En geometría de 4 dimensiones o más, un doble prisma [1] o duoprisma es un politopo resultante del producto cartesiano de dos politopos, cada uno de dos dimensiones o más. El producto cartesiano de un n -politopo y un m -politopo es un ( n + m ) -politopo, donde n y m son dimensiones de 2 ( polígono ) o superiores.
Los duoprismas de menor dimensión existen en un espacio de 4 dimensiones como 4 politopos que son el producto cartesiano de dos polígonos en un espacio euclidiano de 2 dimensiones . Más precisamente, es el conjunto de puntos:
donde P 1 y P 2 son los conjuntos de puntos contenidos en los respectivos polígonos. Tal duoprisma es convexo si ambas bases son convexas y está limitado por celdas prismáticas .
Los duoprismas de cuatro dimensiones se consideran 4 politopos prismáticos. Un duoprisma construido a partir de dos polígonos regulares de la misma longitud de arista es un duoprisma uniforme .
Un duoprisma formado por n -polígonos y m -polígonos se nombra anteponiendo 'duoprisma' con los nombres de los polígonos base, por ejemplo: un duoprisma triangular-pentagonal es el producto cartesiano de un triángulo y un pentágono.
Una forma alternativa y más concisa de especificar un duoprisma particular es anteponiendo números que denoten los polígonos base, por ejemplo: 3,5-duoprisma para el duoprisma triangular-pentagonal.
Otros nombres alternativos:
El término duoprisma fue acuñado por George Olshevsky, abreviado de doble prisma . John Horton Conway propuso un nombre similar proprisma para prisma de producto , un producto cartesiano de dos o más politopos de dimensión al menos dos. Los duoprismas son proprismas formados a partir de exactamente dos politopos.
Un duoprisma uniforme de 4 dimensiones se crea mediante el producto de un polígono regular de n lados y un polígono regular de m lados con la misma longitud de borde. Está delimitado por n m -prismas gonales y m n -prismas gonales. Por ejemplo, el producto cartesiano de un triángulo y un hexágono es un duoprisma acotado por 6 prismas triangulares y 3 prismas hexagonales.
Los prismas m -gonales están unidos entre sí a través de sus caras m -gonales y forman un circuito cerrado. De manera similar, los prismas n -gonales están unidos entre sí a través de sus caras n -gonales y forman un segundo bucle perpendicular al primero. Estos dos bucles están unidos entre sí a través de sus caras cuadradas y son mutuamente perpendiculares.
A medida que m y n se acercan al infinito, los duoprismas correspondientes se acercan al duocilindro . Como tales, los duoprismas son útiles como aproximaciones no cuádricas del duocilindro.
Una proyección en perspectiva centrada en la celda hace que un duoprisma parezca un toro , con dos conjuntos de celdas ortogonales, prismas p-gonales y q-gonales.
Los duoprismas pq son idénticos a los duoprismas qp, pero se ven diferentes en estas proyecciones porque se proyectan en el centro de celdas diferentes.
Las proyecciones ortogonales centradas en el vértice de los duoprismas pp se proyectan en simetría [2n] para grados impares y [n] para grados pares. Hay n vértices proyectados hacia el centro. Para 4,4, representa el plano A 3 Coxeter del teseracto . La proyección 5,5 es idéntica al triacontaedro rómbico 3D .
El poliedro sesgado regular , {4,4|n}, existe en el espacio 4 como las n 2 caras cuadradas de un nn duoprisma , utilizando todas las 2n 2 aristas y n 2 vértices. Las caras 2 n n -gonales se pueden ver eliminadas. (Los poliedros sesgados se pueden ver de la misma manera mediante un duoprisma nm, pero no son regulares ).
Al igual que los antiprismas como prismas alternos , existe un conjunto de duoantiprismas de 4 dimensiones: 4 politopos que pueden crearse mediante una operación de alternancia aplicada a un duoprisma. Los vértices alternados crean células tetraédricas no regulares, excepto en el caso especial, el duoprisma 4-4 ( tesseract ) que crea las 16 células uniformes (y regulares) . El de 16 celdas es el único duoantiprisma uniforme convexo.
Los duoprismas
, t 0,1,2,3 {p,2,q}, se puede alternar en
, ht 0,1,2,3 {p,2,q}, los "duoantiprismas", que no pueden uniformarse en general. La única solución uniforme convexa es el caso trivial de p=q=2, que es una construcción de simetría inferior del teseracto. , t 0,1,2,3 {2,2,2}, con su alternancia como 16 celdas ,, s{2}s{2}.
La única solución uniforme no convexa es p=5, q=5/3, ht 0,1,2,3 {5,2,5/3},
, construido a partir de 10 antiprismas pentagonales , 10 antiprismas cruzados pentagramáticos y 50 tetraedros, conocido como el gran duoantiprisma (gudap). [2] [3]
También están relacionados los ditetragoltriatos u octagoltriatos, formados al llevar el octágono (considerado un ditetragón o un cuadrado truncado) a un p-gón. El octágono de un p-gón se puede definir claramente si se supone que el octágono es la cáscara convexa de dos rectángulos perpendiculares ; entonces el ditetragoltriado p-gonal es el casco convexo de dos duoprismas pp (donde los p-gonos son similares pero no congruentes y tienen diferentes tamaños) en orientaciones perpendiculares. El policorón resultante es isogonal y tiene 2p prismas p-gonales y p 2 trapezoprismas rectangulares (un cubo con simetría D 2d ), pero no se puede hacer uniforme. La figura del vértice es una bipirámide triangular .
Al igual que los duoantiprismas como duoprismas alternos, hay un conjunto de antiprismoides dobles p-gonales creados alternando los ditetragoltriatos 2p-gonales, creando antiprismas y tetraedros p-gonales mientras se reinterpretan los espacios bipiramidales triangulares no coreálmicos como dos tetraedros. La figura resultante generalmente no es uniforme excepto en dos casos: el gran antiprisma y su conjugado, el doble antiprismoide pentagrámico (con p = 5 y 5/3 respectivamente), representado como la alternancia de un ditetragoltriato decagonal o decagrámico. La figura de vértice es una variante de la esfenocorona .
El duoprisma 3-3 , -1 22 , es el primero de una serie dimensional de politopos uniformes, expresado por Coxeter como serie k 22 . El duoprisma 3-3 es la figura de vértice del segundo, el 5-símplex birectificado . La cuarta figura es un panal euclidiano, 2 22 , y la final es un panal hiperbólico paracompacto, 3 22 , con grupo Coxeter [3 2,2,3 ] ,. Cada politopo uniforme progresivo se construye a partir del anterior como su figura de vértice .
