En matemáticas , un politopo regular de 4 dimensiones o policoron regular es un politopo regular de cuatro dimensiones . Son los análogos cuatridimensionales de los poliedros regulares en tres dimensiones y de los polígonos regulares en dos dimensiones.
Hay seis politopos regulares convexos y diez en estrella , lo que da un total de dieciséis.
Los 4 politopos regulares convexos fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. [1] Descubrió que existen exactamente seis figuras de este tipo.
Schläfli también encontró cuatro de los 4 politopos de estrellas regulares: el gran estrella de 120 células , el gran estrellado de 120 células , el gran estrella de 600 células y el gran gran estrellado de 120 células . Se saltó los seis restantes porque no permitiría formas que no cumplieran la característica de Euler en celdas o figuras de vértice (para toros de agujero cero: F - E + V = 2). Eso excluye celdas y figuras de vértices como el gran dodecaedro {5,5/2} y pequeño dodecaedro estrellado {5/2,5}.
Edmund Hess (1843-1903) publicó la lista completa en su libro alemán de 1883 Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder .
La existencia de un politopo regular de 4 está limitada por la existencia de los poliedros regulares que forman sus celdas y una restricción de ángulo diédrico .
para asegurar que las células se unan para formar una superficie 3 cerrada.
Los seis politopos convexos y diez en estrella descritos son las únicas soluciones a estas limitaciones.
Hay cuatro símbolos de Schläfli no convexos {p,q,r} que tienen celdas válidas {p,q} y figuras de vértice {q,r}, y pasan la prueba del diédrico, pero no producen figuras finitas: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.
Los 4 politopos convexos regulares son los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos en tres dimensiones y los polígonos regulares convexos en dos dimensiones.
Cada politopo regular convexo está delimitado por un conjunto de celdas tridimensionales que son todos sólidos platónicos del mismo tipo y tamaño. Estos se unen a lo largo de sus respectivas caras (cara a cara) de manera regular, formando la superficie del politopo de 4, que es un espacio tridimensional cerrado y curvo (análogo a la forma en que la superficie de la tierra es un espacio bidimensional cerrado y curvo).
Al igual que sus análogos tridimensionales, los 4 politopos regulares convexos se pueden ordenar naturalmente por tamaño como una medida del contenido tridimensional (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor de la secuencia es más redondo que su predecesor y encierra más contenido dentro del mismo radio. [2] El 4-simplex (5 celdas) tiene el contenido más pequeño y el de 120 celdas tiene el más grande.
La siguiente tabla enumera algunas propiedades de los seis 4 politopos regulares convexos. Los grupos de simetría de estos 4 politopos son todos grupos de Coxeter y se dan en la notación descrita en ese artículo. El número que sigue al nombre del grupo es el orden del grupo.
John Conway abogó por los nombres simplex, orthoplex, tesseract, octaplex o polioctaedro (pO), tetraplex o politetraedro (pT) y dodecaplex o polidodecaedro (pD). [3]
Norman Johnson abogó por los nombres de celda n, o pentachoron, hexadecachoron, tesseract u octachoron, icositetrachoron, hexacosichoron y hecatonicosachoron (o dodecacontachoron), acuñando el término polichoron como una analogía 4D con el poliedro 3D y polígono 2D, expresado del griego. raíces poli ("muchos") y choros ("habitación" o "espacio"). [4] [5]
La característica de Euler para todos los 4 politopos es cero, tenemos el análogo tetradimensional de la fórmula poliédrica de Euler:
donde N k denota el número de k -caras en el politopo (un vértice es una cara 0, una arista es una cara 1, etc.).
La topología de cualquier 4 politopo dado está definida por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [6]
Un 4 politopo regular se puede describir completamente como una matriz de configuración que contiene el recuento de los elementos que lo componen. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) indican cuántos de cada elemento se encuentran en el 4 politopo completo. Los números no diagonales dicen cuántos elementos de la columna ocurren en o en el elemento de la fila. Por ejemplo, hay 2 vértices en cada arista (cada arista tiene 2 vértices) y 2 celdas se encuentran en cada cara (cada cara pertenece a 2 celdas), en cualquier 4 politopo regular. La configuración del politopo dual se puede obtener girando la matriz 180 grados. [7] [8]
La siguiente tabla muestra algunas proyecciones bidimensionales de estos 4 politopos. Se pueden encontrar otras visualizaciones en los enlaces externos a continuación. Los gráficos del diagrama de Coxeter-Dynkin también se muestran debajo del símbolo de Schläfli .
Los 4 politopos de Schläfli-Hess son el conjunto completo de 10 policoras estelares regulares que se cruzan entre sí ( politopos de cuatro dimensiones ). [10] Llevan el nombre en honor a sus descubridores: Ludwig Schläfli y Edmund Hess . Cada uno está representado por un símbolo de Schläfli { p , q , r } en el que uno de los números es5/2. Por tanto, son análogos a los poliedros regulares no convexos de Kepler-Poinsot , que a su vez son análogos al pentagrama.
Los nombres que se dan aquí fueron dados por John Conway , ampliando los nombres de Cayley para los poliedros de Kepler-Poinsot : junto con estrellado y grande , agrega un modificador gran . Conway ofreció estas definiciones operativas:
John Conway nombra las 10 formas de 3 politopos de 4 celdas regulares: pT=politetraedro {3,3,5} (un tetraédrico de 600 celdas ), pI=poliicoshedro {3,5,5/2} (un icosaédrico de 120 celdas ), y pD=polidodecaedro {5,3,3} (un dodecaédrico de 120 celdas ), con modificadores de prefijo: g , a y s para grande, (ag)grandioso y estrellado. La estelación final, el gran polidodecaedro estrellado, los contiene a todos como jadeando .
Las diez policoras tienen simetría hexacosicórica [3,3,5] ( H 4 ) . Se generan a partir de 6 grupos de simetría de orden racional de tetraedros Goursat relacionados : [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5 ,5/2], [5,5/2,3] y [3,3,5/2].
Cada grupo tiene 2 estrellas-polícora regulares, excepto dos grupos que son autoduales y tienen solo una. Entonces, hay 4 pares duales y 2 formas autoduales entre las diez policoras de estrellas regulares.
Nota:
Las células (poliedros), sus caras (polígonos), las figuras de aristas poligonales y las figuras de vértices poliédricas se identifican mediante sus símbolos de Schläfli .
