pequeña rotación en sus centros (en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj) hasta que se puedan llenar los espacios intermedios. con triángulos equiláteros .
El cubo chato también puede derivarse del cuboctaedro truncado mediante el proceso de alternancia . 24 vértices del cuboctaedro truncado forman un poliedro topológicamente equivalente al cubo chato; los otros 24 forman su imagen especular. El poliedro resultante es transitivo por vértices pero no uniforme.
Un cubo chato "mejorado", con una cara cuadrada ligeramente más pequeña y caras triangulares ligeramente más grandes en comparación con el cubo chato uniforme de Arquímedes, es útil como diseño esférico . [2]
El cubo chato pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.
Este poliedro semirregular es miembro de una secuencia de poliedros desairados y mosaicos con figura de vértice (3.3.3.3.n ) y diagrama de Coxeter-Dynkin. 
. Estas figuras y sus duales tienen ( n 32) simetría rotacional , estando en el plano euclidiano para n = 6, y en el plano hiperbólico para cualquier n superior . Se puede considerar que la serie comienza con n=2, con un conjunto de caras degeneradas en digones .
El cubo chato es el segundo de una serie de poliedros chatos y mosaicos con vértice figura 3.3.4.3. n .
En teoría de grafos , una gráfica cúbica chata es la gráfica de los vértices y aristas del cubo chato , uno de los sólidos de Arquímedes . Tiene 24 vértices y 60 aristas, y es un gráfico de Arquímedes . [3]
![{\displaystyle t={\frac {1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33 }}}}}{3}}\aprox 1.839\,286\,755\,21.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b5dd3c4eadfd955c9c41e5b960d0f19ac5ca7e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\sqrt {{\frac {4}{3}}-{\frac {16}{3\beta }}+{\frac {2\beta }{ 3}}}}\aprox 1.609\,72\\\beta &={\sqrt[{3}]{26+6{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8d7d106963ee92fcc2a3159bcccb8de89d6bfb)
