El panal octaédrico de orden 4 es un panal paracompacto regular en el espacio hiperbólico tridimensional . Es paracompacto porque tiene infinitas figuras de vértices , con todos los vértices como puntos ideales en el infinito. Dado por el símbolo de Schläfli {3,4,4}, tiene cuatro octaedros ideales alrededor de cada arista y octaedros infinitos alrededor de cada vértice en una figura de vértice de mosaico cuadrado . [1]
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no haya espacios vacíos. Es un ejemplo de mosaico matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales de abeja se construyen generalmente en el espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales de abeja uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como los panales de abeja uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito puede proyectarse a su circunsfera para formar un panal de abeja uniforme en el espacio esférico.
Existe una construcción de semisimetría, [3,4,4,1 + ], como {3,4 1,1 }, con dos tipos (colores) alternos de celdas octaédricas:
↔
.
Una segunda semisimetría es [3,4,1 + ,4]:↔
.
Existe una subsimetría de índice superior, [3,4,4 * ], que es de índice 8, con un dominio fundamental piramidal, [((3,∞,3)),((3,∞,3))]: 
.
Este panal contieney
que forman 2 superficies hipercíclicas , que son similares a los mosaicos triangulares de orden infinito paracompactos 
y
, respectivamente:
El panal octaédrico de orden 4 es un panal hiperbólico regular en el espacio tridimensional y es uno de los once panales paracompactos regulares.
Hay quince panales uniformes en la familia del grupo Coxeter [3,4,4] , incluida esta forma regular.
Es parte de una secuencia de panales con figura de vértice de teselación cuadrada :
Forma parte de una secuencia de policoras regulares y panales con celdas octaédricas :
El panal octaédrico rectificado de orden 4 , t 1 {3,4,4},tiene facetas cuboctaédricas y de teselación cuadrada , con figura de vértice de prisma cuadrado .
El panal octaédrico truncado de orden 4 , t 0,1 {3,4,4},tiene facetas de octaedro truncadas y teselación cuadrada , con figura de vértice de pirámide cuadrada .
El panal octaédrico bitruncado de orden 4 es el mismo que el panal de abeja de teselas cuadradas bitruncadas .
El panal octaédrico cantelado de orden 4 , t 0,2 {3,4,4},tiene facetas de mosaico rombicuboctaedro , cubo y cuadrado , con una figura de vértice en cuña .
El panal octaédrico cantitruncado de orden 4 , t 0,1,2 {3,4,4},tiene facetas de mosaico de cuboctaedro truncado , cubo y cuadrado truncado , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
El panal octaédrico runcinado de orden 4 es el mismo que el panal de abeja de teselas cuadradas runcinadas .
El panal octaédrico runcitruncado de orden 4 , t 0,1,3 {3,4,4},tiene un octaedro truncado , un prisma hexagonal y facetas de mosaico cuadrado , con una figura de vértice de pirámide cuadrada .
El panal octaédrico runcicantelado de orden 4 es el mismo que el panal de abeja de teselación cuadrada runcitruncada .
El panal octaédrico omnitruncado de orden 4 es el mismo que el panal de abeja de teselas cuadradas omnitruncada .
El panal octaédrico de orden 4 , s{3,4,4}, tiene un diagrama de Coxeter
Se trata de un panal escaliforme , con pirámide cuadrada , teselación cuadrada y facetas icosaédricas .