En geometría , un paraleloedro es un poliedro que puede trasladarse sin rotaciones en el espacio euclidiano tridimensional para llenar el espacio con un panal en el que todas las copias del poliedro se encuentran cara a cara. Hay cinco tipos de paraleloedro, identificados por primera vez por Evgraf Fedorov en 1885 en sus estudios de sistemas cristalográficos: el cubo , el prisma hexagonal , el dodecaedro rómbico , el dodecaedro alargado y el octaedro truncado . [1]
Todo paraleloedro es un zonoedro , un poliedro con simetría central y caras con simetría central. Como cualquier zonoedro, puede construirse como la suma de Minkowski de segmentos de línea, un segmento por cada clase paralela de aristas del poliedro. Para los paraleloedros, hay entre tres y seis de estas clases paralelas. Las longitudes de los segmentos pueden ajustarse arbitrariamente; al hacerlo, se extienden o encogen las aristas correspondientes del paraleloedro, sin cambiar su tipo combinatorio o su propiedad de espacio de teselación. Como caso límite, para un paraleloedro con más de tres clases paralelas de aristas, la longitud de cualquiera de estas clases puede ajustarse a cero, produciendo otro paraleloedro de una forma más simple, con una clase menos de aristas paralelas. [2] Como con todos los zonoedros, estas formas tienen automáticamente simetría de inversión central 2 C i , [1] pero son posibles simetrías adicionales con una elección apropiada de los segmentos generadores. [3]
Los cinco tipos de paraleloedro son: [1]
Cualquier zonoedro cuyas caras tengan la misma estructura combinatoria que una de estas cinco formas es un paraleloedro, independientemente de sus ángulos o longitudes de aristas particulares. Por ejemplo, cualquier transformación afín de un paraleloedro producirá otro paraleloedro del mismo tipo. [1]
Si se subdividen según sus grupos de simetría, hay 22 formas de paralelohedros. Para cada forma, los centros de sus copias en su panal forman los puntos de una de las 14 redes de Bravais . Como hay menos redes de Bravais que formas simétricas de paralelohedros, ciertos pares de paralelohedros se asignan a la misma red de Bravais. [3]
Colocando un punto final de cada segmento de recta generadora de un paraleloedro en el origen del espacio tridimensional, las generatrices pueden representarse como vectores tridimensionales , las posiciones de sus puntos finales opuestos. Para esta colocación de los segmentos, un vértice del paraleloedro estará en el origen, y el resto estarán en posiciones dadas por sumas de ciertos subconjuntos de estos vectores. Un paraleloedro con vectores puede de esta manera parametrizarse por coordenadas, tres para cada vector, pero solo algunas de estas combinaciones son válidas (debido al requisito de que ciertas ternas de segmentos se encuentren en planos paralelos, o equivalentemente que ciertas ternas de vectores sean coplanares) y diferentes combinaciones pueden conducir a paraleloedros que difieren solo por una transformación de rotación, de escala o, más generalmente, por una transformación afín . Cuando se eliminan las transformaciones afines, el número de parámetros libres que describen la forma de un paraleloedro es cero para un paralelepípedo (todos los paralelepípedos son equivalentes entre sí bajo transformaciones afines), dos para un prisma hexagonal, tres para un dodecaedro rómbico, cuatro para un dodecaedro alargado y cinco para un octaedro truncado. [4]
La clasificación de los paraleloedros en cinco tipos fue realizada por primera vez por el cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov , como capítulo 13 de un libro en idioma ruso publicado por primera vez en 1885, cuyo título ha sido traducido al inglés como Introducción a la teoría de figuras . [5] Algunas de las matemáticas en este libro son defectuosas; por ejemplo, incluye una prueba incorrecta de un lema que establece que cada teselación monoédrica del plano es eventualmente periódica, [6] que se demostró que era falsa en 2023 como parte de la solución al problema de Einstein . [7] En el caso de los paraleloedros, Fedorov asumió sin prueba que cada paraleloedro es centralmente simétrico, y utilizó esta suposición para probar su clasificación. La clasificación de los paraleloedros fue posteriormente colocada sobre una base más firme por Hermann Minkowski , quien utilizó su teorema de unicidad para poliedros con normales de caras y áreas dadas para demostrar que los paraleloedros son centralmente simétricos. [1]
En dos dimensiones, la figura análoga a un paraleloedro es un paralelómetro , un polígono que puede teselar el plano de borde a borde mediante traslación. Se trata de paralelogramos y hexágonos con lados opuestos paralelos y de igual longitud. [8]
En dimensiones superiores, un paralelohedro se denomina paraleletopo . Hay 52 paraleletopos tetradimensionales diferentes, enumerados por primera vez por Boris Delaunay (con un paraleletopo faltante, descubierto más tarde por Mikhail Shtogrin), [9] y más de 100.000 tipos en cinco dimensiones. [10] [11] A diferencia del caso de tres dimensiones, no todos son zonotopos . 17 de los paraleletopos tetradimensionales son zonotopos, uno es el regular de 24 celdas y las 34 restantes de estas formas son sumas de Minkowski de zonotopos con el de 24 celdas. [12] Un paraleletopo -dimensional puede tener como máximo facetas, y el permutoedro alcanza este máximo. [2]
Un plesioedro es una clase más amplia de poliedros tridimensionales que llenan el espacio, formados a partir de los diagramas de Voronoi de conjuntos periódicos de puntos. [8] Como Boris Delaunay demostró en 1929, [13] todo paraleloedro puede convertirse en un plesioedro mediante una transformación afín, [1] pero esto permanece abierto en dimensiones superiores, [2] y en tres dimensiones también existen otros plesioedros que no son paraleloedros. Las teselación del espacio por plesioedros tienen simetrías que llevan cualquier celda a cualquier otra celda, pero a diferencia de los paraleloedros, estas simetrías pueden implicar rotaciones, no solo traslaciones. [8]
