Cuadrilátero cíclico

Cuadrilátero cuyos vértices pueden caer todos en un solo círculo.

Ejemplos de cuadriláteros cíclicos

En geometría euclidiana , un cuadrilátero cíclico o cuadrilátero inscrito es un cuadrilátero cuyos vértices se encuentran todos en un solo círculo . A este círculo se le llama círculo circunscrito o círculo circunscrito , y se dice que los vértices son concíclicos . El centro del círculo y su radio se llaman circuncentro y circunradio respectivamente. Otros nombres para estos cuadriláteros son cuadrilátero concíclico y cuadrilátero cordal , este último ya que los lados del cuadrilátero son cuerdas del círculo circunstante. Habitualmente se supone que el cuadrilátero es convexo , pero también existen cuadriláteros cíclicos cruzados. Las fórmulas y propiedades que se dan a continuación son válidas en el caso convexo.

La palabra cíclico proviene del griego antiguo κύκλος ( kuklos ), que significa "círculo" o "rueda".

Todos los triángulos tienen un círculo circunstante , pero no todos los cuadriláteros. Un ejemplo de cuadrilátero que no puede ser cíclico es un rombo no cuadrado . Las caracterizaciones de la sección siguiente establecen qué condiciones necesarias y suficientes debe satisfacer un cuadrilátero para tener un círculo circunstante.

Casos especiales

Cualquier cuadrado , rectángulo , trapezoide isósceles o antiparalelogramo es cíclico. Una cometa es cíclica si y sólo si tiene dos ángulos rectos: una cometa recta . Un cuadrilátero bicéntrico es un cuadrilátero cíclico que también es tangencial y un cuadrilátero exbicéntrico es un cuadrilátero cíclico que también es extangencial . Un cuadrilátero armónico es un cuadrilátero cíclico en el que el producto de las longitudes de los lados opuestos es igual.

Caracterizaciones

Un cuadrilátero cíclico ABCD

Circuncentro

Un cuadrilátero convexo es cíclico si y sólo si las cuatro bisectrices perpendiculares a los lados son concurrentes . Este punto común es el circuncentro . ^[1]

Ángulos suplementarios

Prueba sin palabras usando el teorema de los ángulos inscritos de que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios:
2𝜃 + 2𝜙 = 360° ∴ 𝜃 + 𝜙 = 180°

Un cuadrilátero convexo ABCD es cíclico si y sólo si sus ángulos opuestos son suplementarios , es decir ^{[1] [2]}

${\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{radians}}\ (=180^{\circ }).}$

El teorema directo fue la Proposición 22 del Libro 3 de los Elementos de Euclides . ^[3] De manera equivalente, un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si cada ángulo exterior es igual al ángulo interior opuesto .

En 1836, Duncan Gregory generalizó este resultado de la siguiente manera: Dado cualquier 2 n -gon cíclico convexo, entonces las dos sumas de ángulos alternos internos son iguales a ( n -1) . ^[4] Este resultado se puede generalizar aún más de la siguiente manera: si A1A2...A2n (n > 1) es cualquier 2 n -gon cíclico en el que el vértice Ai->Ai+k (el vértice Ai está unido a Ai+k ), entonces las dos sumas de los ángulos alternos internos son iguales a m (donde m = n — k y k = 1, 2, 3, ... es el giro total). ^[5] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Tomando la proyección estereográfica (tangente de medio ángulo) de cada ángulo, esta se puede reexpresar,

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .}$

Lo que implica que ^[6]

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac {\delta }{2}}}=1}$

Ángulos entre lados y diagonales.

Un cuadrilátero convexo ABCD es cíclico si y sólo si un ángulo entre un lado y una diagonal es igual al ángulo entre el lado opuesto y la otra diagonal. ^[7] Es decir, por ejemplo,

${\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}$

puntos pascales

ABCD es un cuadrilátero cíclico. E es el punto de intersección de las diagonales y F es el punto de intersección de las extensiones de los lados BC y AD . es un círculo cuyo diámetro es el segmento, EF . P y Q son puntos Pascal formados por el círculo . Los triángulos FAB y FCD son semejantes. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Otras condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero convexo ABCD sea cíclico son: sea E el punto de intersección de las diagonales, sea F el punto de intersección de las extensiones de los lados AD y BC , sea un círculo cuyo diámetro sea el segmento, EF , y sean P y Q puntos Pascal en los lados AB y CD formados por el círculo . (1) ABCD es un cuadrilátero cíclico si y sólo si los puntos P y Q son colineales con el centro O , del círculo . (2) ABCD es un cuadrilátero cíclico si y sólo si los puntos P y Q son los puntos medios de los lados AB y CD . ^[2] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$
${\displaystyle \omega }$

Intersección de diagonales

Si dos rectas, una que contiene el segmento AC y la otra que contiene el segmento BD , se cruzan en E , entonces los cuatro puntos A , B , C , D son concíclicos si y sólo si ^[8]

${\displaystyle \displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.}$

La intersección E puede ser interna o externa al círculo. En el primer caso, el cuadrilátero cíclico es ABCD , y en el segundo caso, el cuadrilátero cíclico es ABDC . Cuando la intersección es interna, la igualdad establece que el producto de las longitudes de los segmentos en que E divide una diagonal es igual a la de la otra diagonal. Esto se conoce como teorema de las cuerdas que se cruzan , ya que las diagonales del cuadrilátero cíclico son cuerdas del círculo circunstante.

teorema de ptolomeo

El teorema de Ptolomeo expresa el producto de las longitudes de las dos diagonales e y f de un cuadrilátero cíclico como igual a la suma de los productos de los lados opuestos: ^{[9] : p.25  [2]}

${\displaystyle \displaystyle ef=ac+bd,}$

donde a , b , c , d son las longitudes de los lados en orden. Lo contrario también es cierto. Es decir, si esta ecuación se satisface en un cuadrilátero convexo, entonces se forma un cuadrilátero cíclico.

triangulo diagonal

ABCD es un cuadrilátero cíclico. EFG es el triángulo diagonal de ABCD . El punto T de intersección de las bimedianas de ABCD pertenece al círculo de nueve puntos de EFG .

En un cuadrilátero convexo ABCD , sea EFG el triángulo diagonal de ABCD y sea el círculo de nueve puntos de EFG .ABCD es cíclico si y sólo si el punto de intersección de las bimedianas de ABCD pertenece al círculo de nueve puntos . ^{[10] [11] [2]} ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Área

El área K de un cuadrilátero cíclico con lados a , b , c , d viene dada por la fórmula de Brahmagupta ^{[9] : p.24}

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,}$

donde s , el semiperímetro , es s =1/2( a + b + c + d ) . Este es un corolario de la fórmula de Bretschneider para el cuadrilátero general, ya que los ángulos opuestos son suplementarios en el caso cíclico. Si además d = 0 , el cuadrilátero cíclico pasa a ser un triángulo y la fórmula se reduce a la fórmula de Herón .

El cuadrilátero cíclico tiene el área máxima entre todos los cuadriláteros que tienen la misma longitud de lado (independientemente de la secuencia). Éste es otro corolario de la fórmula de Bretschneider. También se puede demostrar mediante cálculo . ^[12]

Cuatro longitudes desiguales, cada una menor que la suma de las otras tres, son los lados de cada uno de tres cuadriláteros cíclicos no congruentes, ^[13] que, según la fórmula de Brahmagupta, tienen todos la misma área. Específicamente, para los lados a , b , c y d , el lado a podría ser opuesto a cualquiera de los lados b , c o d .

El área de un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos a , b , c , d , el ángulo A entre los lados a y d y el ángulo B entre los lados a y b se puede expresar como ^{[9] : p.25}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}$

o

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}}$

o ^{[9] : p.26}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}$

donde θ es cualquier ángulo entre las diagonales. Siempre que A no sea un ángulo recto, el área también se puede expresar como ^{[9] : p.26}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.}$

Otra fórmula es ^{[14] : p.83}

${\displaystyle \displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}$

donde R es el radio del círculo circunstante . Como consecuencia directa, ^[15]

${\displaystyle K\leq 2R^{2}}$

donde hay igualdad si y sólo si el cuadrilátero es un cuadrado.

Diagonales

En un cuadrilátero cíclico con vértices sucesivos A , B , C , D y lados a = AB , b = BC , c = CD y d = DA , las longitudes de las diagonales p = AC y q = BD se pueden expresar en términos de los lados como ^{[9] : p.25,   [16] [17] : p. 84}

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}$y ${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}$

mostrando así el teorema de Ptolomeo

${\displaystyle pq=ac+bd.}$

Según el segundo teorema de Ptolomeo , ^{[9] : p.25,   [16]}

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}$

usando las mismas notaciones que arriba.

Para la suma de las diagonales tenemos la desigualdad ^{[18] : p.123, #2975}

${\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}$

La igualdad se cumple si y sólo si las diagonales tienen la misma longitud, lo que se puede demostrar utilizando la desigualdad AM-GM .

Además, ^{[18] : p.64, #1639}

${\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}$

En cualquier cuadrilátero convexo, las dos diagonales juntas dividen el cuadrilátero en cuatro triángulos; en un cuadrilátero cíclico, los pares opuestos de estos cuatro triángulos son similares entre sí.

Si ABCD es un cuadrilátero cíclico donde AC se encuentra con BD en E , entonces ^[19]

${\displaystyle {\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.}$

Un conjunto de lados que puede formar un cuadrilátero cíclico se puede organizar en cualquiera de tres secuencias distintas, cada una de las cuales puede formar un cuadrilátero cíclico de la misma área en el mismo círculo circunstante (las áreas son las mismas según la fórmula del área de Brahmagupta). Dos de estos cuadriláteros cíclicos cualesquiera tienen una longitud diagonal en común. ^{[17] : pág. 84}

Fórmulas de ángulos

Para un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos a , b , c , d , semiperímetro s y ángulo A entre los lados a y d , las funciones trigonométricas de A vienen dadas por ^[20]

${\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.}$

El ángulo θ entre las diagonales de los lados opuestos a y c satisface ^{[9] : p.26}

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.}$

Si las extensiones de los lados opuestos a y c se cortan en un ángulo φ , entonces

${\displaystyle \cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}$

donde s es el semiperímetro . ^{[9] : pág.31}

Denotemos el ángulo entre los lados y , el ángulo entre y y el ángulo entre y , entonces: ^[21] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(C-D)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(D-C)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}$

Fórmula del circunradio de Parameshvara

Un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos a , b , c , d y semiperímetro s tiene el circunradio (el radio del circuncírculo ) dado por ^{[16] [22]}

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}$

Esto fue obtenido por el matemático indio Vatasseri Parameshvara en el siglo XV. (Tenga en cuenta que el radio es invariante bajo el intercambio de cualquier longitud de lado).

Usando la fórmula de Brahmagupta , la fórmula de Parameshvara se puede reformular como

${\displaystyle 4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}$

donde K es el área del cuadrilátero cíclico.

Anticentro y colinealidades.

Cuatro segmentos de recta, cada uno de ellos perpendicular a un lado de un cuadrilátero cíclico y que pasan por el punto medio del lado opuesto , son concurrentes . ^{[23] : p.131,   [24]} Estos segmentos de línea se llaman maltitudes , ^[25] que es una abreviatura de altitud del punto medio. Su punto común se llama anticentro . Tiene la propiedad de ser el reflejo del circuncentro en el "centroide del vértice" . Así, en un cuadrilátero cíclico, el circuncentro, el "centroide del vértice" y el anticentro son colineales . ^[24]

Si las diagonales de un cuadrilátero cíclico se cruzan en P y los puntos medios de las diagonales son M y N , entonces el anticentro del cuadrilátero es el ortocentro del triángulo MNP .

El anticentro de un cuadrilátero cíclico es el punto de Poncelet de sus vértices.

Otras propiedades

teorema japonés

• En un cuadrilátero cíclico ABCD , los incentros M ₁ , M ₂ , M ₃ , M ₄ (ver la figura de la derecha) en los triángulos DAB , ABC , BCD y CDA son los vértices de un rectángulo . Este es uno de los teoremas conocidos como teorema japonés . Los ortocentros de los mismos cuatro triángulos son los vértices de un cuadrilátero congruente con ABCD , y los centroides de esos cuatro triángulos son vértices de otro cuadrilátero cíclico. ^[7]
• En un cuadrilátero cíclico ABCD con circuncentro O , sea P el punto donde se cruzan las diagonales AC y BD . Entonces el ángulo APB es la media aritmética de los ángulos AOB y COD . Esta es una consecuencia directa del teorema del ángulo inscrito y del teorema del ángulo exterior .
• No existen cuadriláteros cíclicos con área racional y con lados racionales desiguales ni en progresión aritmética ni geométrica . ^[26]

• Si un cuadrilátero cíclico tiene longitudes de lados que forman una progresión aritmética , el cuadrilátero también es exbicéntrico .
• Si los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico se extienden para encontrarse en E y F , entonces las bisectrices internas de los ángulos en E y F son perpendiculares. ^[13]

Cuadriláteros de Brahmagupta

Un cuadrilátero de Brahmagupta ^[27] es un cuadrilátero cíclico con lados enteros, diagonales enteras y área entera. Todos los cuadriláteros de Brahmagupta con lados a , b , c , d , diagonales e , f , área K y circunradio R se pueden obtener limpiando los denominadores de las siguientes expresiones que involucran parámetros racionales t , u y v :

${\displaystyle a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]}$

${\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)}$

${\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)}$

${\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})}$

${\displaystyle K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]}$

${\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}$

Caso ortodiagonal

Circunradio y área

Para un cuadrilátero cíclico que también es ortodiagonal (tiene diagonales perpendiculares), supongamos que la intersección de las diagonales divide una diagonal en segmentos de longitudes p ₁ y p ₂ y divide la otra diagonal en segmentos de longitudes q ₁ y q ₂ . Entonces ^[28] (la primera igualdad es la Proposición 11 del Libro de los Lemas de Arquímedes )

${\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

donde D es el diámetro del círculo circunstante . Esto se cumple porque las diagonales son cuerdas perpendiculares de un círculo . Estas ecuaciones implican que el circunradio R se puede expresar como

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}$

o, en términos de los lados del cuadrilátero, como ^[23]

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}$

También se deduce que ^[23]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}$

Así, según el teorema del cuadrilátero de Euler , el circunradio se puede expresar en términos de las diagonales p y q , y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales como

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}$

Una fórmula para el área K de un cuadrilátero ortodiagonal cíclico en términos de los cuatro lados se obtiene directamente al combinar el teorema de Ptolomeo y la fórmula para el área de un cuadrilátero ortodiagonal . El resultado es ^{[29] : p.222}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}$

Otras propiedades

• En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, el anticentro coincide con el punto donde se cruzan las diagonales. ^[23]
• El teorema de Brahmagupta establece que para un cuadrilátero cíclico que también es ortodiagonal , la perpendicular desde cualquier lado que pasa por el punto de intersección de las diagonales biseca el lado opuesto. ^[23]
• Si un cuadrilátero cíclico también es ortodiagonal, la distancia desde el circuncentro a cualquier lado es igual a la mitad de la longitud del lado opuesto. ^[23]
• En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, la distancia entre los puntos medios de las diagonales es igual a la distancia entre el circuncentro y el punto donde se cruzan las diagonales. ^[23]

Cuadriláteros esféricos cíclicos

En geometría esférica , un cuadrilátero esférico formado a partir de cuatro círculos mayores que se cruzan es cíclico si y sólo si las sumas de los ángulos opuestos son iguales, es decir, α + γ = β + δ para ángulos consecutivos α, β, γ, δ del cuadrilátero. . ^[30] Anders Johan Lexell demostró una dirección de este teorema en 1782. ^[31] Lexell demostró que en un cuadrilátero esférico inscrito en un pequeño círculo de una esfera las sumas de los ángulos opuestos son iguales, y que en el cuadrilátero circunscrito las sumas de los ángulos opuestos son iguales. las sumas de los lados opuestos son iguales. El primero de estos teoremas es el análogo esférico de un teorema plano, y el segundo teorema es su dual, es decir, el resultado del intercambio de grandes círculos y sus polos. ^[32] Kiper y cols. ^[33] demostró lo contrario del teorema: si las sumas de los lados opuestos son iguales en un cuadrilátero esférico, entonces existe un círculo inscrito para este cuadrilátero.

Ver también

• Teorema de la mariposa
• Polígono cíclico
• poder de un punto
• Tabla de acordes de Ptolomeo
• Pentágono de Robbins

Referencias

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Otras lecturas

• D. Fraivert: cuadriláteros de puntos Pascal inscritos en un cuadrilátero cíclico

enlaces externos

• Derivación de la fórmula para el área del cuadrilátero cíclico
• Incentros en el cuadrilátero cíclico al cortar el nudo
• Cuatro líneas concurrentes en un cuadrilátero cíclico al cortar el nudo
• Weisstein, Eric W. "Cuadrilátero cíclico". MundoMatemático .