El panal cúbico bitruncado es una teselación que llena el espacio (o panal de abeja ) en el espacio euclidiano 3-espacial formado por octaedros truncados (o, equivalentemente, cubos bitruncados ). Tiene 4 octaedros truncados alrededor de cada vértice. Al estar compuesto enteramente por octaedros truncados , es transitivo por celdas . También es transitivo por aristas , con 2 hexágonos y un cuadrado en cada arista, y transitivo por vértices . Es uno de los 28 panales uniformes .
John Horton Conway llama a este panal octaedro truncado en su lista de teselaciones arquitectónicas y catóptricas , y su dual se denomina tetraedro achatado , también llamado panal tetraédrico diesfenoidal . Aunque un tetraedro regular no puede teselar el espacio solo, este dual tiene celdas de tetraedro diesfenoidal idénticas con caras de triángulos isósceles .
Se puede realizar como la teselación de Voronoi de la red cúbica centrada en el cuerpo . Lord Kelvin conjeturó que una variante del panal cúbico bitruncado (con caras y aristas curvas, pero la misma estructura combinatoria) era la espuma de pompas de jabón óptima. Sin embargo, posteriormente se ha descubierto que una serie de estructuras menos simétricas son espumas de pompas de jabón más eficientes, entre las cuales la estructura de Weaire-Phelan parece ser la mejor.
El panal representa la teselación del permutoedro para el espacio tridimensional. Las coordenadas de los vértices de un octaedro representan un hiperplano de números enteros en el espacio tridimensional, específicamente permutaciones de (1,2,3,4). La teselación está formada por copias trasladadas dentro del hiperplano.
La teselación es la teselación más alta de paraleloedros en el espacio tridimensional.
El panal cúbico bitruncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría. La forma de simetría más alta (hexagonal) se proyecta en un mosaico rombitrihexagonal no uniforme . Una proyección de simetría cuadrada forma dos mosaicos cuadrados truncados superpuestos , que se combinan entre sí como un mosaico cuadrado achaflanado .
La figura del vértice de este panal es un tetraedro diesfenoide , y también es el tetraedro de Goursat ( dominio fundamental ) para el grupo de Coxeter . Este panal tiene cuatro construcciones uniformes, con celdas octaédricas truncadas que tienen diferentes grupos de Coxeter y construcciones de Wythoff . Estas simetrías uniformes se pueden representar coloreando de manera diferente las celdas en cada construcción.
El [4,3,4],
El grupo de Coxeter genera 15 permutaciones de teselaciones uniformes, 9 de ellas con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado. El panal cúbico expandido (también conocido como panal teseractico runcinado) es geométricamente idéntico al panal cúbico.
El [4,3 1,1 ],
El grupo de Coxeter genera 9 permutaciones de teselaciones uniformes, 4 de ellas con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado.
Este panal es uno de los cinco panales uniformes distintos [1] construidos por el grupo de Coxeter . La simetría se puede multiplicar por la simetría de los anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin :
Este panal puede alternarse , creando icosaedros piritoédricos a partir de los octaedros truncados con celdas tetraédricas diesfenoidales creadas en los huecos. Hay tres construcciones a partir de tres diagramas de Coxeter-Dynkin relacionados :
,
, y
Estos tienen simetría [4,3 + ,4], [4,(3 1,1 ) + ] y [3 [4] ] + respectivamente. La primera y la última simetría se pueden duplicar como [[4,3 + ,4]] y [[3 [4] ]] + .
El panal dual está formado por celdas llamadas decaedros de diez de diamantes .
Este panal está representado por los átomos de boro del cristal α-romboédrico . Los centros de los icosaedros se encuentran en las posiciones fcc de la red. [2]
Las variantes no uniformes con simetría [4,3,4] y dos tipos de octaedros truncados se pueden duplicar colocando los dos tipos de octaedros truncados para producir un panal no uniforme con octaedros truncados y prismas hexagonales (como trapezoprismas ditrigonales). Su figura de vértice es una bipirámide triangular C 2v -simétrica .
Este panal puede alternarse para producir otro panal no uniforme con icosaedros piritoédricos , octaedros (como antiprismas triangulares) y tetraedros (como esfenoides). Su figura de vértice tiene simetría C 2v y consta de 2 pentágonos , 4 rectángulos , 4 triángulos isósceles (divididos en dos conjuntos de 2) y 4 triángulos escalenos .
