Desaire (geometría)

Operación geométrica aplicada a un poliedro

Dos copias quirales del cubo romo, como vértices alternados (rojos o verdes) del cuboctaedro truncado.

Se puede construir un cubo romo a partir de un rombicuboctaedro rotando las 6 caras cuadradas azules hasta que las 12 caras cuadradas blancas se conviertan en pares de caras de triángulos equiláteros.

En geometría , un romo es una operación que se aplica a un poliedro . El término se origina a partir de los nombres que Kepler le dio a dos sólidos de Arquímedes , para el cubo romo ( cubus simus ) y el dodecaedro romo ( dodecaedro simum ). ^[1]

En general, los romos tienen simetría quiral con dos formas: con orientación en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario. Según los nombres de Kepler, un romo puede considerarse como una expansión de un poliedro regular : separando las caras, torciéndolas sobre sus centros, añadiendo nuevos polígonos centrados en los vértices originales y añadiendo pares de triángulos que encajen entre las aristas originales.

La terminología fue generalizada por Coxeter , con una definición ligeramente diferente, para un conjunto más amplio de politopos uniformes .

Conway desaira

John Conway exploró los operadores poliédricos generalizados y definió lo que ahora se denomina notación poliédrica de Conway , que se puede aplicar a poliedros y teselaciones. Conway llama a la operación de Coxeter una semidesviación . ^[2]

En esta notación, snub se define mediante los operadores dual y gyro , como s  =  dg , y es equivalente a una alternancia de un truncamiento de un operador ambón . La notación de Conway evita la operación de alternancia (semi) de Coxeter, ya que solo se aplica a poliedros con caras de lados pares.

En 4 dimensiones, Conway sugiere que el poliedro de 24 celdas romo debería llamarse poliedro de 24 celdas semi-romo porque, a diferencia de los poliedros de 24 celdas romos tridimensionales que son formas omnitruncadas alternadas, no es un poliedro de 24 celdas omnitruncadas alternadas . En realidad, es un poliedro de 24 celdas truncadas alternadas . ^[3]

Desaires de Coxeter, regulares y cuasirregulares

La terminología de Coxeter para los sólidos chatos es ligeramente diferente, ya que significa un truncamiento alternado , lo que deriva el cubo chato como un cuboctaedro chato y el dodecaedro chato como un icosidodecaedro chato . Esta definición se utiliza para nombrar dos sólidos de Johnson : el disfenoide chato y el antiprisma cuadrado chato , y para politopos de dimensiones superiores, como el chato de 24 celdas de 4 dimensiones , con el símbolo de Schläfli extendido s{3,4,3} y el diagrama de Coxeter..

Un poliedro regular (o teselación), con símbolo de Schläfli y diagrama de Coxeter ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ , tiene truncamiento definido como , y ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$, y tiene un desaire definido como un truncamiento alternado , y ${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$Esta construcción alternada requiere que q sea par.

Un poliedro cuasirregular , con símbolo de Schläfli o r { p , q }, y diagrama de Coxeter ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$o, tiene truncamiento cuasirregular definido como o tr { p , q }, y ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$o, y tiene un snub cuasirregular definido como una rectificación truncada alternada o htr { p , q } = sr { p , q }, y ${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$o.

Por ejemplo, el cubo romo de Kepler se deriva del cuboctaedro cuasirregular , con un símbolo de Schläfli vertical , y el diagrama de Coxeter. ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ , y por eso se le llama más explícitamente cuboctaedro romo , expresado por un símbolo de Schläfli vertical y un diagrama de Coxeter. ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$El cuboctaedro romo es la alternancia del cuboctaedro truncado , , y ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$.

Los poliedros regulares con vértices de orden par también pueden truncarse como truncamientos alternados, como el octaedro truncado , como , ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$, es la alternancia del octaedro truncado , , y ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$El octaedro romo representa el pseudoicosaedro , un icosaedro regular con simetría piritoédrica .

El tetratetraedro romo , como , y ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$, es la alternancia de la forma de simetría tetraédrica truncada, y ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$.

La operación de desvío de Coxeter también permite definir n- antiprismas como o , basándose en n-prismas o , mientras que es un n- hosoedro regular , un poliedro degenerado, pero una teselación válida en la esfera con caras en forma de dígon o de luna . ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}}$

El mismo proceso se aplica para los mosaicos de snub:

Ejemplos

Poliedros romos no uniformes

Los poliedros no uniformes con todos los vértices de valencia par pueden ser descartados, incluidos algunos conjuntos infinitos; por ejemplo:

Poliedros estelares de forma uniforme y chata de Coxeter

Los poliedros estrellados chatos se construyen mediante su triángulo de Schwarz (pqr), con ángulos especulares ordenados racionales y todos los espejos activos y alternados.

Los politopos y panales de abejas de dimensiones superiores de Coxeter

En general, un policorón regular con símbolo de Schläfli y diagrama de Coxeter. ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$ , tiene un desaire con el símbolo Schläfli extendido y ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$.

Un policoron rectificado = r{p,q,r} , y ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}}$ tiene símbolo snub = sr{p,q,r} , y ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}}$.

Ejemplos

Proyección ortogonal de 24 celdas desviadas

Solo hay un romo convexo uniforme en 4 dimensiones, el romo de 24 celdas . El romo regular de 24 celdas tiene el símbolo de Schläfli , y el diagrama de Coxeter. ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$ , y el snub de 24 celdas está representado por el diagrama de Coxeter ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$ . También tiene un índice 6 de construcciones de simetría inferior como o s{3 ^1,1,1 } y ${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}}$, y una subsimetría de índice 3 como o sr{3,3,4}, y ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4\end{Bmatrix}}}$o.

El panal de abeja de 24 celdas relacionado se puede ver como un o s{3,4,3,3}, y ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}}$, y simetría inferior o sr{3,3,4,3} y ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4,3\end{Bmatrix}}}$o, y la forma de simetría más baja es o s{3 ^1,1,1,1 } y ${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}}$.

Un panal euclidiano es un panal de abejas de losas hexagonales alternadas , s{2,6,3}, yo sr{2,3,6}, yo sr{2,3 ^[3] }, y.

Otro panal euclidiano (escaliforme) es un panal de losas cuadradas alternadas , s{2,4,4}, yo sr{2,4 ^1,1 } y:

El único panal hiperbólico uniforme de forma chata es el panal de teselación hexagonal de forma chata , ya que s{3,6,3} y, que también se puede construir como un panal de abejas con teselación hexagonal alternada , h{6,3,3},También se construye como s{3 ^[3,3] } y.

Otro panal hiperbólico (escaliforme) es un panal octaédrico de orden 4 , s{3,4,4}, y.

Véase también

• Poliedro romo

Referencias

1. Kepler , Armonías del mundo , 1619
2. Conway, (2008) p.287 La operación de semidesaire de Coxeter
3. Conway, 2008, p.401 Polioctaedro semirrecortado de Gosset

• Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954). "Poliedros uniformes". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Ciencias matemáticas y físicas . 246 (916). La Royal Society: 401–450. Bibcode :1954RSPTA.246..401C. doi :10.1098/rsta.1954.0003. ISSN  0080-4614. JSTOR  91532. MR  0062446. S2CID  202575183.
• Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3.ª edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 (págs. 154-156 8.6 Truncamiento parcial o alternancia) 
• Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1], Googlebooks [2]  
  • (Documento 17) Coxeter , La evolución de los diagramas de Coxeter-Dynkin , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
  • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Coxeter , La belleza de la geometría: doce ensayos , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes) 
• Manuscrito de politopos uniformes de Norman Johnson (1991)
  • NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 
• Weisstein, Eric W. "Desaire". MundoMatemático .
• Richard Klitzing, Desaires, facetas alternadas y diagramas de Stott–Coxeter–Dynkin , Symmetry: Culture and Science, vol. 21, n.º 4, 329–344, (2010) [3]