centroide

Posición media de todos los puntos de una forma.

centroide de un triangulo

En matemáticas y física , el centroide , también conocido como centro geométrico o centro de figura , de una figura plana o figura sólida es la posición media aritmética de todos los puntos en la superficie de la figura. ^{[ se necesita más explicación ]} La misma definición se extiende a cualquier objeto en el espacio euclidiano en dimensiones . ^[1] ${\displaystyle n}$

En geometría , a menudo se supone una densidad de masa uniforme , en cuyo caso el baricentro o centro de masa coincide con el centroide. Informalmente, puede entenderse como el punto en el que un recorte de la forma (con masa distribuida uniformemente) podría equilibrarse perfectamente en la punta de un alfiler. ^[2]

En física, si se consideran las variaciones de la gravedad , entonces un centro de gravedad se puede definir como la media ponderada de todos los puntos ponderados por su peso específico .

En geografía , el centroide de una proyección radial de una región de la superficie terrestre al nivel del mar es el centro geográfico de la región .

Historia

El término "centroide" es de acuñación reciente (1814). ^[3] Se utiliza como sustituto de los términos más antiguos "centro de gravedad" y " centro de masa " cuando se deben enfatizar los aspectos puramente geométricos de ese punto. El término es peculiar del idioma inglés; los franceses, por ejemplo, utilizan " center de gravité " en la mayoría de las ocasiones, y otros ^{[ se necesita aclaración ]} utilizan términos de significado similar. ^{[ cita necesaria ]}

El centro de gravedad, como su nombre indica, es un concepto que surgió en la mecánica, probablemente en relación con las actividades de construcción. No se sabe cuándo apareció la idea por primera vez, ya que el concepto probablemente se les ocurrió a muchas personas individualmente con diferencias menores. No obstante, el centro de gravedad de las figuras fue ampliamente estudiado en la Antigüedad; Bossut le da crédito a Arquímedes (287-212 a. C.) por ser el primero en encontrar el centroide de figuras planas, aunque nunca lo define. ^[4] Se ha perdido un tratamiento de los centroides de sólidos realizado por Arquímedes. ^[5]

Es poco probable que Arquímedes aprendiera el teorema de que las medianas de un triángulo se encuentran en un punto (el centro de gravedad del triángulo) directamente de Euclides , ya que esta proposición no se encuentra en los Elementos . La primera afirmación explícita de esta proposición se debe a Herón de Alejandría (quizás del siglo I d.C.) y se da en su Mecánica . Cabe agregar, de paso, que la proposición no se volvió común en los libros de texto sobre geometría plana hasta el siglo XIX. ^{[ cita necesaria ]}

Propiedades

El centroide geométrico de un objeto convexo siempre se encuentra en el objeto. Un objeto no convexo podría tener un centroide que esté fuera de la figura misma. El centroide de un anillo o de un cuenco , por ejemplo, se encuentra en el vacío central del objeto.

Si se define el centroide, es un punto fijo de todas las isometrías en su grupo de simetría . En particular, el centroide geométrico de un objeto se encuentra en la intersección de todos sus hiperplanos de simetría . El centroide de muchas figuras ( polígono regular , poliedro regular , cilindro , rectángulo , rombo , círculo , esfera , elipse , elipsoide , superelipse , superelipsoide , etc.) puede determinarse únicamente mediante este principio.

En particular, el centroide de un paralelogramo es el punto de encuentro de sus dos diagonales . Esto no es cierto para otros cuadriláteros .

Por la misma razón, el centroide de un objeto con simetría traslacional no está definido (o se encuentra fuera del espacio circundante), porque una traslación no tiene un punto fijo.

Ejemplos

El centroide de un triángulo es la intersección de las tres medianas del triángulo (cada mediana conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto). ^[6]

Para conocer otras propiedades del centroide de un triángulo, consulte a continuación.

Determinación

Método de la plomada

El centroide de una lámina plana uniformemente densa , como en la figura (a) a continuación, se puede determinar experimentalmente usando una plomada y un alfiler para encontrar el centro de masa colocado de un cuerpo delgado de densidad uniforme que tenga la misma forma. El cuerpo se sujeta mediante el pasador, insertado en un punto, fuera del presunto centroide de tal manera que pueda girar libremente alrededor del pasador; Luego se deja caer la plomada desde el pasador (figura b). La posición de la plomada se traza en la superficie y el procedimiento se repite con el pasador insertado en cualquier punto diferente (o en varios puntos) fuera del centroide del objeto. El único punto de intersección de estas líneas será el centroide (figura c). Siempre que el cuerpo tenga una densidad uniforme, todas las líneas trazadas de esta manera incluirán el centroide y todas las líneas se cruzarán exactamente en el mismo lugar.

Este método puede extenderse (en teoría) a formas cóncavas donde el centroide puede estar fuera de la forma, y ​​virtualmente a sólidos (nuevamente, de densidad uniforme), donde el centroide puede estar dentro del cuerpo. Las posiciones (virtuales) de las plomadas deben registrarse por medios distintos a dibujarlas a lo largo de la forma.

Método de equilibrio

Para formas bidimensionales convexas, el centroide se puede encontrar equilibrando la forma en una forma más pequeña, como la parte superior de un cilindro estrecho. El centroide ocurre en algún lugar dentro del rango de contacto entre las dos formas (y exactamente en el punto donde la forma se equilibraría sobre un alfiler). En principio, se pueden utilizar cilindros progresivamente más estrechos para encontrar el centroide con precisión arbitraria. En la práctica, las corrientes de aire hacen que esto sea inviable. Sin embargo, al marcar el rango de superposición de múltiples balanzas, se puede lograr un nivel considerable de precisión.

De un conjunto finito de puntos

El centroide de un conjunto finito de puntos es [ 1 ^] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}.}$$

Por descomposición geométrica

El centroide de una figura plana se puede calcular dividiéndola en un número finito de figuras más simples, calculando el centroide y el área de cada parte, y luego calculando ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle C_{x}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{x}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}},\quad C_{y}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{y}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}}.}$$

Los agujeros en la figura que se superponen entre las partes, o las partes que se extienden fuera de la figura, se pueden manejar usando áreas negativas. Es decir, las medidas deben tomarse con signos positivos y negativos de tal manera que la suma de los signos de todas las partes que encerrar un punto dado es si pertenece y en caso contrario. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{i}.}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0}$

Por ejemplo, la siguiente figura (a) se divide fácilmente en un cuadrado y un triángulo, ambos con área positiva; y un agujero circular, con área negativa (b).

El centroide de cada parte se puede encontrar en cualquier lista de centroides de formas simples (c). Entonces el centroide de la figura es el promedio ponderado de los tres puntos. La posición horizontal del centroide, desde el borde izquierdo de la figura es

$${\displaystyle x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2}}10^{2}-3\times \pi 2.5^{2}}{10^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi 2.5^{2}}}\approx 8.5{\text{ units}}.}$$

La misma fórmula se aplica a cualquier objeto tridimensional, excepto que cada uno debe ser el volumen de en lugar de su área. También es válido para cualquier subconjunto de cualquier dimensión con las áreas reemplazadas por las medidas dimensionales de las piezas. ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle X_{i},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d}$

Por fórmula integral

El centroide de un subconjunto de también se puede calcular mediante la integral ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle C={\frac {\int xg(x)\,dx}{\int g(x)\,dx}}}$$

donde las integrales se toman sobre todo el espacio y es la función característica del subconjunto, que está dentro y fuera de él. ^[7] Tenga en cuenta que el denominador es simplemente la medida del conjunto. Esta fórmula no se puede aplicar si el conjunto tiene medida cero o si alguna de las integrales diverge. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Otra fórmula para el centroide es

$${\displaystyle C_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\,dz}{\int g(x)\,dx}},}$$

donde es la coordenada enésima de y es la medida de la intersección de con el hiperplano definido por la ecuación Nuevamente, el denominador es simplemente la medida de ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S_{k}(z)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{k}=z.}$ ${\displaystyle X.}$

Para una figura plana, en particular, las coordenadas baricéntricas son

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\,dx}{A}},\quad C_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\,dy}{A}},}$$

donde es el área de la figura , es la longitud de la intersección de con la línea vertical en la abscisa y es la cantidad análoga para los ejes intercambiados. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S_{y}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle S_{x}(y)}$

De una región delimitada

El centroide de una región delimitada por las gráficas de las funciones continuas y tal que en el intervalo está dado por ^{[7] [8]} ${\displaystyle ({\bar {x}},\;{\bar {y}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle a\leq x\leq b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\\[5mu]{\bar {y}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\end{aligned}}}$$

¿Dónde está el área de la región (dada por )? ^{[9] [10]} ${\displaystyle A}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}dx}$

Con un integraph

Se puede utilizar un integraph (un pariente del planímetro ) para encontrar el centroide de un objeto de forma irregular con un límite suave (o por partes suave). El principio matemático involucrado es un caso especial del teorema de Green . ^[11]

De un objeto en forma de L

Este es un método para determinar el centroide de un objeto en forma de L.

1. Divide la forma en dos rectángulos, como se muestra en la figura 2. Encuentra los centroides de estos dos rectángulos dibujando las diagonales. Dibuja una línea que una los centroides. El centroide de la forma debe estar en esta línea. ${\displaystyle AB.}$
2. Divide la forma en otros dos rectángulos, como se muestra en la figura 3. Encuentra los centroides de estos dos rectángulos dibujando las diagonales. Dibuja una línea que una los centroides. El centroide de la forma de L debe estar en esta línea. ${\displaystyle CD.}$
3. Como el centroide de la forma debe estar a lo largo y también debe estar en la intersección de estas dos líneas, el punto puede estar dentro o fuera del objeto en forma de L. ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle CD,}$ ${\displaystyle O.}$ ${\displaystyle O}$

de un triangulo

El centroide de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas (las líneas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto). ^[6] El centroide divide cada una de las medianas en la proporción , es decir, se ubica de la distancia de cada lado al vértice opuesto (ver figuras a la derecha). ^{[12] [13]} Sus coordenadas cartesianas son la media de las coordenadas de los tres vértices. Es decir, si los tres vértices son y entonces el centroide (indicado aquí pero más comúnmente indicado en geometría de triángulos ) es ${\displaystyle 2:1,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle L=(x_{L},y_{L}),}$ ${\displaystyle M=(x_{M},y_{M}),}$ ${\displaystyle N=(x_{N},y_{N}),}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle C={\tfrac {1}{3}}(L+M+N)={\bigl (}{\tfrac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),{\tfrac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N}){\bigr )}.}$$

Por tanto, el centroide está en coordenadas baricéntricas . ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}}$

En coordenadas trilineales, el centroide se puede expresar de cualquiera de estas formas equivalentes en términos de las longitudes de los lados y los ángulos de los vértices : ^[14] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle L,M,N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\[6pt]&=\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M\\[6pt]&=\sec L+\sec M\cdot \sec N:\sec M+\sec N\cdot \sec L:\sec N+\sec L\cdot \sec M.\end{aligned}}}$$

El centroide es también el centro físico de masa si el triángulo está hecho de una lámina uniforme de material; o si toda la masa está concentrada en los tres vértices, y dividida uniformemente entre ellos. Por otro lado, si la masa se distribuye a lo largo del perímetro del triángulo, con densidad lineal uniforme , entonces el centro de masa se encuentra en el centro de Spieker (el incentro del triángulo medial ), que no coincide (en general) con la línea geométrica. centroide del triángulo completo.

El área del triángulo es multiplicada por la longitud de cualquier lado por la distancia perpendicular desde el lado al centroide. ^[15] ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$

El centroide de un triángulo se encuentra en su línea de Euler entre su ortocentro y su circuncentro exactamente dos veces más cerca de este último que del primero: ^{[16] [17]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle O,}$

$${\displaystyle {\overline {CH}}=2{\overline {CO}}.}$$

Además, para el incentro y el centro de nueve puntos tenemos ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle N,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {CH}}&=4{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {CO}}&=2{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IH}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {IO}}.\end{aligned}}}$$

Si es el centroide del triángulo entonces: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle ({\text{Area of }}\triangle ABG)=({\text{Area of }}\triangle ACG)=({\text{Area of }}\triangle BCG)={\tfrac {1}{3}}({\text{Area of }}\triangle ABC).}$$

El conjugado isogonal del centroide de un triángulo es su punto simediano .

Cualquiera de las tres medianas que pasan por el centroide divide el área del triángulo por la mitad. Esto no es cierto para otras rectas que pasan por el centroide; la mayor desviación de la división de áreas iguales ocurre cuando una línea que pasa por el centroide es paralela a un lado del triángulo, creando un triángulo más pequeño y un trapezoide ; en este caso el área del trapezoide es la del triángulo original. ^[18] ${\displaystyle {\tfrac {5}{9}}}$

Sea cualquier punto en el plano de un triángulo con vértices y centroide. Entonces la suma de las distancias al cuadrado de los tres vértices excede la suma de las distancias al cuadrado del centroide a los vértices en tres veces la distancia al cuadrado entre y : ^{[19 ]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3PG^{2}.}$$

La suma de los cuadrados de los lados del triángulo es igual a tres veces la suma de las distancias al cuadrado del centroide a los vértices: ^[19]

$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$$

El centroide de un triángulo es el punto que maximiza el producto de las distancias dirigidas de un punto desde las líneas laterales del triángulo. ^[20]

Sea un triángulo, sea su centroide y sean los puntos medios de los segmentos, respectivamente. Para cualquier punto en el plano de ^[21] ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D,E,F}$ ${\displaystyle BC,CA,AB,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

de un polígono

El centroide de un polígono cerrado que no se interseca definido por vértices es el punto ^[22] donde ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\;}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;\ldots ,\;}$ ${\displaystyle (x_{n-1},y_{n-1}),}$ ${\displaystyle (C_{x},C_{y}),}$

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

y

$${\displaystyle C_{\mathrm {y} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

y dónde está el área con signo del polígono, ^[22] como lo describe la fórmula del cordón : ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}).}$$

En estas fórmulas, se supone que los vértices están numerados en el orden en que aparecen a lo largo del perímetro del polígono; Además, se supone que el vértice es el mismo, ya que el significado en el último caso debe recorrerse (si los puntos se numeran en el sentido de las agujas del reloj, el área calculada como arriba será negativa; sin embargo, las coordenadas del centroide serán correctas incluso en este caso.) ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle i=0.}$ ${\displaystyle A,}$

De un cono o pirámide

El centroide de un cono o pirámide se ubica en el segmento de recta que conecta el vértice con el centroide de la base. Para un cono o pirámide sólido, el centroide es la distancia desde la base hasta el vértice. Para un cono o pirámide que es solo una cáscara (hueco) sin base, el centroide es la distancia desde el plano de la base hasta el vértice. ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

De un tetraedro y simplex n -dimensional

Un tetraedro es un objeto en el espacio tridimensional que tiene cuatro triángulos como caras . Un segmento de recta que une un vértice de un tetraedro con el centroide de la cara opuesta se llama mediana , y un segmento de recta que une los puntos medios de dos aristas opuestas se llama bimediana . Por tanto, hay cuatro medianas y tres bimedianas. Todos estos siete segmentos de línea se encuentran en el centroide del tetraedro. ^[23] Las medianas se dividen por el centroide en la relación El centroide de un tetraedro es el punto medio entre su punto Monge y el circuncentro (centro de la esfera circunscrita). Estos tres puntos definen la línea de Euler del tetraedro que es análoga a la línea de Euler de un triángulo. ${\displaystyle 3:1.}$

Estos resultados se generalizan a cualquier simplex de dimensión de la siguiente manera. Si el conjunto de vértices de un simplex se considera entonces los vértices como vectores , el centroide es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {v_{0},\ldots ,v_{n}},}$

$${\displaystyle C={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}.}$$

El centroide geométrico coincide con el centro de masa si la masa está distribuida uniformemente en todo el símplex o concentrada en los vértices como masas iguales. ${\displaystyle n+1}$

de un hemisferio

El centroide de un hemisferio sólido (es decir, la mitad de una bola sólida) divide el segmento de línea que conecta el centro de la esfera con el polo del hemisferio en la proporción (es decir, se encuentra en el camino entre el centro y el polo). El centroide de un hemisferio hueco (es decir, la mitad de una esfera hueca) divide por la mitad el segmento de línea que conecta el centro de la esfera con el polo del hemisferio. ${\displaystyle 3:5}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

Ver también

• centro chebyshev
• media circular
• Fréchet significa
• ${\displaystyle k}$-significa algoritmo
• Lista de centroides
• medoide
• Teorema del centroide de Pappus
• centroide espectral
• Centro del triángulo

Notas

1. Protter y Morrey (1970, pág. 520)
2. Protter y Morrey (1970, pág.521)
3. Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres en Google Books
4. Tribunal, Nathan Altshiller (1960). "Notas sobre el centroide". El profesor de matemáticas . 53 (1): 33–35. doi :10.5951/MT.53.1.0033. JSTOR  27956057.
5. Knorr, W. (1978). "El tratado perdido de Arquímedes sobre los centros de gravedad de los sólidos". El inteligente matemático . 1 (2): 102-109. doi :10.1007/BF03023072. ISSN  0343-6993. S2CID  122021219.
6. Altshiller-Court (1925, p.66)
7. Protter y Morrey (1970, pág. 526)
8. Protter y Morrey (1970, pág.527)
9. Protter y Morrey (1970, pág.528)
10. Larson (1998, págs. 458–460)
11. Sangwin
12. Altshiller-Court (1925, pág.65)
13. Kay (1969, pág.184)
14. Enciclopedia de triángulos de Clark Kimberling "Enciclopedia de centros de triángulos". Archivado desde el original el 19 de abril de 2012 . Consultado el 2 de junio de 2012 .
15. Johnson (2007, pág.173)
16. Altshiller-Court (1925, pág.101)
17. Kay (1969, págs.18, 189, 225-226)
18. Fondo, Henry. "Medianas y bisectrices de área de un triángulo" . Consultado el 27 de septiembre de 2013 .
19. Altshiller-Court (1925, págs. 70-71)
20. Kimberling, Clark (201). "Desigualdades de distancia trilineales para el punto simediano, el centroide y otros centros de triángulos". Foro Geométricorum . 10 : 135-139.
21. Gerald A. Edgar, Daniel H. Ullman y Douglas B. West (2018) Problemas y soluciones, The American Mathematical Monthly, 125:1, 81-89, DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
22. Bourke (1997)
23. Leung, Kam-tim; y Suen, Suk-nam; "Vectores, matrices y geometría", Hong Kong University Press, 1994, págs. 53–54

Referencias

• Altshiller-Court, Nathan (1925), Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2ª ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN  52013504
• Bourke, Paul (julio de 1997). "Cálculo del área y centroide de un polígono".
• Johnson, Roger A. (2007), Geometría euclidiana avanzada , Dover
• Kay, David C. (1969), College Geometry , Nueva York: Holt, Rinehart y Winston , LCCN  69012075
• Larson, Roland E.; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (1998), Cálculo de una sola variable (6ª ed.), Houghton Mifflin Company
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Sangwin, CJ, Localización del centro de masa por medios mecánicos (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 13 de noviembre de 2013.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Centroide geométrico". MundoMatemático .
• Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling. El centroide está indexado como X(2).
• Propiedad característica del centroide en el corte del nudo
• Animaciones interactivas que muestran el centroide de un triángulo y la construcción del centroide con compás y regla.
• Encontrar experimentalmente las medianas y el centroide de un triángulo en Dynamic Geometry Sketches, un boceto interactivo de geometría dinámica utilizando el simulador de gravedad de Cenicienta.