Mosaico de espacios euclidianos o hiperbólicos de tres o más dimensiones
En geometría , un panal es un relleno de espacio o un empaquetamiento cerrado de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no queden espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones. Su dimensión se puede aclarar como n -panal para un panal de n -espacio dimensional.
Los panales suelen construirse en un espacio euclidiano ("plano") ordinario. También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales hiperbólicos. Cualquier politopo finito uniforme se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
Clasificación
Hay infinitos panales que sólo han sido clasificados parcialmente. Los más habituales han atraído el mayor interés, mientras que se sigue descubriendo una rica y variada variedad de otros.
Los panales más sencillos de construir se forman a partir de capas apiladas o losas de prismas basadas en algunos mosaicos del plano. En particular, para cada paralelepípedo , las copias pueden llenar el espacio, siendo el panal cúbico especial porque es el único panal regular en el espacio ordinario (euclidiano). Otra familia interesante son los tetraedros de Hill y sus generalizaciones, que también pueden enlosar el espacio.
Un panal se llama regular si el grupo de isometrías que preservan el mosaico actúa transitivamente sobre las banderas, donde una bandera es un vértice que se encuentra en un borde que se encuentra en una cara que se encuentra en una celda. Cada panal normal es automáticamente uniforme. Sin embargo, sólo hay un panal regular en el espacio tridimensional euclidiano, el panal cúbico . Dos son cuasiregulares (hechas de dos tipos de células regulares):
El panal tetraédrico-octaédrico y los panales tetraédrico-octaédrico giratorio se generan mediante 3 o 2 posiciones de capa de celdas en forma de losa, cada una de las cuales alterna tetraedros y octaedros. Se puede crear un número infinito de panales únicos mediante un orden superior de patrones de repetición de estas capas de losa.
Poliedros que llenan el espacio
Un panal que tiene todas las células idénticas dentro de sus simetrías se dice que es transitivo de células o isocórico . En el espacio euclidiano tridimensional, se dice que una celda de dicho panal es un poliedro que llena el espacio . [2] Una condición necesaria para que un poliedro sea un poliedro que llena el espacio es que su invariante de Dehn debe ser cero, [3] [4] descartando cualquiera de los sólidos platónicos distintos del cubo.
Cinco poliedros convexos que llenan el espacio pueden teselar un espacio euclidiano tridimensional utilizando únicamente traslaciones. Se llaman paraleloedros :
A veces, se pueden combinar dos [11] o más poliedros diferentes para llenar el espacio. Además de muchos de los panales uniformes, otro ejemplo bien conocido es la estructura Weaire-Phelan , adoptada de la estructura de los cristales de hidrato de clatrato [12].
3 panales no convexos
Los ejemplos documentados son raros. Se pueden distinguir dos clases:
Superposición de células cuyas densidades positivas y negativas se "cancelan" para formar un continuo uniformemente denso, análogo a los mosaicos superpuestos del plano.
Panales hiperbólicos
En el espacio hiperbólico tridimensional , el ángulo diédrico de un poliedro depende de su tamaño. Los panales hiperbólicos regulares incluyen, por tanto, dos con cuatro o cinco dodecaedros que se encuentran en cada borde; sus ángulos diédricos son, por tanto, π/2 y 2π/5, los cuales son menores que los de un dodecaedro euclidiano. Aparte de este efecto, los panales hiperbólicos obedecen a las mismas restricciones topológicas que los panales euclidianos y la policora.
Se han enumerado los 4 panales hiperbólicos regulares compactos y 11 paracompactos y muchos panales hiperbólicos uniformes compactos y paracompactos .
Dualidad de 3 panales
Por cada panal hay un panal dual, que se puede obtener intercambiando:
celdas para vértices.
caras para aristas.
Estas son solo las reglas para dualizar 4 politopos de cuatro dimensiones , excepto que el método finito habitual de reciprocidad alrededor de una hiperesfera concéntrica puede generar problemas.
Los panales más regulares se dualizan claramente:
El panal cúbico es autodual.
El de octaedros y tetraedros es dual al de dodecaedros rómbicos.
Los panales de losa derivados de revestimientos planos uniformes son duales entre sí del mismo modo que lo son los revestimientos.
Los duales de los panales de Arquímedes restantes son todos transitivos de células y han sido descritos por Inchbald. [13]
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^ [1] Relleno uniforme de espacios utilizando prismas triangulares, cuadrados y hexagonales
^ [2] Relleno uniforme de espacios utilizando únicamente dodecaedros rombo-hexagonales
^ [3] Relleno uniforme de espacios utilizando únicamente octaedros truncados
^ John Conway (22 de diciembre de 2003). "Poliedro de Voronoi. Geometría. Rompecabezas". Grupo de noticias : geometría.puzzles. Usenet: Pine.LNX.4.44.0312221226380.25139-100000@fine318a.math.Princeton.EDU.
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^ [5] Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine Gabbrielli, Ruggero. Un poliedro de trece caras que llena el espacio con su copia quiral.
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enlaces externos
Olshevsky, George. "Panal". Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
Cinco poliedros que llenan el espacio, Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80 , noviembre de 1996, págs.466-475.
Raumfueller (poliedros que llenan el espacio) de TE Dorozinski