El vínculo en un complejo simplicial es una generalización de la vecindad de un vértice en un gráfico. El vínculo de un vértice codifica información sobre la estructura local del complejo en el vértice.
Enlace de un vértice
Dado un complejo simplicial abstracto X y un vértice en , su vínculo es un conjunto que contiene todas las caras tales que y es una cara de X .
En el caso especial en el que X es un complejo unidimensional (es decir: un gráfico ), contiene todos los vértices tales que son una arista en el gráfico; es decir, la vecindad de en el gráfico.
Dado un complejo geométrico simplicial X y , su enlace es un conjunto que contiene todas las caras tales que y hay un simplex que tiene como vértice y como cara. [1] : 3 De manera equivalente, la unión es una cara en . [2] : 20
Como ejemplo, supongamos que v es el vértice superior del tetraedro de la izquierda. Entonces el eslabón de v es el triángulo en la base del tetraedro. Esto se debe a que, para cada arista de ese triángulo, la unión de v con la arista es un triángulo (uno de los tres triángulos a los lados del tetraedro); y la unión de v con el triángulo mismo es el tetraedro completo.
Una definición alternativa es: el vínculo de un vértice es el gráfico Lk( v , X ) construido de la siguiente manera. Los vértices de Lk( v , X ) son las aristas de X incidentes con v . Dos de estos bordes son adyacentes en Lk( v , X ) si inciden en una celda común de 2 en v .
Al gráfico Lk( v , X ) a menudo se le da la topología de una bola de radio pequeño centrada en v ; es análogo a una esfera centrada en un punto. [3]
enlace de una cara
La definición de un vínculo se puede extender desde un único vértice a cualquier cara.
Dado un complejo simplicial abstracto X y cualquier cara de X , su enlace es un conjunto que contiene todas las caras que son disjuntas y son una cara de X :.
Dado un complejo geométrico simplicial X y cualquier cara , su vínculo es un conjunto que contiene todas las caras que son disjuntas y hay un simplex que tiene ambas y como caras. [1] : 3
Ejemplos
El vínculo de un vértice de un tetraedro es un triángulo: los tres vértices del vínculo corresponden a las tres aristas incidentes al vértice, y las tres aristas del vínculo corresponden a las caras incidentes al vértice. En este ejemplo, el vínculo se puede visualizar cortando el vértice con un plano; formalmente, intersectar el tetraedro con un plano cerca del vértice; la sección transversal resultante es el vínculo.
Otro ejemplo se ilustra a continuación. Hay un complejo simplicial bidimensional. A la izquierda hay un vértice marcado en amarillo. A la derecha, el enlace de ese vértice está marcado en verde.
Un vértice y su vínculo .
Propiedades
Para cualquier complejo simplicial X , cada vínculo está cerrado hacia abajo y, por lo tanto, también es un complejo simplicial; es un subcomplejo de X .
Debido a que X es simplicial, existe un isomorfismo de conjunto entre y el conjunto : cada corresponde a , que está en .
Enlace y estrella
Un concepto muy relacionado con el vínculo es el de estrella .
Dado un complejo simplicial abstracto X y cualquier cara , su estrella es un conjunto que contiene todas las caras que son caras de X. En el caso especial en el que X es un complejo unidimensional (es decir: un gráfico ), contiene todas las aristas de todos los vértices que son vecinos de . Es decir, es una estrella de teoría de grafos centrada en .
Dado un complejo geométrico simplicial X y cualquier cara , su estrella es un conjunto que contiene todas las caras tal que hay un simplex al tener ambas y como caras :. En otras palabras, es el cierre del conjunto : el conjunto de simples que tienen como cara.
Entonces el enlace es un subconjunto de la estrella. La estrella y el enlace están relacionados de la siguiente manera:
Para cualquier , . [1] : 3
Para cualquier , es decir, la estrella de es el cono de su enlace en . [2] : 20
A continuación se ilustra un ejemplo. Hay un complejo simplicial bidimensional. A la izquierda hay un vértice marcado en amarillo. A la derecha, la estrella de ese vértice está marcada en verde.
Un vértice y su estrella .
Ver también
Figura de vértice : un concepto geométrico similar al vínculo simplicial.
Referencias
^ abc Bryant, John L. (1 de enero de 2001), Daverman, RJ; Sher, RB (eds.), "Capítulo 5 - Topología lineal por partes", Manual de topología geométrica , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 219-259, ISBN 978-0-444-82432-5, recuperado el 15 de noviembre de 2022
^ ab Rourke, Colin P .; Sanderson, Brian J. (1972). Introducción a la topología lineal por partes. doi :10.1007/978-3-642-81735-9. ISBN978-3-540-11102-3.