Paralelogramo

Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos

En geometría euclidiana , un paralelogramo es un cuadrilátero simple (que no se interseca consigo mismo ) con dos pares de lados paralelos . Los lados opuestos o enfrentados de un paralelogramo tienen la misma longitud y los ángulos opuestos de un paralelogramo tienen la misma medida. La congruencia de los lados opuestos y los ángulos opuestos es una consecuencia directa del postulado euclidiano de las paralelas y ninguna de las condiciones puede demostrarse sin recurrir al postulado euclidiano de las paralelas o a una de sus formulaciones equivalentes.

En comparación, un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos es un trapezoide en inglés americano o un trapecio en inglés británico.

La contraparte tridimensional de un paralelogramo es un paralelepípedo .

La palabra proviene del griego παραλληλό-γραμμον, parallēló-grammon , que significa una forma "de líneas paralelas".

Casos especiales

• Rectángulo : Un paralelogramo con cuatro ángulos de igual tamaño (ángulos rectos).
• Rombo : paralelogramo con cuatro lados de igual longitud. Cualquier paralelogramo que no sea ni un rectángulo ni un rombo se denominaba tradicionalmente romboide, pero este término ya no se utiliza en las matemáticas modernas. ^[1]
• Cuadrado : Un paralelogramo con cuatro lados de igual longitud y ángulos de igual tamaño (ángulos rectos).

Caracterizaciones

Un cuadrilátero simple (no autointersecante) es un paralelogramo si y solo si cualquiera de las siguientes afirmaciones es verdadera: ^{[2] [3]}

• Dos pares de lados opuestos son paralelos (por definición).
• Dos pares de lados opuestos tienen la misma longitud.
• Dos pares de ángulos opuestos son iguales en medida.
• Las diagonales se bisecan entre sí.
• Un par de lados opuestos son paralelos e iguales en longitud.
• Los ángulos adyacentes son suplementarios .
• Cada diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos congruentes .
• La suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales. (Esta es la ley del paralelogramo ).
• Tiene simetría rotacional de orden 2.
• La suma de las distancias desde cualquier punto interior a los lados es independiente de la ubicación del punto. ^[4] (Esta es una extensión del teorema de Viviani ).
• Hay un punto X en el plano del cuadrilátero con la propiedad de que toda línea recta que pasa por X divide el cuadrilátero en dos regiones de igual área. ^[5]

Por lo tanto, todos los paralelogramos tienen todas las propiedades enumeradas anteriormente y, a la inversa , si solo una de estas afirmaciones es verdadera en un cuadrilátero simple, entonces es un paralelogramo.

Otras propiedades

• Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos (por definición) y, por lo tanto, nunca se intersecarán.
• El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo creado por una de sus diagonales.
• El área de un paralelogramo también es igual a la magnitud del producto vectorial de dos lados adyacentes .
• Cualquier línea que pase por el punto medio de un paralelogramo biseca el área. ^[6]
• Cualquier transformación afín no degenerada lleva un paralelogramo a otro paralelogramo.
• Un paralelogramo tiene simetría rotacional de orden 2 (hasta 180°) (o de orden 4 si es un cuadrado). Si también tiene exactamente dos líneas de simetría reflexiva , entonces debe ser un rombo o un oblongo (un rectángulo no cuadrado). Si tiene cuatro líneas de simetría reflexiva, es un cuadrado .
• El perímetro de un paralelogramo es 2( a + b ) donde a y b son las longitudes de los lados adyacentes.
• A diferencia de cualquier otro polígono convexo, un paralelogramo no puede inscribirse en ningún triángulo con menos del doble de su área. ^[7]
• Los centros de cuatro cuadrados, todos construidos interna o externamente en los lados de un paralelogramo, son los vértices de un cuadrado. ^[8]
• Si se construyen dos líneas paralelas a los lados de un paralelogramo concurrentes con una diagonal, entonces los paralelogramos formados en los lados opuestos de esa diagonal son iguales en área. ^[8]
• Las diagonales de un paralelogramo lo dividen en cuatro triángulos de igual área.

Fórmula del área

Un paralelogramo se puede reorganizar en un rectángulo con la misma área.

Animación para la fórmula del área . ${\displaystyle K=bh}$

Todas las fórmulas de área para cuadriláteros convexos generales se aplican a los paralelogramos. Otras fórmulas son específicas para los paralelogramos:

Un paralelogramo con base b y altura h se puede dividir en un trapezoide y un triángulo rectángulo y reorganizarlo en un rectángulo , como se muestra en la figura de la izquierda. Esto significa que el área de un paralelogramo es la misma que la de un rectángulo con la misma base y altura:

${\displaystyle K=bh.}$

El área del paralelogramo es el área de la región azul, que es el interior del paralelogramo.

La fórmula del área de la base × altura también se puede derivar utilizando la figura de la derecha. El área K del paralelogramo de la derecha (el área azul) es el área total del rectángulo menos el área de los dos triángulos naranjas. El área del rectángulo es

${\displaystyle K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,}$

y el área de un solo triángulo es

${\displaystyle K_{\text{tri}}={\frac {A}{2}}\times H.\,}$

Por lo tanto, el área del paralelogramo es

${\displaystyle K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.}$

Otra fórmula de área, para dos lados B y C y ángulo θ, es

${\displaystyle K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,}$

Siempre que el paralelogramo no sea un rombo, el área se puede expresar utilizando los lados B y C y el ángulo en la intersección de las diagonales: ^[9] ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.}$

Cuando el paralelogramo se especifica a partir de las longitudes B y C de dos lados adyacentes junto con la longitud D ₁ de cada diagonal, entonces el área se puede encontrar a partir de la fórmula de Heron . Específicamente es

${\displaystyle K=2{\sqrt {S(S-B)(S-C)(S-D_{1})}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(B+C+D_{1})(-B+C+D_{1})(B-C+D_{1})(B+C-D_{1})}},}$

donde y el factor principal 2 proviene del hecho de que la diagonal elegida divide el paralelogramo en dos triángulos congruentes. ${\displaystyle S=(B+C+D_{1})/2}$

A partir de las coordenadas del vértice

Sean los vectores y la matriz con elementos a y b . Entonces el área del paralelogramo generado por a y b es igual a . ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}}$ ${\displaystyle |\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,}$

Sean vectores y . Entonces el área del paralelogramo generado por a y b es igual a . ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}}$

Sean los puntos . Entonces, el área firmada del paralelogramo con vértices en a , b y c es equivalente al determinante de una matriz construida utilizando a , b y c como filas con la última columna rellenada con unos de la siguiente manera: ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle K=\left|{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{matrix}}\right|.}$

Prueba de que las diagonales se bisecan entre sí

Paralelogramo ABCD

Para demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí, utilizaremos triángulos congruentes :

${\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}$ (los ángulos alternos internos son iguales en medida)

${\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}$ (los ángulos alternos internos son iguales en medida) .

(ya que son ángulos que forma una transversal con las rectas paralelas AB y DC ).

Además, el lado AB tiene la misma longitud que el lado DC , ya que los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud.

Por lo tanto, los triángulos ABE y CDE son congruentes (postulado ALA, dos ángulos correspondientes y el lado incluido ).

Por lo tanto,

${\displaystyle AE=CE}$

${\displaystyle BE=DE.}$

Como las diagonales AC y BD se dividen entre sí en segmentos de igual longitud, las diagonales se bisecan entre sí.

Por separado, como las diagonales AC y BD se bisecan entre sí en el punto E , el punto E es el punto medio de cada diagonal.

Red de paralelogramos

Los paralelogramos pueden teselar el plano por traslación. Si las aristas son iguales o los ángulos son rectos, la simetría de la red es mayor. Estas representan las cuatro redes de Bravais en 2 dimensiones .

Paralelogramos que surgen de otras figuras

Triángulo automediano

Un triángulo automediano es aquel cuyas medianas están en las mismas proporciones que sus lados (aunque en un orden diferente). Si ABC es un triángulo automediano en el que el vértice A se encuentra opuesto al lado a , G es el baricentro (donde se intersecan las tres medianas de ABC ) y AL es una de las medianas extendidas de ABC con L en el círculo circunscrito de ABC , entonces BGCL es un paralelogramo.

Paralelogramo de Varignon

Demostración sin palabras del teorema de Varignon

El teorema de Varignon sostiene que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario son los vértices de un paralelogramo, llamado paralelogramo de Varignon . Si el cuadrilátero es convexo o cóncavo (es decir, no se interseca consigo mismo), entonces el área del paralelogramo de Varignon es la mitad del área del cuadrilátero.

Prueba sin palabras (ver figura):

1. Un cuadrilátero arbitrario y sus diagonales.
2. Las bases de triángulos similares son paralelas a la diagonal azul.
3. Lo mismo ocurre con la diagonal roja.
4. Los pares de bases forman un paralelogramo con la mitad del área del cuadrilátero, A _q , como la suma de las áreas de los cuatro triángulos grandes, A _l es 2 A _q (cada uno de los dos pares reconstruye el cuadrilátero) mientras que la de los triángulos pequeños, A _s es un cuarto de A _l (la mitad de las dimensiones lineales da un cuarto del área), y el área del paralelogramo es A _q menos A _s .

Paralelogramo tangente de una elipse

En el caso de una elipse , se dice que dos diámetros son conjugados si y solo si la línea tangente a la elipse en un punto final de un diámetro es paralela al otro diámetro. Cada par de diámetros conjugados de una elipse tiene un paralelogramo tangente correspondiente , a veces llamado paralelogramo límite, formado por las líneas tangentes a la elipse en los cuatro puntos finales de los diámetros conjugados. Todos los paralelogramos tangentes de una elipse dada tienen la misma área.

Es posible reconstruir una elipse a partir de cualquier par de diámetros conjugados, o a partir de cualquier paralelogramo tangente.

Caras de un paralelepípedo

Un paralelepípedo es una figura tridimensional cuyas seis caras son paralelogramos.

Véase también

• Antiparalelogramo
• Paralelogramoide de Levi-Civita

Referencias

1. "CIMT - Página ya no disponible en los servidores de la Universidad de Plymouth" (PDF) . www.cimt.plymouth.ac.uk . Archivado desde el original (PDF) el 14 de mayo de 2014.
2. Owen Byer, Felix Lazebnik y Deirdre Smeltzer , Métodos para la geometría euclidiana , Asociación Matemática de América, 2010, págs. 51-52.
3. Zalman Usiskin y Jennifer Griffin, "La clasificación de cuadriláteros. Un estudio de definición", Information Age Publishing, 2008, pág. 22.
4. Chen, Zhibo y Liang, Tian. "El recíproco del teorema de Viviani", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, págs. 390–391.
5. Problema 5, Olimpiada Matemática Británica 2006 , [1].
6. Dunn, JA, y JE Pretty, "Dividir un triángulo en dos", Mathematical Gazette 56, mayo de 1972, pág. 105.
7. Weisstein, Eric W. "Circunscripción de un triángulo". Wolfram Math World .
8. Weisstein, Eric W. "Paralelogramo". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Parallelogram.html
9. Mitchell, Douglas W., "El área de un cuadrilátero", Mathematical Gazette , julio de 2009.

Enlaces externos

• Paralelogramo y Rombo - Curso animado (Construcción, Circunferencia, Área)
• Weisstein, Eric W. "Paralelogramo". MathWorld .
• Paralelogramo interactivo: lados, ángulos y pendiente
• Área del paralelogramo en el punto de corte del nudo
• Triángulos equiláteros en los lados de un paralelogramo en cut-the-knot
• Definición y propiedades de un paralelogramo con subprograma animado
• Aplicación interactiva que muestra el cálculo del área de un paralelogramo Aplicación interactiva