En geometría , una figura de vértice , a grandes rasgos, es la figura expuesta cuando se corta una esquina de un poliedro o politopo .
Tome alguna esquina o vértice de un poliedro . Marque un punto en algún lugar a lo largo de cada borde conectado. Dibuja líneas a través de las caras conectadas, uniendo puntos adyacentes alrededor de la cara. Cuando termine, estas líneas forman un circuito completo, es decir, un polígono, alrededor del vértice. Este polígono es la figura del vértice.
Las definiciones formales más precisas pueden variar bastante según las circunstancias. Por ejemplo, Coxeter (por ejemplo, 1948, 1954) varía su definición según sea conveniente para el área de discusión actual. La mayoría de las siguientes definiciones de una figura de vértice se aplican igualmente bien a mosaicos infinitos o, por extensión, a teselado que llena el espacio con celdas de politopo y otros politopos de dimensiones superiores .
Haz un corte a través de la esquina del poliedro, cortando todos los bordes conectados al vértice. La superficie de corte es la figura del vértice. Este es quizás el enfoque más común y el más fácil de entender. Diferentes autores hacen el corte en diferentes lugares. Wenninger (2003) corta cada arista a una unidad de distancia del vértice, al igual que Coxeter (1948). Para poliedros uniformes, la construcción Dorman Luke corta cada borde conectado en su punto medio. Otros autores realizan el corte por el vértice en el otro extremo de cada arista. [1] [2]
Para un poliedro irregular, cortar todas las aristas incidentes en un vértice dado a distancias iguales del vértice puede producir una figura que no se encuentra en un plano. Un enfoque más general, válido para poliedros convexos arbitrarios, es realizar el corte a lo largo de cualquier plano que separe el vértice dado de todos los demás vértices, pero que por lo demás sea arbitrario. Esta construcción determina la estructura combinatoria de la figura del vértice, similar a un conjunto de vértices conectados (ver más abajo), pero no su geometría precisa; puede generalizarse a politopos convexos en cualquier dimensión. Sin embargo, para poliedros no convexos, puede que no exista un plano cerca del vértice que corte todas las caras incidentes al vértice.
Cromwell (1999) forma la figura del vértice intersectando el poliedro con una esfera centrada en el vértice, lo suficientemente pequeña como para cruzar sólo los bordes y las caras incidentes al vértice. Esto se puede visualizar como si se hiciera un corte esférico o una pala, centrado en el vértice. La superficie de corte o figura de vértice es, por tanto, un polígono esférico marcado en esta esfera. Una ventaja de este método es que la forma de la figura del vértice es fija (hasta la escala de la esfera), mientras que el método de intersección con un plano puede producir diferentes formas dependiendo del ángulo del plano. Además, este método funciona para poliedros no convexos.
Muchos enfoques combinatorios y computacionales (por ejemplo, Skilling, 1975) tratan una figura de vértice como el conjunto ordenado (o parcialmente ordenado) de puntos de todos los vértices vecinos (conectados mediante una arista) al vértice dado.
En la teoría de los politopos abstractos , la figura del vértice en un vértice dado V comprende todos los elementos que inciden en el vértice; aristas, caras, etc. Más formalmente es la sección ( n −1) F n / V , donde F n es la cara más grande.
Este conjunto de elementos se conoce en otros lugares como estrella de vértice . La figura geométrica del vértice y la estrella del vértice pueden entenderse como realizaciones distintas de una misma sección abstracta.
Una figura de vértice de un n -politopo es un ( n −1)-politopo. Por ejemplo, la figura de vértice de un poliedro es un polígono y la figura de vértice de un politopo de 4 es un poliedro.
En general, una figura de vértice no tiene por qué ser plana.
Para poliedros no convexos, la figura del vértice también puede ser no convexa. Los politopos uniformes, por ejemplo, pueden tener polígonos en forma de estrella para las caras y/o para las figuras de vértices.
Las figuras de vértice son especialmente importantes para uniformes y otros politopos isogonales (transitivos de vértice) porque una figura de vértice puede definir todo el politopo.
Para poliedros con caras regulares, una figura de vértice se puede representar en notación de configuración de vértice , enumerando las caras en secuencia alrededor del vértice. Por ejemplo 3.4.4.4 es un vértice con un triángulo y tres cuadrados, y define el rombicuboctaedro uniforme .
Si el politopo es isogonal, la figura del vértice existirá en una superficie hiperplana del n -espacio.
Al considerar la conectividad de estos vértices vecinos, se puede construir una figura de vértice para cada vértice de un politopo:
Para un poliedro uniforme, la cara del poliedro dual se puede encontrar a partir de la figura del vértice del poliedro original utilizando la construcción " Dorman Luke ".
Si un politopo es regular, se puede representar mediante un símbolo de Schläfli y tanto la celda como la figura del vértice se pueden extraer trivialmente de esta notación.
En general, un politopo regular con símbolo de Schläfli { a , b , c ,..., y , z } tiene celdas como { a , b , c ,..., y } y figuras de vértices como { b , c ,. .., y , z }.
Dado que el politopo dual de un politopo regular también es regular y está representado por los índices del símbolo de Schläfli invertidos, es fácil ver que el dual de la figura del vértice es la celda del politopo dual. Para los poliedros regulares, este es un caso especial de la construcción de Dorman Luke .
La figura de vértice de un panal cúbico truncado es una pirámide cuadrada no uniforme . Un octaedro y cuatro cubos truncados se encuentran en cada vértice formando un mosaico que llena el espacio .
Relacionada con la figura de vértice , una figura de arista es la figura de vértice de una figura de vértice . [3] Las figuras de bordes son útiles para expresar relaciones entre los elementos dentro de politopos regulares y uniformes.
Una figura de arista será un politopo ( n −2), que representa la disposición de las facetas alrededor de una arista determinada. Los politopos uniformes del diagrama de Coxeter regulares y de un solo anillo tendrán un tipo de borde único. En general, un politopo uniforme puede tener tantos tipos de aristas como espejos activos en la construcción, ya que cada espejo activo produce una arista en el dominio fundamental.
Los politopos regulares (y panales) tienen una figura de un solo borde que también es regular. Para un politopo regular { p , q , r , s ,..., z }, la figura del borde es { r , s ,..., z }.
En cuatro dimensiones, la figura del borde de un politopo de 4 o de un panal de 3 es un polígono que representa la disposición de un conjunto de facetas alrededor de un borde. Por ejemplo, la figura de arista de un panal cúbico regular {4,3,4} es un cuadrado , y para un politopo regular de 4 { p , q , r } es el polígono { r }.
De manera menos trivial, el panal cúbico truncado t 0,1 {4,3,4}, tiene una figura de vértice de pirámide cuadrada , con celdas de cubo truncado y octaedro . Aquí existen dos tipos de figuras de arista . Una es una figura de borde cuadrado en la cúspide de la pirámide. Esto representa los cuatro cubos truncados alrededor de una arista. Las otras cuatro figuras de aristas son triángulos isósceles en los vértices de la base de la pirámide. Estos representan la disposición de dos cubos truncados y un octaedro alrededor de las otras aristas.
