Tetraedro de Hill

En geometría , los tetraedros de Hill son una familia de tetraedros que ocupan todo el espacio . Fueron descubiertos en 1896 por MJM Hill , profesor de matemáticas en el University College de Londres , quien demostró que son congruentes en forma de tijera con un cubo .

Construcción

Para cada , sean tres vectores unitarios con un ángulo entre cada dos de ellos. Defina el tetraedro de Hill de la siguiente manera: ${\displaystyle \alpha \in (0,2\pi /3)}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Q(\alpha )}$

${\displaystyle Q(\alpha )\,=\,\{c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\mid 0\leq c_{1}\leq c_{2}\leq c_{3}\leq 1\}.}$

Un caso especial es el tetraedro que tiene todos los lados triángulos rectángulos, dos con lados y dos con lados . Ludwig Schläfli lo estudió como un caso especial del ortosquema , y HSM Coxeter lo llamó el tetraedro característico del espacio cúbico. ${\displaystyle Q=Q(\pi /2)}$ ${\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle (1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ${\displaystyle Q}$

Propiedades

• Un cubo puede estar revestido con seis copias de . ^[1] ${\displaystyle Q}$
• Cada uno puede diseccionarse en tres politopos que pueden reensamblarse para formar un prisma . ${\displaystyle Q(\alpha )}$

Generalizaciones

En 1951, Hugo Hadwiger encontró la siguiente generalización n -dimensional de los tetraedros de Hill:

${\displaystyle Q(w)\,=\,\{c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}\mid 0\leq c_{1}\leq \cdots \leq c_{n}\leq 1\},}$

donde los vectores satisfacen para todos , y donde . Hadwiger demostró que todos estos símplices son congruentes en tijera con un hipercubo . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle (v_{i},v_{j})=w}$ ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$ ${\displaystyle -1/(n-1)<w<1}$

Referencias

1. "Tetraedros que llenan el espacio - Proyecto de demostraciones Wolfram".

• MJM Hill, Determinación de los volúmenes de ciertas especies de tetraedros sin emplear el método de límites, Proc. London Math. Soc. , 27 (1895–1896), 39–53.
• H. Hadwiger , Hillsche Hypertetraeder, Gazeta Matemática (Lisboa) , 12 (núm. 50, 1951), 47–48.
• HSM Coxeter , Patrones de friso, Acta Arithmetica 18 (1971), 297–310.
• E. Hertel, Zwei Kennzeichnungen der Hillschen Tetraeder, J. Geom. 71 (2001), núm. 1–2, 68–77.
• Greg N. Frederickson, Disecciones: plano y fantasía , Cambridge University Press, 2003.
• NJA Sloane , VA Vaishampayan, Generalizaciones de la disección tetraédrica de Schobi , arXiv :0710.3857.

Enlaces externos

• Disección en tres partes de un tetraedro de Hill para formar un prisma triangular
• Tetraedros que llenan el espacio