Invariante de Dehn

Valor determinado a partir de un poliedro

En geometría , el invariante de Dehn es un valor utilizado para determinar si un poliedro puede cortarse en pedazos y volver a ensamblarse (" diseccionar ") en otro, y si un poliedro o sus disecciones pueden teselar el espacio . Recibe su nombre en honor a Max Dehn , quien lo utilizó para resolver el tercer problema de Hilbert al demostrar que ciertos poliedros con el mismo volumen no pueden diseccionarse entre sí.

Dos poliedros se dividen en partes poliédricas que pueden volver a ensamblarse para formar cualquiera de ellas, si y solo si sus volúmenes e invariantes de Dehn son iguales. Tener un invariante de Dehn cero es una condición necesaria (pero no suficiente) para ser un poliedro que llena el espacio, y un poliedro puede cortarse y volver a ensamblarse para formar un poliedro que llena el espacio si y solo si su invariante de Dehn es cero. El invariante de Dehn de un poliedro flexible sin autointersección es invariante cuando se flexiona. Los invariantes de Dehn también son un invariante para la disección en dimensiones superiores y (con volumen) un invariante completo en cuatro dimensiones.

El invariante de Dehn es cero para el cubo , pero distinto de cero para los demás sólidos platónicos , lo que implica que los demás sólidos no pueden teselar el espacio y que no pueden diseccionarse para formar un cubo. Todos los sólidos arquimedianos tienen invariantes de Dehn que son combinaciones racionales de los invariantes de los sólidos platónicos. En particular, el octaedro truncado también tesela el espacio y tiene un invariante de Dehn cero, como el cubo.

Los invariantes de Dehn de los poliedros no son números, sino elementos de un espacio tensorial de dimensión infinita . Este espacio, visto como un grupo abeliano , es parte de una secuencia exacta que implica homología de grupo . También se pueden definir invariantes similares para otros problemas de disección , incluido el problema de diseccionar polígonos rectilíneos entre sí mediante cortes y traslaciones paralelos a los ejes.

Antecedentes e historia

Disección de un cuadrado y un triángulo equilátero entre sí. No existe tal disección para el cubo y el tetraedro regular .

En dos dimensiones, el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien de principios del siglo XIX establece que dos polígonos cualesquiera de igual área pueden cortarse en piezas poligonales y volver a ensamblarse entre sí. A finales del siglo XIX, David Hilbert se interesó en este resultado. Lo utilizó como una forma de axiomatizar el área de polígonos bidimensionales, en conexión con los axiomas de Hilbert para la geometría euclidiana . Esto era parte de un programa para hacer más rigurosos los fundamentos de la geometría, al tratar explícitamente nociones como el área que los Elementos de Euclides habían manejado de manera más intuitiva. ^[1] Naturalmente, esto planteó la cuestión de si un tratamiento axiomático similar podría extenderse a la geometría de sólidos . ^[2]

En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 , Hilbert formuló los problemas de Hilbert , un conjunto de problemas que se volvieron muy influyentes en las matemáticas del siglo XX. Uno de ellos, el tercer problema de Hilbert , abordó esta cuestión sobre la axiomatización del volumen sólido. El tercer problema de Hilbert preguntaba, más específicamente, si cada dos poliedros de volúmenes iguales siempre pueden cortarse en pedazos poliédricos y volver a ensamblarse entre sí. Si este fuera el caso, entonces el volumen de cualquier poliedro podría definirse, axiomáticamente, como el volumen de un cubo equivalente en el que podría volver a ensamblarse. Sin embargo, la respuesta resultó ser negativa: no todos los poliedros pueden diseccionarse en cubos. ^[3]

A diferencia de algunos de los otros problemas de Hilbert, la respuesta al tercer problema llegó muy rápidamente. De hecho, Raoul Bricard ya lo había proclamado como teorema en 1896, pero con una prueba que resultó incompleta. ^[4] El alumno de Hilbert, Max Dehn , en su tesis de habilitación de 1900 , inventó el invariante de Dehn para resolver este problema. Dehn demostró que, para ser reensamblados entre sí, dos poliedros de igual volumen también deberían tener invariantes de Dehn iguales, pero encontró dos tetraedros de igual volumen cuyos invariantes de Dehn diferían. Esto proporcionó una solución negativa al problema. ^[2] Aunque Dehn formuló su invariante de manera diferente, el enfoque moderno para el invariante de Dehn es describirlo como un valor en un producto tensorial , siguiendo a Jessen (1968). ^{[5] [6]}

Ejemplos

Cálculo simplificado

La definición del invariante de Dehn de una manera que pueda aplicarse a todos los poliedros simultáneamente implica espacios vectoriales de dimensión infinita (véase § Definición completa, más abajo). Sin embargo, cuando se restringe a cualquier ejemplo particular que consista en un número finito de poliedros, como los sólidos platónicos , se puede definir de una manera más simple, involucrando solo un número finito de dimensiones, de la siguiente manera: ^[7]

• Determinar las longitudes de los bordes y los ángulos diedros (el ángulo entre dos caras que se encuentran a lo largo de un borde) de todos los poliedros.
• Encuentra un subconjunto de los ángulos que formen una base racional . Esto significa que cada ángulo diedro puede representarse como una combinación lineal de elementos de la base, con coeficientes de números racionales . Además, ninguna combinación lineal racional de elementos de la base puede sumar cero . Incluye (o un múltiplo racional de ) en esta base. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$
• Para cada arista de un poliedro, represente su ángulo diedro como una combinación racional de ángulos a partir de la base. Descarte el coeficiente del múltiplo racional de en esta combinación. Interprete los coeficientes restantes como las coordenadas de un vector cuyas dimensiones representan ángulos de la base y escale este vector según la longitud de la arista. ${\displaystyle \pi }$
• Suma los vectores de todos los bordes de un poliedro para producir su invariante de Dehn.

Aunque este método implica elecciones arbitrarias de elementos de base, estas elecciones afectan solo a los coeficientes por los cuales se representan los invariantes de Dehn. Como elementos de un espacio vectorial abstracto, no se ven afectados por la elección de la base. El espacio vectorial abarcado por los invariantes de Dehn de cualquier conjunto finito de poliedros forma un subespacio de dimensión finita del espacio vectorial de dimensión infinita en el que se definen los invariantes de Dehn de todos los poliedros. La cuestión de qué combinaciones de ángulos diedros están relacionadas por combinaciones lineales racionales no siempre es sencilla y puede involucrar métodos no triviales de la teoría de números . ^[7]

Sólidos platónicos

Para los cinco sólidos platónicos, los ángulos diedros son:

• ${\displaystyle \theta _{\mathrm {tet} }=\arccos {\tfrac {1}{3}}\approx 70.5^{\circ }}$para el tetraedro.
• ${\displaystyle \theta _{\mathrm {cube} }=\pi /2=90^{\circ }}$, un ángulo recto , para el cubo.
• ${\displaystyle \theta _{\mathrm {oct} }=\arccos(-{\tfrac {1}{3}})\approx 109.5^{\circ }}$para el octaedro.
• ${\displaystyle \theta _{\mathrm {dodec} }=2\arctan \varphi \approx 116.6^{\circ }}$Para el dodecaedro, donde es la proporción áurea . ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$
• ${\displaystyle \theta _{\mathrm {icos} }=\arccos(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}})\approx 138.2^{\circ }}$para el icosaedro.

El ángulo diedro de un cubo es un múltiplo racional de , pero el resto no lo son . Los ángulos diedros del tetraedro regular y del octaedro regular son ángulos suplementarios : suman . Omitir el tetraedro o el octaedro de estos cinco ángulos produce una base racional: no hay otras relaciones racionales entre estos ángulos. ^[7] Si, por ejemplo, se utiliza la base que omite , y se utiliza como elemento de base pero luego se omite (como un múltiplo racional de ) del cálculo del invariante de Dehn, entonces los elementos de base de ángulo restantes son , , y . Los invariantes de Dehn resultantes tendrán una dimensión para cada elemento de base. Con esta base, para sólidos platónicos con longitud de arista , los invariantes de Dehn son: ^[a] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {oct} }}$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {cube} }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {tet} }}$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {dodec} }}$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {icos} }}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle (6s,0,0)}$para el tetraedro. Tiene seis aristas de longitud , con ángulos diedros tetraédricos. ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle (0,0,0)}$para el cubo. Sus aristas tienen ángulos diedros que se expresan únicamente en términos de , omitido del invariante de Dehn. ${\displaystyle \theta _{\mathrm {cube} }}$
• ${\displaystyle (-12s,0,0)}$para el octaedro. Sus doce aristas tienen diedros . En esta combinación, se descarta el coeficiente para , quedando únicamente un coeficiente para . ${\displaystyle \theta _{\mathrm {oct} }=2\theta _{\mathrm {cube} }-\theta _{\mathrm {tet} }}$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {cube} }}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {tet} }}$
• ${\displaystyle (0,30s,0)}$Para el dodecaedro. Tiene 30 aristas con ángulos diedros dodecaédricos.
• ${\displaystyle (0,0,30s)}$para el icosaedro. Tiene 30 aristas con ángulos diedros icosaédricos.

El cubo es el único de estos sólidos cuyo invariante de Dehn es cero. Los invariantes de Dehn de cada uno de los otros cuatro sólidos platónicos son desiguales y distintos de cero. El invariante de Dehn del octaedro es el mismo que el invariante de Dehn de un tetraedro con la misma longitud de arista. ^[7] ${\displaystyle -2}$

Poliedros relacionados

El invariante de Dehn de cualquier paralelepípedo es cero, al igual que lo es para el cubo. Cada conjunto de cuatro aristas paralelas en un paralelepípedo tiene la misma longitud y tiene ángulos diedros que suman , por lo que sus contribuciones al invariante de Dehn se cancelan a cero. ^[8] Los invariantes de Dehn de los otros sólidos de Arquímedes también se pueden expresar como combinaciones racionales de los invariantes de los sólidos platónicos. ^[7] En términos de la misma base que antes, con el mismo supuesto de que estas formas tienen una longitud de arista , los invariantes de Dehn son: ^[a] ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle (-6s,0,0)}$para el tetraedro truncado .
• ${\displaystyle (12s,0,0)}$para el cubo truncado , el rombicuboctaedro y el cuboctaedro .
• ${\displaystyle (0,0,0)}$para el octaedro truncado , que tesela el espacio como el panal cúbico bitruncado . ^[9]
• ${\displaystyle (0,0,-30s)}$para el dodecaedro truncado .
• ${\displaystyle (0,-30s,0)}$para el icosaedro truncado .
• ${\displaystyle (0,-30s,-30s)}$para el icosidodecaedro .
• ${\displaystyle (0,30s,30s)}$para el rombicosidodecaedro .
• ${\displaystyle (0,0,0)}$para el icosidodecaedro truncado . Este no tesela el espacio directamente, pero como zonóedro puede dividirse en paralelepípedos, que sí lo hacen. ^{[9] [10]}

Aplicaciones

Disección de un cubo en ortosquemas . En el cubo, cada nueva arista introducida en esta disección está rodeada por ángulos diedros que suman (para las diagonales de las caras) o (para la diagonal del cuerpo), por lo que la contribución total al invariante de Dehn de estas aristas es cero. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existe una disección entre cada par de poliedros esféricos o hiperbólicos con el mismo volumen e invariantes de Dehn entre sí?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Como observó Dehn (1901), el invariante de Dehn es un invariante para la disección de poliedros, en el sentido de que cortar un poliedro en piezas poliédricas más pequeñas y luego volver a ensamblarlas en un poliedro diferente no cambia el invariante de Dehn del resultado. Si se introduce una nueva arista en este proceso de corte, entonces o bien está en el interior del poliedro y está rodeada por ángulos diedros que suman , o bien está en una cara del poliedro y está rodeada por diedros que suman ; en cualquier caso, este múltiplo racional de no contribuye al invariante de Dehn. Un análisis similar muestra que tampoco hay cambios en el invariante de Dehn cuando una arista de poliedro existente es el límite de una nueva cara creada al cortar el poliedro. Los nuevos ángulos diedros en esa arista se combinan para dar la misma suma y la misma contribución al invariante de Dehn que tenían antes. Otro invariante de la disección es el volumen de un poliedro: cortarlo en pedazos poliédricos y volver a ensamblarlos no puede cambiar el volumen total. Por lo tanto, si un poliedro P tiene una disección en otro poliedro Q , tanto P como Q deben tener el mismo invariante de Dehn, así como el mismo volumen. ^[11] Sydler (1965) amplió este resultado al demostrar que el volumen y el invariante de Dehn son los únicos invariantes para este problema. Si P y Q tienen ambos el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn, siempre es posible diseccionar uno en el otro. ^{[12] [13]} ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

El invariante de Dehn también restringe la capacidad de un poliedro para teselar el espacio . Cada tesela que llena el espacio tiene un invariante de Dehn cero, como el cubo. Para los poliedros que teselan el espacio periódicamente, esto se lograría utilizando la periodicidad del teselado para cortar y reorganizar la tesela en un paralelepípedo con la misma periodicidad, pero este resultado también se aplica a teselas aperiódicas como el biprisma de Schmitt-Conway-Danzer . ^{[14] [15]} Lo inverso de esto no es cierto: existen poliedros con un invariante de Dehn cero que no teselan el espacio. Sin embargo, estos siempre se pueden diseccionar en otra forma (el cubo) que sí tesela el espacio. El icosidodecaedro truncado es un ejemplo. ^{[9] [10]}

El resultado de Dehn sigue siendo válido para la geometría esférica y la geometría hiperbólica . En ambas geometrías, dos poliedros que se pueden cortar y volver a ensamblar entre sí deben tener el mismo invariante de Dehn. Sin embargo, como observó Jessen, la extensión del resultado de Sydler a la geometría esférica o hiperbólica permanece abierta: no se sabe si dos poliedros esféricos o hiperbólicos con el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn siempre se pueden cortar y volver a ensamblar entre sí. ^[16] Toda variedad hiperbólica con volumen finito se puede cortar a lo largo de superficies geodésicas en un poliedro hiperbólico (un dominio fundamental para el grupo fundamental de la variedad), que cubre la cubierta universal de la variedad y, por lo tanto, necesariamente tiene un invariante de Dehn cero. ^[17]

En términos más generales, si una combinación de poliedros forma un mosaico en el espacio, la suma de sus invariantes de Dehn (tomados en la misma proporción) debe ser cero. Por ejemplo, el panal tetraédrico-octaédrico es un mosaico del espacio formado por tetraedros y octaedros (con el doble de tetraedros que de octaedros), lo que corresponde al hecho de que la suma de los invariantes de Dehn de un octaedro y dos tetraedros (con las mismas longitudes de lado) es cero. ^[b]

Definición completa

Como producto tensorial

La definición del invariante de Dehn requiere una noción de un poliedro para el cual las longitudes y los ángulos diedros de las aristas estén bien definidos. Lo más común es que se aplique a los poliedros cuyos límites son variedades lineales por partes , insertas en un número finito de planos en el espacio euclidiano . Sin embargo, el invariante de Dehn también se ha considerado para poliedros en geometría esférica o en el espacio hiperbólico , ^[5] y para ciertos poliedros autocruzados en el espacio euclidiano. ^[18]

Los valores del invariante de Dehn pertenecen a un grupo abeliano ^[19] definido como el producto tensorial El factor izquierdo de este producto tensorial es el conjunto de números reales (en este caso representando longitudes de aristas de poliedros) y el factor derecho representa ángulos diedros en radianes , dados como números módulo múltiplos racionales de 2 π . ^[12] (Algunas fuentes toman los ángulos módulo π en lugar de módulo 2 π , ^{[5] [19] [20]} o dividen los ángulos por π y usan en lugar de , ^[21] pero esto no hace ninguna diferencia en el producto tensorial resultante, ya que cualquier múltiplo racional de π en el factor derecho se convierte en cero en el producto). $${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

El invariante de Dehn de un poliedro con longitudes de aristas y ángulos diedros de arista es la suma ^[12] ${\displaystyle \ell _{i}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ $${\displaystyle \sum _{i}\ell _{i}\otimes \theta _{i}.}$$

Su estructura como tensor le otorga al invariante de Dehn propiedades adicionales que son geométricamente significativas. En particular, tiene un rango tensorial , el número mínimo de términos en cualquier expresión como una suma de dichos términos. Dado que la expresión del invariante de Dehn como una suma sobre las aristas de un poliedro tiene exactamente esta forma, el rango del invariante de Dehn proporciona un límite inferior para el número mínimo de aristas posibles para cualquier poliedro resultante de una disección de un poliedro dado. ^[22] ${\displaystyle \ell \otimes \theta }$

Usando una base de Hamel

Una descripción alternativa pero equivalente del invariante de Dehn implica la elección de una base de Hamel , un subconjunto infinito de los números reales de modo que cada número real se puede expresar de forma única como una suma de un número finito de múltiplos racionales de elementos de . Por lo tanto, como grupo aditivo, es isomorfo a , la suma directa de copias de con un sumando para cada elemento de . Si se elige que π (o un múltiplo racional de π ) sea uno de sus elementos, y es el resto de la base con este elemento excluido, entonces el producto tensorial se puede describir como el espacio vectorial real (de dimensión infinita) . El invariante de Dehn se puede expresar descomponiendo cada ángulo diedro en una suma finita de elementos de la base donde es racional, es uno de los números reales en la base de Hamel, y estos elementos de la base se numeran de modo que sea el múltiplo racional de π que pertenece a pero no a . Con esta descomposición, el invariante de Dehn es donde cada es el vector unitario estándar en correspondiente al elemento base . La suma aquí comienza en , para omitir el término correspondiente a los múltiplos racionales de π . ^[23] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{(B)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{(B')}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ $${\displaystyle \theta _{i}=\sum _{j=0}^{k_{i}}q_{i,j}b_{i,j}}$$ ${\displaystyle q_{i,j}}$ ${\displaystyle b_{i,j}}$ ${\displaystyle b_{i,0}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$ $${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j=1}^{k_{i}}\ell _{i}q_{i,j}e_{i,j},}$$ ${\displaystyle e_{i,j}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{(B')}}$ ${\displaystyle b_{i,j}}$ ${\displaystyle j=1}$

Esta formulación alternativa muestra que a los valores del invariante de Dehn se les puede dar la estructura adicional de un espacio vectorial real . ^[24] Aunque, en general, la construcción de bases de Hamel involucra el axioma de elección , esto se puede evitar (al considerar cualquier conjunto finito específico de poliedros) restringiendo la atención al espacio vectorial de dimensión finita generado por los ángulos diedros de los poliedros. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Poliedros hiperbólicos con longitudes de aristas infinitas

En el caso de un poliedro ideal en el espacio hiperbólico, las longitudes de las aristas son infinitas, lo que hace que la definición habitual del invariante de Dehn no sea aplicable. Sin embargo, el invariante de Dehn se puede extender a estos poliedros utilizando horósferas para truncar sus vértices y calculando el invariante de Dehn de la forma habitual para la forma truncada resultante, ignorando las aristas curvas adicionales creadas por este proceso de truncamiento. El resultado no depende de la elección de las horósferas para el truncamiento, siempre que cada una corte solo un vértice del poliedro dado. ^[25]

Realizabilidad

Aunque el invariante de Dehn toma valores en no todos los elementos de este espacio pueden realizarse como los invariantes de Dehn de poliedros. Los invariantes de Dehn de poliedros euclidianos forman un subespacio lineal real de : se pueden sumar los invariantes de Dehn de poliedros tomando la unión disjunta de los poliedros (o pegándolos juntos en una cara), negar los invariantes de Dehn haciendo agujeros en la forma del poliedro en cubos grandes y multiplicar el invariante de Dehn por cualquier escalar real positivo escalando el poliedro por el mismo número. La cuestión de qué elementos de son realizables fue aclarada por el trabajo de Dupont y Sah, quienes mostraron la existencia de la siguiente secuencia exacta de grupos abelianos (no espacios vectoriales) que involucran homología de grupo : ^[26] Aquí, la notación representa el grupo abeliano libre sobre poliedros euclidianos módulo ciertas relaciones derivadas de pares de poliedros que pueden diseccionarse entre sí. es el subgrupo generado en este grupo por los prismas triangulares , y se utiliza aquí para representar el volumen (ya que cada número real es el volumen de exactamente un elemento de este grupo). La función del grupo de poliedros a es el invariante de Dehn. es el grupo de rotación de puntos euclidiano , y es la homología del grupo. El teorema de Sydler de que el volumen y el invariante de Dehn son los únicos invariantes para la disección euclidiana se representa homológicamente por la afirmación de que el grupo que aparece en esta secuencia es el grupo trivial (representado en otra parte de la secuencia por la notación 0). Si no fuera trivial, su imagen en el grupo de poliedros daría una familia de poliedros que no son diseccionables en un cubo del mismo volumen pero que tienen un invariante de Dehn cero. Por el teorema de Sydler, tales poliedros no existen. ^[26] ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle 0\to H_{2}(\operatorname {SO} (3),\mathbb {R} ^{3})\to {\mathcal {P}}(E^{3})/{\mathcal {Z}}(E^{3})\to \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to H_{1}(\operatorname {SO} (3),\mathbb {R} ^{3})\to 0}$$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E^{3})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(E^{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{2}(\operatorname {SO} (3),\mathbb {R} ^{3})}$

El grupo que aparece hacia la derecha de la secuencia exacta es isomorfo al grupo de diferenciales de Kähler , y la función de productos tensoriales de longitudes y ángulos a diferenciales de Kähler está dada por donde es la derivación universal (o ). Este grupo es un obstáculo para la realizabilidad: sus elementos distintos de cero provienen de elementos de que no pueden realizarse como invariantes de Dehn. ^[27] Jessen señala, más específicamente, que el tensor de rango uno puede realizarse como un invariante de Dehn si y solo si es un número algebraico . ^[28] Matthias Görner ha conjeturado que, cuando un tensor de esta forma es realizable como un invariante de Dehn, puede realizarse mediante un poliedro que tenga un solo ángulo diedro de longitud y ángulo diedro , con todos los demás ángulos ángulos rectos , pero esto se conoce solo para un conjunto limitado de ángulos diedros. ^[29] ${\displaystyle H_{1}(\operatorname {SO} (3),\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle \Omega _{\mathbb {R} /\mathbb {Q} }^{1}}$ $${\displaystyle \ell \otimes \theta \mapsto \ell {\frac {d\cos \theta }{\sin \theta }}=i\ell {\frac {de^{i\theta }}{e^{i\theta }}},}$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \Omega _{\mathbb {R} /\mathbb {Q} }^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \to \Omega _{\mathbb {C} /\mathbb {Q} }^{1}}$ ${\displaystyle H_{1}(\operatorname {SO} (3),\mathbb {R} ^{3})=\Omega _{\mathbb {R} /\mathbb {Q} }^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \ell \otimes \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \theta }$

En el espacio hiperbólico o esférico, los invariantes de Dehn realizables no forman necesariamente un espacio vectorial, porque la multiplicación escalar ya no es posible. Sin embargo, todavía forman un subgrupo del producto tensorial en el que son elementos. Análogamente, Dupont y Sah prueban la existencia de las secuencias exactas ^[26] y Aquí denota el grupo lineal especial , y es el grupo de transformaciones de Möbius ; el signo menos en superíndice indica el (−1)-espacio propio para la involución inducida por conjugación compleja. denota el grupo unitario especial . El subgrupo en es el grupo generado por toda la esfera. ^[26] De nuevo, el grupo distinto de cero más a la derecha en estas secuencias es el obstáculo para la realizabilidad de un valor en como invariante de Dehn. $${\displaystyle 0\to H_{3}(\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} ),\mathbb {Z} )^{-}\to {\mathcal {P}}({\mathcal {H}}^{3})\to \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to H_{2}(\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} ),\mathbb {Z} )^{-}\to 0}$$ $${\displaystyle 0\to H_{3}(\operatorname {SU} (2),\mathbb {Z} )\to {\mathcal {P}}(S^{3})/\mathbb {Z} \to \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to H_{2}(\operatorname {SU} (2),\mathbb {Z} )\to 0.}$$ ${\displaystyle \operatorname {SL} }$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S^{3})/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

Esta visión algebraica del invariante de Dehn se puede extender a dimensiones superiores, donde tiene una interpretación motívica que implica la teoría K algebraica . ^[17] En cuatro dimensiones, el grupo de poliedros módulo disecciones es isomorfo al grupo tridimensional. Cada politopo tetradimensional se puede disecar en un prisma sobre un politopo tridimensional, y dos politopos tetradimensionales se pueden disecar entre sí cuando sus volúmenes e invariantes de Dehn son iguales. En dimensiones superiores a cuatro, queda abierto si la existencia de disecciones se describe completamente por volúmenes e invariantes de Dehn, o si se necesita otra información para determinar si existe una disección. ^[30]

Resultados relacionados

Disección en tres partes de una cruz griega para formar un rectángulo, utilizando solo cortes y traslaciones paralelos al eje. Un invariante de tipo Dehn muestra que ninguna de estas formas puede diseccionarse para formar un cuadrado con este tipo de disección restringida.

Un enfoque muy similar al invariante de Dehn se puede utilizar para determinar si dos polígonos rectilíneos se pueden diseccionar entre sí solo utilizando cortes y traslaciones paralelos al eje (en lugar de cortes en ángulos y rotaciones arbitrarios). Un invariante para este tipo de disección utiliza el producto tensorial donde los términos izquierdo y derecho en el producto representan la altura y el ancho de los rectángulos. ^{[4] [20] [31] [32]} El invariante para cualquier polígono dado se calcula cortando el polígono en rectángulos, tomando el producto tensorial de la altura y el ancho de cada rectángulo y sumando los resultados. Una disección es posible si y solo si dos polígonos tienen el mismo invariante, lo que implica que también tienen áreas iguales. ^[22] Este invariante se puede utilizar para demostrar otro resultado de Dehn de 1903: dos rectángulos de la misma área se pueden diseccionar entre sí si y solo si sus relaciones de aspecto son múltiplos racionales entre sí. ^[31] De ello se deduce que un poliominó formado a partir de una unión de cuadrados sólo puede diseccionarse de esta manera para formar un cuadrado cuando es un número cuadrado. Para esta versión del invariante de Dehn, el rango tensorial es igual al número mínimo de rectángulos en los que se puede diseccionar un polígono. ^[22] ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Los poliedros flexibles son una clase de poliedros que pueden experimentar un movimiento continuo que preserva la forma de sus caras. Por el teorema de rigidez de Cauchy , deben ser no convexos, y se sabe (el "teorema del fuelle" ) que el volumen del poliedro debe permanecer constante durante este movimiento. Una versión más fuerte de este teorema establece que el invariante de Dehn de dicho poliedro también debe permanecer invariante durante cualquier movimiento continuo. Este resultado se llama " teorema fuerte del fuelle ". Se ha demostrado para todos los poliedros flexibles que no se autointersecan. ^[33] Sin embargo, para poliedros flexibles más complicados con autointersecciones, el invariante de Dehn puede cambiar continuamente a medida que el poliedro se flexiona. ^[34]

La curvatura media total de una superficie lisa se puede generalizar a superficies poliédricas utilizando una definición similar al invariante de Dehn, como la suma de las longitudes de las aristas multiplicada por los ángulos diedros exteriores. También se ha demostrado que permanece constante para cualquier poliedro flexible. ^[35]

Notas

1. Estos valores se pueden encontrar en la tabla 3 de Conway, Radin y Sadun (1999). La base utilizada por esta referencia tiene vectores de base , , y . ${\displaystyle \langle 3\rangle _{2}=-\theta _{\mathrm {tet} }/2}$ ${\displaystyle \langle 5\rangle _{1}=-\theta _{\mathrm {dodec} }}$ ${\displaystyle \langle 3\rangle _{5}=\theta _{\mathrm {icos} }/2}$
2. Este argumento se aplica siempre que las proporciones de las fichas se puedan definir como un punto límite del número de fichas dentro de poliedros más grandes; véase Lagarias y Moews (1995), ecuación (4.2) y la discusión circundante.

Referencias

1. Giovannini, Eduardo N. (2021), «David Hilbert y los fundamentos de la teoría del área plana», Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 75 (6): 649–698, doi : 10.1007/s00407-021-00278-z , MR  4324749
2. Zeeman, EC (julio de 2002), "Sobre el tercer problema de Hilbert", The Mathematical Gazette , 86 (506): 241–247, doi :10.2307/3621846, JSTOR  3621846
3. Gruber, Peter M. (2007), "Capítulo 16: Volumen de politopos y el tercer problema de Hilbert", Geometría convexa y discreta , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 336, Springer, Berlín, págs. 280–291, doi :10.1007/978-3-540-71133-9, ISBN 978-3-540-71132-2, Sr.  2335496.
4. Benko, David (2007), "Un nuevo enfoque para el tercer problema de Hilbert", American Mathematical Monthly , 114 (8): 665–676, doi :10.1080/00029890.2007.11920458, JSTOR  27642302, MR  2354437, S2CID  7213930.
5. Dupont, Johan L.; Sah, Chih-Han (2000), "Tres preguntas sobre símplices en el espacio tridimensional esférico e hiperbólico", The Gelfand Mathematical Seminars, 1996-1999 , Gelfand Math. Sem., Birkhäuser Boston, Boston, MA, págs. 49-76, doi :10.1007/978-1-4612-1340-6_3, ISBN 978-1-4612-7102-4, Sr.  1731633. Véase en particular la pág. 61.
6. Jessen, Børge (1968), "El álgebra de poliedros y el teorema de Dehn-Sydler", Mathematica Scandinavica , 22 (2): 241–256, doi : 10.7146/math.scand.a-10888 , JSTOR  24489773, MR  0251633.
7. Conway, JH ; Radin, C. ; Sadun, L. (1999), "Sobre ángulos cuyas funciones trigonométricas al cuadrado son racionales", Geometría discreta y computacional , 22 (3): 321–332, arXiv : math-ph/9812019 , doi :10.1007/PL00009463, MR  1706614, S2CID  563915, Tabla 3, pág. 331.
8. Akiyama, Jin ; Matsunaga, Kiyoko (2015), "15.3 El tercer problema de Hilbert y el teorema de Dehn", Treks Into Intuitive Geometry , Springer, Tokio, págs. 382–388, doi : 10.1007/978-4-431-55843-9 , ISBN 978-4-431-55841-5, Sr.  3380801.
9. Rouse Ball, WW ; Coxeter, HSM (1947), Mathematical Recreations & Essays (11.ª ed.), Macmillan, págs. 142-143, 148
10. Shephard, GC (1974), "Propiedades combinatorias de zonotopos asociados", Revista Canadiense de Matemáticas , 26 (2): 302–321, doi : 10.4153/CJM-1974-032-5 , MR  0362054; véase en particular la sección 5, "disecciones cúbicas de zonotopos"
11. Dehn, Max (1901), "Ueber den Rauminhalt", Mathematische Annalen (en alemán), 55 (3): 465–478, doi :10.1007/BF01448001, S2CID  120068465
12. Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Invariante de Dehn", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
13. Sydler, J.-P. (1965), "Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidien à trois Dimensions", Commentarii Mathematici Helvetici (en francés), 40 : 43–80, doi :10.1007/bf02564364, MR  0192407, S2CID  123317371
14. Debrunner, Hans E. (1980), "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln", Archiv der Mathematik (en alemán), 35 (6): 583–587, doi :10.1007/BF01235384, MR  0604258, S2CID  121301319.
15. Lagarias, JC ; Moews, D. (1995), "Polítopos que rellenan y cortan congruencia", Geometría discreta y computacional , 13 (3–4): 573–583, doi : 10.1007/BF02574064 , MR  1318797 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
16. Dupont (2001), pág. 6.
17. Goncharov, Alexander (1999), "Volúmenes de variedades hiperbólicas y motivos mixtos de Tate", Journal of the American Mathematical Society , 12 (2): 569–618, doi : 10.1090/S0894-0347-99-00293-3 , MR  1649192.
18. Alexandrov, Victor (2010), "Los invariantes de Dehn de los octaedros de Bricard", Journal of Geometry , 99 (1–2): 1–13, arXiv : 0901.2989 , doi :10.1007/s00022-011-0061-7, MR  2823098, S2CID  17515249.
19. Hartshorne, Robin (2000), Geometría: Euclides y más allá, Textos de pregrado en matemáticas, Springer-Verlag, Nueva York, págs. 232-234, doi :10.1007/978-0-387-22676-7, ISBN 0-387-98650-2, Sr.  1761093.
20. Stillwell, John (1998), Números y geometría, Textos de pregrado en matemáticas, Springer-Verlag, Nueva York, pág. 164, doi :10.1007/978-1-4612-0687-3, ISBN 0-387-98289-2, Sr.  1479640.
21. Dupont, Johan L. (2001), Congruencias de tijeras, homología de grupo y clases características, Nankai Tracts in Mathematics, vol. 1, River Edge, Nueva Jersey: World Scientific, p. 4, doi :10.1142/9789812810335, ISBN 981-02-4507-6, MR  1832859, archivado desde el original el 29 de abril de 2016.
22. Eppstein, David (2022), "Disección ortogonal en unos pocos rectángulos", Actas de la 34.ª Conferencia canadiense sobre geometría computacional , arXiv : 2206.10675
23. Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge (2007), Ómnibus matemático: Treinta conferencias sobre matemáticas clásicas, Providence, RI: American Mathematical Society, pág. 312, doi :10.1090/mbk/046, ISBN 978-0-8218-4316-1, Sr.  2350979Esta fuente utiliza la formulación de base de Hamel del invariante de Dehn, pero con notación tensorial utilizada para los vectores unitarios.
24. Schwartz, Rich (10 de junio de 2013), "El teorema de Dehn-Sydler explicado" (PDF) , Math Notes , Departamento de Matemáticas de la Universidad de Brown , consultado el 13 de marzo de 2023
25. Coulson, David; Goodman, Oliver A.; Hodgson, Craig D.; Neumann, Walter D. (2000), "Cálculo de invariantes aritméticos de 3-variedades", Experimental Mathematics , 9 (1): 127–152, doi :10.1080/10586458.2000.10504641, MR  1758805, S2CID  1313215
26. Dupont (2001), pág. 7.
27. Dupont (2001), Teorema 6.2(a), pág. 35. Dupont afirma que se trata de "una reformulación de un resultado de Jessen (1968)".
28. Jessen (1968), Teorema 6, pág. 255.
29. Görner, Matthias, "α-polyhedra", Unhyperbolic , consultado el 26 de junio de 2024
30. Dupont, Johan L.; Sah, Chih-Han (1990), "Homología de grupos euclidianos de movimientos discretos y congruencias euclidianas de tijeras", Acta Mathematica , 164 (1–2): 1–27, doi : 10.1007/BF02392750 , MR  1037596
31. Dehn, Max (1903), "Über Zerlegung von Rechtecken in Rechtecke", Mathematische Annalen , 57 (3): 314–332, doi :10.1007/BF01444289
32. Spandaw, Jeroen (2004), "Disección de cuboides en cuboides", The American Mathematical Monthly , 111 (5): 425–429, doi :10.2307/4145269, JSTOR  4145269, MR  2057392
33. Gaifullin, Alexander A.; Ignashchenko, Leonid S. (agosto de 2018), "Invariante de Dehn y congruencia de tijera de poliedros flexibles", Actas del Instituto Steklov de Matemáticas , 302 (1): 130–145, arXiv : 1710.11247 , doi :10.1134/s0081543818060068, MR  3894642
34. Alexandrov, Victor; Connelly, Robert (2011), "Suspensiones flexibles con un ecuador hexagonal", Illinois Journal of Mathematics , 55 (1): 127–155, arXiv : 0905.3683 , doi :10.1215/ijm/1355927031, MR  3006683, S2CID  12302514.
35. Alexander, Ralph (1985), "Asignaciones de Lipschitz y curvatura media total de superficies poliédricas. I", Transactions of the American Mathematical Society , 288 (2): 661–678, doi : 10.2307/1999957 , JSTOR  1999957, MR  0776397.

Enlaces externos

• Vídeo sobre los invariantes de Dehn en Numberphile