En geometría euclidiana , un cuadrilátero extangencial es un cuadrilátero convexo donde las extensiones de los cuatro lados son tangentes a un círculo fuera del cuadrilátero. [1] También se le ha llamado cuadrilátero exscriptible . [2] El círculo se llama excírculo , su radio exradio y su centro excentro ( E en la figura). El excentro se encuentra en la intersección de seis bisectrices. Estas son las bisectrices del ángulo interno en dos ángulos de vértice opuestos, las bisectrices de ángulo externo ( bisectrices de ángulo suplementario ) en los otros dos ángulos de vértice, y las bisectrices de ángulo externo en los ángulos formados donde las extensiones de los lados opuestos se cruzan (ver la figura a la derecha, donde cuatro de estos seis son segmentos de línea de puntos). El cuadrilátero extangencial está estrechamente relacionado con el cuadrilátero tangencial (donde los cuatro lados son tangentes a un círculo).
Otro nombre para un excírculo es círculo escrito, [3] pero ese nombre también se ha utilizado para un círculo tangente a un lado de un cuadrilátero convexo y las extensiones de los dos lados adyacentes. En ese contexto, todos los cuadriláteros convexos tienen cuatro círculos escritos, pero como máximo pueden tener un círculo exterior. [4]
Las cometas son ejemplos de cuadriláteros extangenciales. Los paralelogramos (que incluyen cuadrados , rombos y rectángulos ) pueden considerarse cuadriláteros extangenciales con exradio infinito ya que satisfacen las caracterizaciones de la siguiente sección, pero la excircunferencia no puede ser tangente a ambos pares de extensiones de lados opuestos (ya que son paralelos). ). [4] Los cuadriláteros convexos cuyas longitudes de lados forman una progresión aritmética son siempre extangenciales ya que satisfacen la caracterización siguiente para longitudes de lados adyacentes.
Un cuadrilátero convexo es extangencial si y sólo si hay seis bisectrices de ángulos concurrentes . Estas son las bisectrices del ángulo interno en dos ángulos de vértice opuestos, las bisectrices del ángulo externo en los otros dos ángulos del vértice y las bisectrices del ángulo externo en los ángulos formados donde se cruzan las extensiones de los lados opuestos. [4]
A efectos de cálculo, una caracterización más útil es que un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a, b, c, d es extangencial si y sólo si la suma de dos lados adyacentes es igual a la suma de los otros dos lados. Esto es posible de dos maneras diferentes:
o
Esto fue demostrado por Jakob Steiner en 1846. [5] En el primer caso, el excírculo está fuera del mayor de los vértices A o C , mientras que en el segundo caso está fuera del mayor de los vértices B o D , siempre que el Los lados del cuadrilátero ABCD son
Una forma de combinar estas caracterizaciones respecto a los lados es que los valores absolutos de las diferencias entre lados opuestos son iguales para los dos pares de lados opuestos, [4]
Estas ecuaciones están estrechamente relacionadas con el teorema de Pitot para cuadriláteros tangenciales , donde las sumas de los lados opuestos son iguales para los dos pares de lados opuestos.
Si los lados opuestos en un cuadrilátero convexo ABCD se cortan en E y F , entonces
La implicación hacia la derecha lleva el nombre de LM Urquhart (1902-1966), aunque fue demostrada mucho antes por Augustus De Morgan en 1841. Daniel Pedoe lo llamó el teorema más elemental de la geometría euclidiana, ya que sólo se refiere a líneas rectas y distancias. [6] Mowaffac Hajja demostró que efectivamente existe una equivalencia, [6] lo que hace de la igualdad a la derecha otra condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea ex-tangencial.
Algunas de las caracterizaciones métricas de los cuadriláteros tangenciales (la columna izquierda de la tabla) tienen contrapartes muy similares para los cuadriláteros extangenciales (la columna central y derecha de la tabla), como se puede ver en la siguiente tabla. [4] Por lo tanto, un cuadrilátero convexo tiene un círculo interior o exterior fuera del vértice apropiado (dependiendo de la columna) si y sólo si se cumple cualquiera de las cinco condiciones necesarias y suficientes a continuación.
Las notaciones en esta tabla son las siguientes: En un cuadrilátero convexo ABCD , las diagonales se cortan en P.
Un cuadrilátero extangencial ABCD con lados a, b, c, d tiene área
Tenga en cuenta que esta es la misma fórmula que para el área de un cuadrilátero tangencial y también se deriva de la fórmula de Bretschneider de la misma manera.
El exradio de un cuadrilátero extangencial con lados consecutivos a, b, c, d viene dado por [4]
donde K es el área del cuadrilátero. Para un cuadrilátero extangencial con lados dados, el exradio es máximo cuando el cuadrilátero también es cíclico (y, por tanto, un cuadrilátero exbicéntrico). Estas fórmulas explican por qué todos los paralelogramos tienen exradios infinitos.
Si un cuadrilátero extangencial también tiene un círculo circunstante , se llama cuadrilátero exbicéntrico . [1] Entonces, como tiene dos ángulos suplementarios opuestos , su área está dada por
que es lo mismo que para un cuadrilátero bicéntrico .
Si x es la distancia entre el circuncentro y el excentro, entonces [1]
donde R, r son el circunradio y exradio respectivamente. Ésta es la misma ecuación que el teorema de Fuss para un cuadrilátero bicéntrico. Pero al resolver x , debemos elegir la otra raíz de la ecuación cuadrática para el cuadrilátero ex-bicéntrico en comparación con el bicéntrico. Por lo tanto, para el ex-bicéntrico tenemos [1]
De esta fórmula se deduce que
lo que significa que el circuncírculo y el excírculo nunca pueden cruzarse entre sí.
