Cuadrilátero armónico

Cuadrilátero cíclico en el que los productos de las longitudes de los lados opuestos son iguales

En geometría euclidiana , un cuadrilátero armónico , o cuadrángulo armónico , ^[1] es un cuadrilátero que se puede inscribir en un círculo ( cuadrilátero cíclico ) en el que los productos de las longitudes de los lados opuestos son iguales. Tiene varias propiedades importantes.

Propiedades

Sea ABCD un cuadrilátero armónico y M el punto medio de la diagonal AC . Entonces:

• Las tangentes a la circunferencia circunscrita en los puntos A y C y la recta BD se cortan en un punto o son paralelas . Por lo tanto, el polo de cada diagonal está contenido en la otra diagonal respectivamente. ^{[2] [3]}
• Los ángulos ∠BMC y ∠DMC son iguales.
• Las bisectrices de los ángulos B y D se intersecan en la diagonal AC .
• La diagonal BD del cuadrilátero es un simediano de los ángulos en B y D en los triángulos ∆ ABC y ∆ ADC .
• El punto de intersección de las diagonales se sitúa hacia los lados del cuadrilátero a distancias proporcionales a la longitud de dichos lados.
• El punto de intersección de las diagonales minimiza la suma de los cuadrados de las distancias desde un punto dentro del cuadrilátero a los lados del cuadrilátero. ^[4]
• Considerando los puntos A , B , C , D como números complejos, la razón cruzada ( ABCD ) = −1 . ^[3]

• 
  Las tangentes al círculo circunscrito en los puntos A y C y la línea recta BD se intersecan en un punto o son mutuamente paralelas.
• 
  Los ángulos ∠BMC y ∠DMC son iguales.
• 
  Las bisectrices de los ángulos B y D se intersecan en la diagonal AC .
• 
  El punto de intersección de las diagonales se sitúa hacia los lados del cuadrilátero a distancias proporcionales a la longitud de dichos lados.

Referencias

1. Johnson, Roger A. (2007) [1929], Geometría euclidiana avanzada , Dover, pág. 100, ISBN 978-0-486-46237-0
2. "Algunas propiedades del cuadrilátero armónico".Proposición 7
3. "Cuadro armónico".
4. "Algunas propiedades del cuadrilátero armónico".Proposición 6

Lectura adicional

• Gallatly, W. "El cuadrilátero armónico". §124 en The Modern Geometry of the Triangle, 2.ª ed. Londres: Hodgson, págs. 90 y 92, 1913.