Panal de abeja uniforme convexo

Teselación espacial de poliedros uniformes convexos

El panal cúbico alternado es una de las 28 teselaciones uniformes que llenan el espacio en el espacio tridimensional euclidiano, compuestas por tetraedros amarillos y octaedros rojos alternados .

En geometría , un panal uniforme convexo es una teselación uniforme que llena el espacio euclidiano tridimensional con celdas poliédricas uniformes convexas no superpuestas .

Se conocen veintiocho panales de este tipo:

• el conocido panal cúbico y sus siete truncamientos;
• el panal cúbico alternado y 4 truncamientos del mismo;
• 10 formas prismáticas basadas en teselaciones planas uniformes (11 si se incluye el panal cúbico);
• 5 modificaciones de algunas de las anteriores por elongación y/o giro.

Pueden considerarse el análogo tridimensional de las teselaciones uniformes del plano .

El diagrama de Voronoi de cualquier red forma un panal convexo uniforme en el que las celdas son zonohedros .

Historia

• 1900 : Thorold Gosset enumeró la lista de politopos convexos semirregulares con celdas regulares ( sólidos platónicos ) en su publicación Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , incluyendo un panal cúbico regular y dos formas semirregulares con tetraedros y octaedros.
• 1905 : Alfredo Andreini enumeró 25 de estas teselaciones.
• 1991 : El manuscrito de Norman Johnson Uniform Polytopes identificó la lista de 28. ^[1]
• 1994 : Branko Grünbaum , en su artículo Uniform tilings of 3-space , también enumeró de forma independiente las 28, después de descubrir errores en la publicación de Andreini. Encontró que el artículo de 1905, que enumeraba 25, tenía 1 error y faltaban 4. Grünbaum afirma en este artículo que Norman Johnson merece prioridad por lograr la misma enumeración en 1991. También menciona que I. Alexeyev de Rusia se había puesto en contacto con él en relación con una supuesta enumeración de estas formas, pero que Grünbaum no pudo verificarlo en ese momento.
• 2006 : George Olshevsky, en su manuscrito Uniform Panoploid Tetracombs , además de repetir la lista derivada de 11 teselaciones uniformes convexas y 28 panales convexos uniformes, amplía una lista derivada adicional de 143 tetracombs uniformes convexos (panales de 4-politopos uniformes en 4-espacios). ^{[2] [1]}

Sólo 14 de los poliedros uniformes convexos aparecen en estos patrones:

• tres de los cinco sólidos platónicos (el tetraedro , el cubo y el octaedro ),
• seis de los trece sólidos arquimedianos (aquellos con simetría tetraédrica u octaédrica reflexiva), y
• cinco de la familia infinita de prismas (los de 3, 4, 6, 8 y 12 gonales; el prisma de 4 gonales duplica el cubo).

El icosaedro , el cubo romo y el antiprisma cuadrado aparecen en algunas alternancias, pero esos panales no pueden realizarse con todas las aristas de longitud unitaria.

Nombres

Este conjunto puede denominarse panales regulares y semirregulares . Se lo ha denominado panales de Arquímedes por analogía con los poliedros convexos uniformes (no regulares), comúnmente llamados sólidos de Arquímedes . Recientemente, Conway ha sugerido denominar al conjunto teselaciones arquitectónicas y a los panales duales teselaciones catóptricas .

Los panales individuales se enumeran con los nombres que les dio Norman Johnson . (Algunos de los términos utilizados a continuación se definen en Uniform 4-polytope#Geometric derivations for 46 nonprismatic Wythoffian uniform 4-polytopes )

Para referencias cruzadas, se dan con índices de lista de Andreini (1-22), Williams (1–2,9-19), Johnson (11–19, 21–25, 31–34, 41–49, 51–52, 61–65) y Grünbaum (1-28). Coxeter usa δ ₄ para un panal cúbico , hδ ₄ para un panal cúbico alternado , qδ ₄ para un panal cúbico de un cuarto , con subíndices para otras formas basadas en los patrones de anillo del diagrama de Coxeter.

Teselaciones uniformes euclidianas compactas (por sus infinitas familias de grupos de Coxeter)

Dominios fundamentales en un elemento cúbico de tres grupos.

Correspondencias familiares

Los grupos de Coxeter infinitos fundamentales para el espacio tridimensional son:

1. El , [4,3,4], cúbico, ${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$(8 formas únicas más una alternancia)
2. El , [4,3 ^1,1 ], cúbico alternado, ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$(11 formularios, 3 nuevos)
3. El grupo cíclico, [(3,3,3,3)] o [3 ^[4] ], ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$(5 formularios, uno nuevo)

Existe una correspondencia entre las tres familias. Al quitar un espejo de se obtiene , y al quitar un espejo de se obtiene . Esto permite múltiples construcciones de los mismos panales. Si las celdas se colorean en función de posiciones únicas dentro de cada construcción de Wythoff, se pueden mostrar estas diferentes simetrías. ${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$

Además, hay cinco panales especiales que no tienen simetría reflexiva pura y están construidos a partir de formas reflexivas con operaciones de alargamiento y giro .

El total de panales únicos que se muestran arriba es 18.

Las pilas prismáticas de grupos de Coxeter infinitos para el espacio tridimensional son:

1. El grupo prismático × , [4,4,2,∞], ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$(2 nuevas formas)
2. El grupo prismático × , [6,3,2,∞], ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$(7 formas únicas)
3. El grupo prismático × , [(3,3,3),2,∞], ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$(No hay nuevos formularios)
4. El grupo prismático × × , [∞,2,∞,2,∞], ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$(Todos estos se convierten en un panal cúbico )

Además, existe una forma alargada especial del panal prismático triangular.

El total de panales prismáticos únicos anteriores (excluyendo los cúbicos contados anteriormente) es 10.

Combinando estos recuentos, 18 y 10, obtenemos un total de 28 panales uniformes.

El C3, grupo [4,3,4] (cúbico)

El panal cúbico regular, representado por el símbolo de Schläfli {4,3,4}, ofrece siete panales uniformes derivados únicos mediante operaciones de truncamiento. (Se incluye una forma redundante, el panal cúbico runcinado , para completar, aunque es idéntico al panal cúbico). La simetría reflexiva es el grupo afín de Coxeter [4,3,4]. Hay cuatro subgrupos de índice 2 que generan alternancias: [1 ⁺ ,4,3,4], [(4,3,4,2 ⁺ )], [4,3 ⁺ ,4] y [4,3,4] ⁺ , con las dos primeras formas repetidas generadas, y las dos últimas no uniformes.

B3, [4,31,1] grupo

El grupo [4,3] ofrece 11 formas derivadas mediante operaciones de truncamiento, cuatro de las cuales son panales uniformes únicos. Hay 3 subgrupos de índice 2 que generan alternancias: [1 ⁺ ,4,3 ^1,1 ], [4,(3 ^1,1 ) ⁺ ] y [4,3 ^1,1 ] ⁺ . El primero genera panales repetidos y los dos últimos no son uniformes, pero se incluyen para completar. ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$

Los panales de este grupo se denominan cúbicos alternados porque la primera forma puede verse como un panal cúbico con vértices alternos eliminados, reduciendo las celdas cúbicas a tetraedros y creando celdas octaédricas en los espacios.

Los nodos se indexan de izquierda a derecha como 0,1,0',3 , siendo 0' el que se encuentra debajo y es intercambiable con 0. Los nombres cúbicos alternativos que se dan se basan en este orden.

A3, [3[4]] grupo

Hay 5 formas ^[3] construidas a partir del grupo de Coxeter , [3 ^[4] ] , de las cuales solo el panal cúbico de cuarto es único. Hay un subgrupo de índice 2 [3 ^[4] ] ⁺ que genera la forma snub, que no es uniforme, pero se incluye para completar. ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$

Formas no wythoffianas (giradas y alargadas)

Se generan tres panales más uniformes rompiendo uno u otro de los panales anteriores donde sus caras forman un plano continuo, luego rotando capas alternas 60 o 90 grados ( giro ) y/o insertando una capa de prismas ( elongación ).

Las teselaciones cúbicas alternadas alargadas y giroelongadas tienen la misma figura de vértice, pero no son iguales. En la forma alargada , cada prisma se encuentra con un tetraedro en un extremo triangular y con un octaedro en el otro. En la forma giroelongada , los prismas que se encuentran con tetraedros en ambos extremos se alternan con prismas que se encuentran con octaedros en ambos extremos.

El mosaico prismático triangular giroelongado tiene la misma figura de vértice que uno de los mosaicos prismáticos simples; los dos pueden derivarse de los mosaicos prismáticos triangulares girados y simples, respectivamente, insertando capas de cubos.

Pilas prismáticas

Se obtienen once teselas prismáticas apilando en capas paralelas las once teselas planas uniformes que se muestran a continuación. (Uno de estos panales es el cúbico que se muestra arriba). La figura del vértice de cada uno es una bipirámide irregular cuyas caras son triángulos isósceles .

El C₂×Ĩ₁(∞), [4,4,2,∞], grupo prismático

Solo hay 3 panales únicos del mosaico cuadrado, pero los 6 truncamientos del mosaico se enumeran a continuación para completar, y las imágenes del mosaico se muestran con colores correspondientes a cada forma.

El G₂xĨ₁(∞), [6,3,2,∞] grupo prismático

Enumeración de formas Wythoff

A continuación se muestran todas las construcciones no prismáticas de Wythoff realizadas por grupos de Coxeter, junto con sus alternancias . Las soluciones uniformes están indexadas con el listado de Branko Grünbaum . Los fondos verdes se muestran en panales repetidos, y las relaciones se expresan en los diagramas de simetría extendidos.

Ejemplos

El panal cúbico alternado es de especial importancia ya que sus vértices forman un empaquetamiento cúbico de esferas. La armadura que llena el espacio de octaedros y tetraedros empaquetados fue aparentemente descubierta por primera vez por Alexander Graham Bell y redescubierta independientemente por Buckminster Fuller (quien la llamó armadura de octetos y la patentó en la década de 1940). [3] [4] [5] [6]. Las armaduras de octetos se encuentran ahora entre los tipos de armaduras más comunes utilizados en la construcción.

Formas de friso

Si se permite que las celdas sean mosaicos uniformes , se pueden definir panales más uniformes:

Familias:

• ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$× : [4,4,2] ${\displaystyle A_{1}}$ Panales de abejas cúbicos (3 formas)
• ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$× : [6,3,2] ${\displaystyle A_{1}}$ Panales de abejas de losa trihexagonal (8 formas)
• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$× : [(3,3,3),2] ${\displaystyle A_{1}}$ Panales de abejas en losas triangulares (No hay formas nuevas)
• ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$×× : [∞,2,2 ] ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$= Panales de abejas en forma de columna cúbica (1 forma)
• ${\displaystyle I_{2}(p)}$× : [p,2,∞] ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ Panales de abejas con columnas poligonales (análogos a los duoprismas : parecen una única torre infinita de prismas p-gonales, con el espacio restante lleno de prismas apeirogonales )
• ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$× × : [∞,2,∞,2] = [4,4,2] - ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$=(Igual que la familia de panales de abejas de losa cúbica)

Las dos primeras formas que se muestran arriba son semirregulares (uniformes con solo facetas regulares) y fueron enumeradas por Thorold Gosset en 1900 respectivamente como el semijaque 3-ico y el semijaque tetroctaédrico . ^[4]

Panal escaliforme

Un panal escaliforme es transitivo en cuanto a vértices , como un panal uniforme , con caras poligonales regulares, mientras que las celdas y los elementos superiores solo deben ser orbiformes , equiláteros, con sus vértices sobre hiperesferas. Para los panales 3D, esto permite un subconjunto de sólidos de Johnson junto con los poliedros uniformes. Algunos escaliformes se pueden generar mediante un proceso de alternancia, dejando, por ejemplo, huecos en pirámides y cúpulas . ^[5]

Formas hiperbólicas

El panal dodecaédrico de orden 4 , {5,3,4} en perspectiva

El panal de abejas de teselación hexagonal paracompacto , {6,3,3}, en perspectiva

Hay 9 familias de grupos de Coxeter de panales uniformes compactos en el espacio hiperbólico tridimensional , generadas como construcciones de Wythoff y representadas por permutaciones de anillo de los diagramas de Coxeter-Dynkin para cada familia.

De estas 9 familias se generan un total de 76 panales únicos:

• [3,5,3] :- 9 formas
• [5,3,4] :- 15 formularios
• [5,3,5] :- 9 formas
• [5,3 ^1,1 ] :- 11 formas (7 se superponen con la familia [5,3,4], 4 son únicas)
• [(4,3,3,3)] :- 9 formas
• [(4,3,4,3)] :- 6 formularios
• [(5,3,3,3)] :- 9 formas
• [(5,3,4,3)] :- 9 formas
• [(5,3,5,3)] :- 6 formularios

Se conocen varias formas no wythoffianas fuera de la lista de 76; no se sabe cuántas hay.

Formas hiperbólicas paracompactas

También hay 23 grupos de Coxeter paracompactos de rango 4. Estas familias pueden producir panales uniformes con facetas ilimitadas o figura de vértice, incluidos vértices ideales en el infinito:

Referencias

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A242941 (Teselaciones uniformes convexas en dimensión n)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
2. George Olshevsky, (2006, Tetracombos panoploides uniformes , Manuscrito (Lista completa de 11 teselaciónes uniformes convexas, 28 panales convexos uniformes y 143 tetracombos convexos uniformes) [1]
3. [2], A000029 6-1 casos, omitiendo uno con cero puntos
4. Gosset, Thorold (1900). "Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones". Messenger of Mathematics . 29 : 43–48.
5. "Árbol politópico".

• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) The Symmetries of Things , ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 21, Nombramiento de los poliedros y teselaciones de Arquímedes y de Catalán, Teselaciones arquitectónicas y catóptricas, pág. 292-298, incluye todas las formas no prismáticas) 
• Branko Grünbaum , (1994) Teselación uniforme de espacios tridimensionales. Geombinatorics 4, 49 - 56.
• Norman Johnson (1991) Politopos uniformes , manuscrito
• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Capítulo 5: Empaquetamiento de poliedros y llenado del espacio)
• Critchlow, Keith (1970). Orden en el espacio: un libro de referencia sobre diseño . Viking Press. ISBN 0-500-34033-1.
• Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [7]  
  • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Rellenos de espacios uniformes)
• A. Andreini , (1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Sobre las redes regulares y semirregulares de poliedros y sobre las correspondientes redes correlativas), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 75–129. PDF [8]
• DMY Sommerville , (1930) Introducción a la geometría de n dimensiones. Nueva York, EP Dutton, . 196 pp. (edición de Dover Publications, 1958) Capítulo X: Los politopos regulares
• Anthony Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 5. Unión de poliedros
• Cristalografía de cuasicristales: conceptos, métodos y estructuras por Walter Steurer, Sofia Deloudi (2009), pág. 54-55. 12 empaquetamientos de 2 o más poliedros uniformes con simetría cúbica

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Panal". MathWorld .
• Panales uniformes en modelos VRML de 3 espacios
• Panales elementales Espacio transitivo de vértices que llena panales con celdas no uniformes.
• Particiones uniformes del espacio tridimensional, sus parientes e incrustaciones, 1999
• Los poliedros uniformes
• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
• Animación de armadura de octeto
• Reseña: AF Wells, Redes tridimensionales y poliedros, HSM Coxeter (Fuente: Bull. Amer. Math. Soc. Volumen 84, Número 3 (1978), 466-470.)
• Klitzing, Richard. "Teselaciones euclidianas en 3D".
• (secuencia A242941 en la OEIS )