En geometría , un antiparalelogramo es un tipo de cuadrilátero que se cruza a sí mismo . Al igual que un paralelogramo , un antiparalelogramo tiene dos pares opuestos de lados de igual longitud, pero estos pares de lados no son en general paralelos . En cambio, cada par de lados es antiparalelo con respecto al otro, y los lados del par más largo se cruzan como en un mecanismo de tijera . Mientras que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales y están orientados de la misma manera, los de un antiparalelogramo son iguales pero están orientados de manera opuesta. Los antiparalelogramos también se denominan contraparalelogramos [1] o paralelogramos cruzados . [2]
Los antiparalelogramos aparecen como figuras de vértice de ciertos poliedros uniformes no convexos . En la teoría de los vínculos de cuatro barras , los vínculos con forma de antiparalelogramo también se denominan vínculos de mariposa o vínculos de pajarita , y se utilizan en el diseño de engranajes no circulares . En mecánica celeste , ocurren en ciertas familias de soluciones al problema de los 4 cuerpos .
Cada antiparalelogramo tiene un eje de simetría , con los cuatro vértices en un círculo. Se puede formar a partir de un trapezoide isósceles sumando las dos diagonales y quitando dos lados paralelos. El área con signo de todo antiparalelogramo es cero.
Un antiparalelogramo es un caso especial de cuadrilátero cruzado , con dos pares de aristas de igual longitud. [3] En general, los cuadriláteros cruzados pueden tener aristas desiguales. [3] Una forma especial del antiparalelogramo es un rectángulo cruzado , en el que dos aristas opuestas son paralelas. [4] Cada antiparalelogramo es un cuadrilátero cíclico , lo que significa que sus cuatro vértices se encuentran todos en un solo círculo . [3] Además, los cuatro lados extendidos de cualquier antiparalelogramo son las bitangentes de dos círculos, lo que hace que los antiparalelogramos estén estrechamente relacionados con los cuadriláteros tangenciales , los cuadriláteros extangenciales y las cometas (que son tanto tangenciales como extangenciales). [5]
Todo antiparalelogramo tiene un eje de simetría que pasa por su punto de cruce. Debido a esta simetría, tiene dos pares de ángulos iguales y dos pares de lados iguales. [2] Los cuatro puntos medios de sus lados se encuentran en una línea perpendicular al eje de simetría; es decir, para este tipo de cuadrilátero, el paralelogramo de Varignon es un cuadrilátero degenerado de área cero, que consta de cuatro puntos colineales. [6] [7] La cáscara convexa de un antiparalelogramo es un trapezoide isósceles , y cada antiparalelogramo puede formarse a partir de un trapezoide isósceles (o sus casos especiales, los rectángulos y cuadrados) reemplazando dos lados paralelos por las dos diagonales del trapecio. . [4]
Debido a que un antiparalelogramo forma dos regiones triangulares congruentes del plano, pero gira alrededor de esas dos regiones en direcciones opuestas, su área con signo es la diferencia entre las áreas de las regiones y, por lo tanto, es cero. [7] El área sin signo del polígono (el área total que rodea) es la suma, en lugar de la diferencia, de estas áreas. Para un antiparalelogramo con dos diagonales paralelas de longitudes y , separadas por altura , esta suma es . [4] De aplicar la desigualdad del triángulo a estas dos regiones triangulares se deduce que el par de aristas que se cruzan en un antiparalelogramo siempre debe ser más largo que las dos aristas no cruzadas. [8]
Varios poliedros uniformes no convexos , incluidos el tetrahemihexaedro , el cubohemioctaedro , el octahemioctaedro , el rombihexaedro pequeño , el icosihemidodecaedro pequeño y el dodecahemidodecaedro pequeño , tienen antiparalelogramos como figuras de vértice , las secciones transversales formadas cortando el poliedro por un plano que pasa cerca de un vértice, perpendicularmente a el eje entre el vértice y el centro. [9]
Una forma de poliedro no uniforme pero flexible , el octaedro de Bricard , puede construirse como una bipirámide sobre un antiparalelogramo. [10]
El antiparalelogramo se ha utilizado como una forma de varillaje de cuatro barras , en el que cuatro vigas rígidas de longitud fija (los cuatro lados del antiparalelogramo) pueden girar entre sí en juntas colocadas en los cuatro vértices del antiparalelogramo. En este contexto también se le llama enlace de mariposa o pajarita . Como vínculo, tiene un punto de inestabilidad en el que se puede convertir en un paralelogramo y viceversa, pero cualquiera de estos vínculos se puede reforzar para evitar esta inestabilidad. [12] [11]
Tanto para los vínculos de paralelogramo como para los de antiparalelogramo, si uno de los bordes largos (cruzados) del vínculo se fija como base, las uniones libres se mueven en círculos iguales, pero en un paralelogramo se mueven en la misma dirección con velocidades iguales, mientras que en el paralelogramo se mueven en la misma dirección con velocidades iguales. antiparalelogramo se mueven en direcciones opuestas con velocidades desiguales. [13] Como descubrió James Watt , si un antiparalelogramo tiene su lado largo fijado de esta manera, el punto medio del borde largo no fijado trazará una lemniscata o curva en forma de ocho. Para el antiparalelogramo formado por los lados y diagonales de un cuadrado, es la lemniscata de Bernoulli . [14] [15]
El antiparalelogramo con su lado largo fijo es una variante del eslabonamiento de Watt . [14] Un antiparalelogramo es una característica importante en el diseño del inversor de Hart , un vínculo que (como el vínculo Peaucellier-Lipkin ) puede convertir el movimiento giratorio en movimiento rectilíneo. [16] También se puede utilizar un varillaje en forma de antiparalelogramo para conectar los dos ejes de un vehículo de cuatro ruedas, disminuyendo el radio de giro del vehículo en relación con una suspensión que solo permite girar un eje. [2] Se utilizó un par de antiparalelogramos anidados en un enlace definido por Alfred Kempe como parte del teorema de universalidad de Kempe , afirmando que cualquier curva algebraica puede trazarse mediante las uniones de un enlace adecuadamente definido. Kempe llamó "multiplicador" al enlace de antiparalelogramo anidado, ya que podría usarse para multiplicar un ángulo por un número entero. [1] Usado en la otra dirección, para dividir ángulos, se puede usar para la trisección de ángulos (aunque no como una construcción con regla y compás ). [17] Las construcciones originales de Kempe utilizando este vínculo pasaron por alto la inestabilidad paralelogramo-antiparalelogramo, pero reforzar los vínculos soluciona su prueba del teorema de universalidad. [12]
Suponga que uno de los bordes no cruzados de un eslabón de antiparalelogramo está fijo en su lugar y el eslabón restante se mueve libremente. A medida que el vínculo se mueve, cada antiparalelogramo formado se puede dividir en dos triángulos congruentes que se encuentran en el punto de cruce. En el triángulo basado en el borde fijo, las longitudes de los dos lados móviles suman la longitud constante de uno de los bordes cruzados del antiparalelogramo y, por lo tanto, el punto de cruce móvil traza una elipse con los puntos fijos como focos. Simétricamente, el segundo borde (en movimiento) no cruzado del antiparalelogramo tiene como puntos finales los focos de una segunda elipse, formada a partir de la primera por reflexión a través de una línea tangente que pasa por el punto de cruce. [2] [18] Debido a que la segunda elipse gira alrededor de la primera, esta construcción de elipses a partir del movimiento de un antiparalelogramo se puede utilizar en el diseño de engranajes elípticos que convierten la rotación uniforme en rotación no uniforme o viceversa. [19]
En el problema de los n -cuerpos , el estudio de los movimientos de masas puntuales según la ley de gravitación universal de Newton , las configuraciones centrales desempeñan un papel importante , soluciones al problema de los n -cuerpos en las que todos los cuerpos giran alrededor de algún punto central como si estuvieran rígidamente conectados entre sí. Por ejemplo, para tres cuerpos, existen cinco soluciones de este tipo, dadas por los cinco puntos lagrangianos . Para cuatro cuerpos, con dos pares de cuerpos que tienen masas iguales (pero con la relación entre las masas de los dos pares variando continuamente), la evidencia numérica indica que existe una familia continua de configuraciones centrales, relacionadas entre sí por el movimiento de un enlace antiparalelogramo. [20]
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