dodecaedro chato

Sólido de Arquímedes con 92 caras.

Modelo 3D de un dodecaedro chato

En geometría , el dodecaedro chato , o icosidodecaedro chato , es un sólido de Arquímedes , uno de los trece sólidos no prismáticos isogonales convexos construidos por dos o más tipos de caras de polígonos regulares .

El dodecaedro chato tiene 92 caras (la mayor parte de los 13 sólidos de Arquímedes): 12 son pentágonos y las otras 80 son triángulos equiláteros . También tiene 150 aristas y 60 vértices.

Tiene dos formas distintas, que son imágenes especulares (o " enantiomorfos ") entre sí. La unión de ambas formas es un compuesto de dos dodecaedros chatos , y la cáscara convexa de ambas formas es un icosidodecaedro truncado .

Kepler lo nombró por primera vez en latín como dodecaedro simum en 1619 en sus Harmonices Mundi . HSM Coxeter , señalando que podría derivarse igualmente del dodecaedro o del icosaedro, lo llamó icosidodecaedro chato , con un símbolo de Schläfli extendido vertical y un símbolo de Schläfli plano sr{5,3}. ${\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$

Coordenadas cartesianas

Sea ξ ≈0,943 151 259 24 sea el cero real del polinomio cúbico x ³ + 2 x ² − φ ² , donde φ es la proporción áurea . Sea el punto p dado por

$${\displaystyle p={\begin{pmatrix}\varphi ^{2}-\varphi ^{2}\xi \\-\varphi ^{3}+\varphi \xi +2\varphi \xi ^{2}\\\xi \end{pmatrix}}.}$$

matrices de rotación M ₁M ₂

$${\displaystyle M_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2\varphi }}&-{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}&{\frac {\varphi }{2}}\end{pmatrix}},\quad M_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.}$$

M ₁ (0, 1, φ )2 π/5M ₂( x , y , z )(1, 1, 1)2 π/3pM ₁M ₂M ₁M ₂ generanlas 60 simetrías rotacionalesicosaedro regular1, φ , ξ , φξ , ξ ²φξ ²

$${\displaystyle 2\xi {\sqrt {1-\xi }}\approx 0.449\,750\,618\,41.}$$

Como volumen, el romo dodecaedro consta de 80 pirámides triangulares y 12 pentagonales. El volumen V ₃ de una pirámide triangular viene dado por:

$${\displaystyle V_{3}={\frac {1}{3}}\varphi \left(3\xi ^{2}-\varphi ^{2}\right)\approx 0.027\,274\,068\,85,}$$

V ₅

$${\displaystyle V_{5}={\frac {1}{3}}(3\varphi +1)\left(\varphi +3-2\xi -3\xi ^{2}\right)\xi ^{3}\approx 0.103\,349\,665\,04.}$$

$${\displaystyle 80V_{3}+12V_{5}\approx 3.422\,121\,488\,76.}$$

El circunradio es igual

$${\displaystyle {\sqrt {4\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}\approx 0.969\,589\,192\,65.}$$

radio medioξξξ

El ángulo diédrico triángulo-triángulo viene dado por

$${\displaystyle \theta _{33}=180^{\circ }-\arccos \left({\frac {2}{3}}\xi +{\frac {1}{3}}\right)\approx 164.175\,366\,056\,03^{\circ }.}$$

El ángulo diédrico triángulo-pentágono viene dado por

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{35}&=180^{\circ }-\arccos {\sqrt {\frac {-(4\varphi +8)\xi ^{2}-(4\varphi +8)\xi +12\varphi +19}{15}}}\\[2pt]&\approx 152.929\,920\,275\,84^{\circ }.\end{aligned}}}$$

Propiedades métricas

Para un dodecaedro chato cuya longitud de borde es 1, el área de la superficie es

$${\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55.286\,744\,958\,445\,15.}$$

$${\displaystyle V={\frac {(3\varphi +1)\xi ^{2}+(3\varphi +1)\xi -\varphi /6-2}{\sqrt {3\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}}\approx 37.616\,649\,962\,733\,36.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {5+5{\sqrt {5}}}{6{\sqrt {3}}}}{\sqrt {{18+6{\sqrt {5}}}+{a\left({3+3{\sqrt {5}}}+a\right)}}}+{\frac {5+3{\sqrt {5}}}{24{\sqrt {2}}}}{\sqrt {72+{\left({5+{\sqrt {5}}}\right)}a\left({3+3{\sqrt {5}}}+a\right)}}\\[2pt]&\approx 37.616\,649\,962\,733\,36,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt[{3}]{54(1+{\sqrt {5}})+6{\sqrt {102+162{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt[{3}]{54(1+{\sqrt {5}})-6{\sqrt {102+162{\sqrt {5}}}}}}\\[2pt]&\approx 10.293\,368\,998\,184\,21.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\approx 2.155\,837\,375.}$$

$${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2.097\,053\,835\,25.}$$

Hay dos esferas inscritas, una que toca las caras triangulares y otra, un poco más pequeña, que toca las caras pentagonales. Sus radios son, respectivamente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{3}&={\frac {\varphi {\sqrt {3}}}{6\xi }}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2.077\,089\,659\,74\\[4pt]r_{5}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi ^{2}\xi ^{2}+3\varphi ^{2}\xi +{\frac {11}{5}}\varphi +{\frac {12}{5}}}}\approx 1.980\,915\,947\,28.\end{aligned}}}$$

Las cuatro raíces reales positivas de la ecuación sextica en R ²

$${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$$

U ₂₉el gran icosidodecaedro chatoU ₅₇el gran icosidodecaedro chato invertidoU ₆₉el gran icosidodecaedro chatoU ₇₄

El dodecaedro chato tiene la esfericidad más alta de todos los sólidos de Arquímedes. Si la esfericidad se define como la relación entre el volumen al cuadrado y el área de la superficie al cubo, multiplicada por una constante de 36 π (donde esta constante hace que la esfericidad de una esfera sea igual a 1), la esfericidad del dodecaedro chato es aproximadamente 0,947. ^[1]

Proyecciones ortogonales

El dodecaedro chato no tiene simetría puntual , por lo que el vértice del frente no corresponde a un vértice opuesto en la parte posterior.

El dodecaedro chato tiene dos proyecciones ortogonales especialmente simétricas como se muestra a continuación, centradas en dos tipos de caras: triángulos y pentágonos, correspondientes a los planos A ₂ y H ₂ de Coxeter .

Relaciones geométricas

Dodecaedro, rombicosidodecaedro y dodecaedro chato ( expansión y torsión animadas )

Alternancia uniforme de un icosidodecaedro truncado

El dodecaedro chato se puede generar tomando las doce caras pentagonales del dodecaedro y tirando de ellas hacia afuera para que ya no se toquen. A una distancia adecuada, esto puede crear el rombicosidodecaedro rellenando caras cuadradas entre los bordes divididos y caras triangulares entre los vértices divididos. Pero para la forma chata, saque un poco menos las caras pentagonales, solo agregue las caras triangulares y deje los otros espacios vacíos (los otros espacios son rectángulos en este punto). Luego aplica una rotación igual a los centros de los pentágonos y triángulos, continuando la rotación hasta que los espacios puedan llenarse con dos triángulos equiláteros. (El hecho de que la cantidad adecuada para sacar las caras sea menor en el caso del dodecaedro chato se puede ver de dos maneras: el circunradio del dodecaedro chato es más pequeño que el del icosidodecaedro; o, la longitud del borde del los triángulos equiláteros formados por los vértices divididos aumentan cuando se rotan las caras pentagonales.)

El dodecaedro chato también puede derivarse del icosidodecaedro truncado mediante el proceso de alternancia . Sesenta de los vértices del icosidodecaedro truncado forman un poliedro topológicamente equivalente a un dodecaedro chato; los sesenta restantes forman su imagen especular. El poliedro resultante es transitivo por vértices pero no uniforme.

Alternativamente, combinar los vértices del dodecaedro chato dado por las coordenadas cartesianas (arriba) y su espejo formará un icosidodecaedro truncado semirregular. Las comparaciones entre estos poliedros regulares y semirregulares se muestran en la figura de la derecha.

Las coordenadas cartesianas para los vértices de este dodecaedro chato alternativo se obtienen seleccionando conjuntos de 12 (de 24 posibles permutaciones pares contenidas en los cinco conjuntos de coordenadas cartesianas del icosidodecaedro truncado ). Las alternancias son aquellas que tienen un número impar de signos menos en estos tres conjuntos:

Superposición de icosidodecaedros truncados regulares y semirregulares y dodecaedros chatos

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\Bigl (}&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm [3+\varphi ]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm \,\varphi ^{2}&,&\pm [3\varphi -1]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm [2\varphi -1]&,&\pm \,2&,&\pm [2+\varphi ]&{\Bigr )},\end{array}}}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\Bigl (}&\pm {\tfrac {2}{\varphi }}&,&\pm \,\varphi &,&\pm [1+2\varphi ]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm \,\varphi &,&\pm \,3&,&\pm \,2\varphi &{\Bigr )},\end{array}}}$$

¿Dónde está la proporción áurea ? Los espejos tanto del icosidodecaedro truncado regular como de este dodecaedro chato alternativo se obtienen cambiando las referencias pares e impares a las permutaciones de signo y posición. ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Poliedros y mosaicos relacionados

Este poliedro semirregular es miembro de una secuencia de poliedros desairados y mosaicos con figura de vértice (3.3.3.3.n ) y diagrama de Coxeter-Dynkin. . Estas figuras y sus duales tienen ( n 32) simetría rotacional , estando en el plano euclidiano para n  = 6, y en el plano hiperbólico para cualquier n superior . Se puede considerar que la serie comienza con n  = 2, con un conjunto de caras degeneradas en digones .

Gráfico dodecaédrico chato

En el campo matemático de la teoría de grafos , un gráfico dodecaédrico chato es el gráfico de vértices y aristas del dodecaedro chato, uno de los sólidos de Arquímedes . Tiene 60 vértices y 150 aristas, y es un gráfico de Arquímedes . ^[2]

Ver también

• Animación de transformación de polígono plano a poliedro
• dodecaedro chato giratorio ccw y cw

Referencias

1. Aravind, PK (marzo de 2011), "¿Cuán esféricos son los sólidos de Arquímedes y sus duales?", The College Mathematics Journal , 42 (2): 98–107, doi :10.4169/college.math.j.42.2.098
2. Leer, RC; Wilson, RJ (1998), Atlas de gráficos , Oxford University Press , pág. 269

• Jayatilake, Udaya (marzo de 2005). "Cálculos sobre poliedros regulares de caras y vértices". Gaceta Matemática . 89 (514): 76–81. doi :10.1017/S0025557200176818. S2CID  125675814.
• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)
• Cromwell, P. (1997). Poliedros . Reino Unido: Cambridge. Págs. 79–86 Sólidos de Arquímedes . ISBN 0-521-55432-2.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Snub dodecaedro" ("Sólido de Arquímedes") en MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Gráfico dodecaédrico chato". MundoMatemático .
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D s3s5s - sarcástico".
• Red imprimible editable de un dodecaedro Snub con vista 3D interactiva
• Los poliedros uniformes
• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de los poliedros
• Mark S. Adams y Menno T. Kosters. Soluciones de volumen para el dodecaedro chato