Cuadrilátero

Polígono de cuatro lados y cuatro vértices

En geometría, un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados , que tiene cuatro aristas (lados) y cuatro esquinas (vértices). La palabra se deriva de las palabras latinas quadri , una variante de cuatro, y latus , que significa "lado". También se le llama tetrágono , derivado del griego "tetra", que significa "cuatro" y "gon", que significa "esquina" o "ángulo", en analogía con otros polígonos (por ejemplo, pentágono ). Dado que "gon" significa "ángulo", se le llama análogamente cuadrángulo o 4-ángulo. Un cuadrilátero con vértices , , y a veces se denota como . ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \square ABCD}$

Los cuadriláteros pueden ser simples (no se intersecan entre sí) o complejos (se intersecan entre sí o se cruzan). Los cuadriláteros simples pueden ser convexos o cóncavos .

Los ángulos interiores de un cuadrilátero simple (y plano ) ABCD suman 360 grados , es decir ^[1]

${\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.}$

Este es un caso especial de la fórmula de suma de ángulos interiores de n -gonos: S = ( n − 2) × 180° (aquí, n=4). ^[2]

Todos los cuadriláteros que no se cruzan entre sí forman mosaicos en el plano , mediante rotación repetida alrededor de los puntos medios de sus aristas. ^[3]

Cuadriláteros simples

Cualquier cuadrilátero que no se interseca a sí mismo es un cuadrilátero simple.

Cuadrilátero convexo

Diagrama de Euler de algunos tipos de cuadriláteros simples. (UK) denota inglés británico y (US) denota inglés americano.

Cuadriláteros convexos por simetría, representados con un diagrama de Hasse .

En un cuadrilátero convexo, todos los ángulos interiores son menores a 180° y las dos diagonales se encuentran dentro del cuadrilátero.

• Cuadrilátero irregular ( inglés británico ) o trapecio ( inglés norteamericano ): ningún lado es paralelo. (En inglés británico, esto se llamaba trapezoide . Para más información, consulte Trapezoide § Trapecio vs Trapezoide ).
• Trapecio (Reino Unido) o trapezoide (EE. UU.): al menos un par de lados opuestos son paralelos . Los trapecios (Reino Unido) y los trapecios (EE. UU.) incluyen los paralelogramos.
• Trapecio isósceles (Reino Unido) o trapezoide isósceles (Estados Unidos): un par de lados opuestos son paralelos y los ángulos de la base son iguales en medida. Las definiciones alternativas son un cuadrilátero con un eje de simetría que biseca un par de lados opuestos, o un trapezoide con diagonales de igual longitud.
• Paralelogramo : cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Las condiciones equivalentes son que los lados opuestos tengan la misma longitud; que los ángulos opuestos sean iguales; o que las diagonales se dividan entre sí. Los paralelogramos incluyen rombos (incluidos los rectángulos llamados cuadrados) y romboides (incluidos los rectángulos llamados oblongos). En otras palabras, los paralelogramos incluyen todos los rombos y todos los romboides y, por lo tanto, también incluyen todos los rectángulos.
• Rombo , rombo: ^[1] los cuatro lados tienen la misma longitud (equilátero). Una condición equivalente es que las diagonales se dividan perpendicularmente entre sí. De manera informal: "un cuadrado empujado hacia abajo" (pero que estrictamente incluye también un cuadrado).
• Romboide : paralelogramo en el que los lados adyacentes tienen longitudes desiguales y algunos ángulos son oblicuos (equivalente a que no tiene ángulos rectos). De manera informal: "un rectángulo empujado hacia abajo". No todas las referencias coinciden; algunos definen un romboide como un paralelogramo que no es un rombo. ^[4]
• Rectángulo : los cuatro ángulos son rectos (equiangulares). Una condición equivalente es que las diagonales se dividan entre sí y tengan la misma longitud. Los rectángulos incluyen cuadrados y oblongos. De manera informal: "una caja u oblongo" (incluido un cuadrado).
• Cuadrado (cuadrilátero regular): los cuatro lados tienen la misma longitud (equilátero) y los cuatro ángulos son rectos. Una condición equivalente es que los lados opuestos sean paralelos (un cuadrado es un paralelogramo) y que las diagonales se dividan perpendicularmente entre sí y tengan la misma longitud. Un cuadrilátero es un cuadrado si y solo si es a la vez un rombo y un rectángulo (es decir, cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales).
• Oblongo: más largo que ancho, o más ancho que largo (es decir, un rectángulo que no es un cuadrado). ^[5]
• Cometa : dos pares de lados adyacentes tienen la misma longitud. Esto implica que una diagonal divide la cometa en triángulos congruentes , por lo que los ángulos entre los dos pares de lados iguales son iguales en medida. También implica que las diagonales son perpendiculares. Las cometas incluyen rombos.

• Cuadrilátero tangente : los cuatro lados son tangentes a un círculo inscrito. Un cuadrilátero convexo es tangente si y solo si los lados opuestos tienen sumas iguales.
• Trapezoide tangencial : trapezoide cuyos cuatro lados son tangentes a un círculo inscrito .
• Cuadrilátero cíclico : los cuatro vértices se encuentran en un círculo circunscrito . Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si los ángulos opuestos suman 180°.
• Cometa recta : cometa con dos ángulos rectos opuestos. Es un tipo de cuadrilátero cíclico.
• Cuadrilátero armónico : cuadrilátero cíclico tal que los productos de las longitudes de los lados opuestos son iguales.
• Cuadrilátero bicéntrico : es a la vez tangencial y cíclico.
• Cuadrilátero ortodiagonal : las diagonales se cruzan en ángulos rectos .
• Cuadrilátero equidiagonal : las diagonales tienen la misma longitud.
• Cuadrilátero bisectriz-diagonal: una diagonal bisecta a la otra en longitudes iguales. Todo dardo y cometa es bisectriz-diagonal. Cuando ambas diagonales bisecan a otra, se forma un paralelogramo.
• Cuadrilátero extangencial : las cuatro prolongaciones de los lados son tangentes a una circunferencia extangente .
• Un cuadrilátero equilátero tiene dos lados opuestos iguales que cuando se extienden se encuentran en 60°.
• Un cuadrilátero de Watt es un cuadrilátero con un par de lados opuestos de igual longitud. ^[6]
• Un cuadrilátero cuadrático es un cuadrilátero convexo cuyos cuatro vértices se encuentran en el perímetro de un cuadrado. ^[7]
• Un cuadrilátero diametral es un cuadrilátero cíclico que tiene uno de sus lados como diámetro del círculo circunscrito. ^[8]
• Un cuadrilátero de Hjelmslev es un cuadrilátero con dos ángulos rectos en vértices opuestos. ^[9]

Cuadriláteros cóncavos

En un cuadrilátero cóncavo, un ángulo interior es mayor a 180° y una de las dos diagonales está fuera del cuadrilátero.

• Un dardo (o punta de flecha) es un cuadrilátero cóncavo con simetría bilateral como una cometa, pero donde un ángulo interior es reflejo. Véase Cometa .

Cuadriláteros complejos

Un antiparalelogramo

Un cuadrilátero que se interseca consigo mismo se denomina de diversas formas : cuadrilátero cruzado , cuadrilátero en forma de mariposa o cuadrilátero con forma de pajarita . En un cuadrilátero cruzado, los cuatro ángulos "interiores" a cada lado del cruce (dos agudos y dos reflejos , todos a la izquierda o todos a la derecha, según se trace la figura) suman 720°. ^[10]

• Trapecio cruzado (EE. UU.) o trapezoide (Commonwealth): ^[11] un cuadrilátero cruzado en el que un par de lados no adyacentes es paralelo (como un trapezoide ).
• Antiparalelogramo : cuadrilátero cruzado en el que cada par de lados no adyacentes tienen longitudes iguales (como un paralelogramo ).
• Rectángulo cruzado : antiparalelogramo cuyos lados son dos lados opuestos y las dos diagonales de un rectángulo , por lo que tiene un par de lados opuestos paralelos.
• Cuadrado cruzado : un caso especial de rectángulo cruzado donde dos de los lados se intersecan en ángulos rectos.

Segmentos de línea especiales

Las dos diagonales de un cuadrilátero convexo son los segmentos de línea que conectan vértices opuestos.

Los dos bimedianos de un cuadrilátero convexo son los segmentos de línea que conectan los puntos medios de los lados opuestos. ^[12] Se intersecan en el "centroide del vértice" del cuadrilátero (ver § Puntos y líneas notables en un cuadrilátero convexo a continuación).

Las cuatro dimensiones de un cuadrilátero convexo son las perpendiculares a un lado (que pasan por el punto medio del lado opuesto). ^[13]

Área de un cuadrilátero convexo

Existen varias fórmulas generales para el área K de un cuadrilátero convexo ABCD con lados a = AB , b = BC , c = CD y d = DA .

Fórmulas trigonométricas

El área se puede expresar en términos trigonométricos como ^[14]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin \theta ,}$

donde las longitudes de las diagonales son p y q y el ángulo entre ellas es θ . ^[15] En el caso de un cuadrilátero ortodiagonal (por ejemplo, rombo, cuadrado y cometa), esta fórmula se reduce a ya que θ es 90° . ${\displaystyle K={\tfrac {pq}{2}}}$

El área también se puede expresar en términos de bimedianas como ^[16]

${\displaystyle K=mn\sin \varphi ,}$

donde las longitudes de los bimedianos son m y n y el ángulo entre ellos es φ .

La fórmula de Bretschneider ^{[17] [14]} expresa el área en términos de los lados y dos ángulos opuestos:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\,\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}(A+C)}}\end{aligned}}}$

donde los lados de la secuencia son a , b , c , d , donde s es el semiperímetro y A y C son dos ángulos opuestos (de hecho, dos cualesquiera). Esto se reduce a la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico, cuando A + C = 180° .

Otra fórmula de área en términos de lados y ángulos, con el ángulo C entre los lados b y c , y A entre los lados a y d , es

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ad\sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\sin {C}.}$

En el caso de un cuadrilátero cíclico, la última fórmula se convierte en ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.}$

En un paralelogramo, donde ambos pares de lados y ángulos opuestos son iguales, esta fórmula se reduce a ${\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}$

Alternativamente, podemos escribir el área en términos de los lados y el ángulo de intersección θ de las diagonales, siempre que θ no sea 90° : ^[18]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}$

En el caso de un paralelogramo, la última fórmula se convierte en ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$

Otra fórmula de área que incluye los lados a , b , c , d es ^[16]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\bigl (}(a^{2}+c^{2})-2x^{2}{\bigr )}{\bigl (}(b^{2}+d^{2})-2x^{2}{\bigr )}}}\sin {\varphi }}$

donde x es la distancia entre los puntos medios de las diagonales y φ es el ángulo entre las bimedianas.

La última fórmula del área trigonométrica que incluye los lados a , b , c , d y el ángulo α (entre a y b ) es: ^[19]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ab\sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cos {\alpha })^{2}}},}$

que también se puede utilizar para el área de un cuadrilátero cóncavo (que tiene la parte cóncava opuesta al ángulo α ), simplemente cambiando el primer signo + a - .

Fórmulas no trigonométricas

Las dos fórmulas siguientes expresan el área en términos de los lados a , b , c y d , el semiperímetro s y las diagonales p , q :

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},}$ ^[20]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.}$ ^[21]

La primera se reduce a la fórmula de Brahmagupta en el caso del cuadrilátero cíclico, ya que entonces pq = ac + bd .

El área también se puede expresar en términos de las bimedianas m , n y las diagonales p , q :

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},}$ ^[22]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.}$ ^{[23] : Teoría 7}

De hecho, tres cualesquiera de los cuatro valores m , n , p y q son suficientes para determinar el área, ya que en cualquier cuadrilátero los cuatro valores están relacionados por ^{[24] : p. 126} Las expresiones correspondientes son: ^[25] ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},}$

Si se dan las longitudes de dos bimedianas y una diagonal, y ^[25]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},}$

si se dan las longitudes de dos diagonales y una bimediana.

Fórmulas vectoriales

El área de un cuadrilátero ABCD se puede calcular utilizando los vectores . Sean los vectores AC y BD las diagonales de A a C y de B a D . El área del cuadrilátero es entonces

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,}$

que es la mitad de la magnitud del producto vectorial de los vectores AC y BD . En el espacio euclidiano bidimensional, expresando el vector AC como un vector libre en el espacio cartesiano igual a ( x ₁ , y ₁ ) y BD como ( x ₂ , y ₂ ) , esto se puede reescribir como:

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}$

Diagonales

Propiedades de las diagonales en cuadriláteros

En la siguiente tabla se enumera si las diagonales de algunos de los cuadriláteros más básicos se bisecan entre sí, si sus diagonales son perpendiculares y si sus diagonales tienen la misma longitud. ^[26] La lista se aplica a los casos más generales y excluye los subconjuntos con nombre.

• Nota 1: Los trapecios más generales y los trapecios isósceles no tienen diagonales perpendiculares, pero hay un número infinito de trapecios y trapecios isósceles (no similares) que sí tienen diagonales perpendiculares y no son ningún otro cuadrilátero con nombre.
• Nota 2: En una cometa, una diagonal biseca a la otra. La cometa más común tiene diagonales desiguales, pero hay una cantidad infinita de cometas (no similares) en las que las diagonales tienen la misma longitud (y las cometas no son ningún otro cuadrilátero con nombre).

Longitudes de las diagonales

Las longitudes de las diagonales de un cuadrilátero convexo ABCD se pueden calcular utilizando la ley de los cosenos en cada triángulo formado por una diagonal y dos lados del cuadrilátero. Así

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}}$

y

${\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.}$

Otras fórmulas más simétricas para las longitudes de las diagonales son ^[27]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}$

y

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

Generalizaciones de la ley del paralelogramo y del teorema de Ptolomeo

En cualquier cuadrilátero convexo ABCD , la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales más cuatro veces el cuadrado del segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales. Por lo tanto

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

donde x es la distancia entre los puntos medios de las diagonales. ^{[24] : p.126} Esto a veces se conoce como el teorema del cuadrilátero de Euler y es una generalización de la ley del paralelogramo .

El matemático alemán Carl Anton Bretschneider derivó en 1842 la siguiente generalización del teorema de Ptolomeo , respecto al producto de las diagonales en un cuadrilátero convexo ^[28]

${\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}$

Esta relación puede considerarse una ley de cosenos para un cuadrilátero. En un cuadrilátero cíclico , donde A + C = 180°, se reduce a pq = ac + bd . Como cos ( A + C ) ≥ −1, también proporciona una prueba de la desigualdad de Ptolomeo.

Otras relaciones métricas

Si X e Y son los pies de las normales de B y D a la diagonal AC = p en un cuadrilátero convexo ABCD con lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , entonces ^{[29] : p.14}

${\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}$

En un cuadrilátero convexo ABCD con lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , y donde las diagonales se intersecan en E ,

${\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

donde e = AE , f = BE , g = CE y h = DE . ^[30]

La forma y el tamaño de un cuadrilátero convexo están completamente determinados por las longitudes de sus lados en secuencia y de una diagonal entre dos vértices especificados. Las dos diagonales p, q y las longitudes de los cuatro lados a, b, c, d de un cuadrilátero están relacionadas ^[14] por el determinante de Cayley-Menger , de la siguiente manera:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

Bisectrices de ángulos

Las bisectrices de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo forman un cuadrilátero cíclico ^{[24] : p.127} (es decir, los cuatro puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos adyacentes son concíclicos ) o son concurrentes . En el último caso, el cuadrilátero es un cuadrilátero tangencial .

En el cuadrilátero ABCD , si las bisectrices de los ángulos A y C se encuentran en la diagonal BD , entonces las bisectrices de los ángulos B y D se encuentran en la diagonal AC . ^[31]

Bimedianos

El paralelogramo de Varignon EFGH

Las bimedianas de un cuadrilátero son los segmentos de línea que unen los puntos medios de los lados opuestos. La intersección de las bimedianas es el centroide de los vértices del cuadrilátero. ^[14]

Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero (convexo, cóncavo o cruzado) son los vértices de un paralelogramo llamado paralelogramo de Varignon . Tiene las siguientes propiedades:

• Cada par de lados opuestos del paralelogramo de Varignon son paralelos a una diagonal en el cuadrilátero original.
• Un lado del paralelogramo de Varignon tiene la mitad de longitud que la diagonal del cuadrilátero original al que es paralelo.
• El área del paralelogramo de Varignon es igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Esto es así en los cuadriláteros convexos, cóncavos y cruzados, siempre que el área de estos últimos se defina como la diferencia de las áreas de los dos triángulos que lo componen. ^[32]
• El perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original.
• Las diagonales del paralelogramo de Varignon son las bimedianas del cuadrilátero original.

Las dos bimedianas de un cuadrilátero y el segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales de ese cuadrilátero son concurrentes y están todas bisectadas por su punto de intersección. ^{[24] : p.125}

En un cuadrilátero convexo con lados a , b , c y d , la longitud de la bimediana que une los puntos medios de los lados a y c es

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

donde p y q son las longitudes de las diagonales. ^[33] La longitud de la bimediana que conecta los puntos medios de los lados b y d es

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

Por lo tanto ^{[24] : p.126}

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

Esto también es un corolario de la ley del paralelogramo aplicada en el paralelogramo de Varignon.

Las longitudes de las bimedianas también se pueden expresar en términos de dos lados opuestos y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales. Esto es posible cuando se utiliza el teorema de los cuadriláteros de Euler en las fórmulas anteriores. De ahí ^[23]

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

y

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

Tenga en cuenta que los dos lados opuestos en estas fórmulas no son los dos que conecta la bimediana.

En un cuadrilátero convexo, existe la siguiente relación dual entre las bimedianas y las diagonales: ^[29]

• Las dos bimedianas tienen la misma longitud si y sólo si las dos diagonales son perpendiculares .
• Las dos bimedianas son perpendiculares si y sólo si las dos diagonales tienen la misma longitud.

Identidades trigonométricas

Los cuatro ángulos de un cuadrilátero simple ABCD satisfacen las siguientes identidades: ^[34]

${\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C+\sin D=4\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+C)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+D)}$

y

${\displaystyle {\frac {\tan A\,\tan {B}-\tan C\,\tan D}{\tan A\,\tan C-\tan B\,\tan D}}={\frac {\tan(A+C)}{\tan(A+B)}}.}$

Además, ^[35]

${\displaystyle {\frac {\tan A+\tan B+\tan C+\tan D}{\cot A+\cot B+\cot C+\cot D}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.}$

En las dos últimas fórmulas no se permite que ningún ángulo sea recto , ya que tan 90° no está definido.

Sean , , , los lados de un cuadrilátero convexo, es el semiperímetro, y y son ángulos opuestos, entonces ^[36] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle ad\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}A+bc\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}C=(s-a)(s-d)}$

y

${\displaystyle bc\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}C+ad\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}A=(s-b)(s-c)}$.

Podemos utilizar estas identidades para derivar la fórmula de Bretschneider .

Desigualdades

Área

Si un cuadrilátero convexo tiene los lados consecutivos a , b , c , d y las diagonales p , q , entonces su área K satisface ^[37]

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$con igualdad solo para un rectángulo .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$con igualdad solo para un cuadrado .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}$con igualdad solo si las diagonales son perpendiculares e iguales.

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}}$con igualdad solo para un rectángulo. ^[16]

De la fórmula de Bretschneider se deduce directamente que el área de un cuadrilátero satisface

${\displaystyle K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

con igualdad si y sólo si el cuadrilátero es cíclico o degenerado tal que un lado es igual a la suma de los otros tres (se ha colapsado en un segmento de línea , por lo que el área es cero).

También,

${\displaystyle K\leq {\sqrt {abcd}},}$

con igualdad para un cuadrilátero bicéntrico o un rectángulo.

El área de cualquier cuadrilátero también satisface la desigualdad ^[38]

${\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

Denotando el perímetro como L , tenemos ^{[38] : p.114}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},}$

con igualdad solo en el caso de un cuadrado.

El área de un cuadrilátero convexo también satisface

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}pq}$

para longitudes diagonales p y q , con igualdad si y sólo si las diagonales son perpendiculares.

Sean a , b , c , d las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ABCD con área K y diagonales AC = p , BD = q . Entonces ^[39]

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{8}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd)}$con igualdad solo para un cuadrado.

Sean a , b , c , d las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ABCD con área K , entonces se cumple la siguiente desigualdad: ^[40]

${\displaystyle K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$con igualdad solo para un cuadrado.

Diagonales y bimedianas

Un corolario del teorema del cuadrilátero de Euler es la desigualdad

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}$

donde la igualdad se cumple si y sólo si el cuadrilátero es un paralelogramo .

Euler también generalizó el teorema de Ptolomeo , que es una igualdad en un cuadrilátero cíclico , en una desigualdad para un cuadrilátero convexo. Afirma que

${\displaystyle pq\leq ac+bd}$

donde hay igualdad si y sólo si el cuadrilátero es cíclico. ^{[24] : p.128–129} Esto a menudo se llama desigualdad de Ptolomeo .

En cualquier cuadrilátero convexo las bimedianas m, n y las diagonales p, q están relacionadas por la desigualdad

${\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2},}$

con igualdad mantenida si y sólo si las diagonales son iguales. ^{[41] : Proposición 1} Esto se sigue directamente de la identidad cuadrilátera ${\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}$

Lados

Los lados a , b , c y d de cualquier cuadrilátero satisfacen ^{[42] : p.228, #275}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\tfrac {1}{3}}d^{2}}$

y ^{[42] : p.234, #466}

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\tfrac {1}{27}}d^{4}.}$

Propiedades máximas y mínimas

Entre todos los cuadriláteros con un perímetro dado , el que tiene la mayor área es el cuadrado . Esto se llama teorema isoperimétrico para cuadriláteros . Es una consecuencia directa de la desigualdad del área ^{[38] : p.114}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}}$

donde K es el área de un cuadrilátero convexo con perímetro L. La igualdad se cumple si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado. El teorema dual establece que de todos los cuadriláteros con un área dada, el cuadrado tiene el perímetro más corto.

El cuadrilátero con lados de longitud dada que tiene el área máxima es el cuadrilátero cíclico . ^[43]

De todos los cuadriláteros convexos con diagonales dadas, el cuadrilátero ortodiagonal tiene el área más grande. ^{[38] : p.119} Esto es una consecuencia directa del hecho de que el área de un cuadrilátero convexo satisface

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,}$

donde θ es el ángulo entre las diagonales p y q . La igualdad se cumple si y solo si θ = 90°.

Si P es un punto interior en un cuadrilátero convexo ABCD , entonces

${\displaystyle AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.}$

De esta desigualdad se deduce que el punto dentro de un cuadrilátero que minimiza la suma de las distancias a los vértices es la intersección de las diagonales. Por lo tanto, ese punto es el punto de Fermat de un cuadrilátero convexo. ^{[44] : p.120}

Puntos y líneas notables en un cuadrilátero convexo

El centro de un cuadrilátero se puede definir de varias maneras diferentes. El "centroide del vértice" se obtiene considerando que el cuadrilátero está vacío pero que tiene masas iguales en sus vértices. El "centroide del lado" se obtiene considerando que los lados tienen una masa constante por unidad de longitud. El centro habitual, llamado simplemente centroide (centro del área), se obtiene considerando que la superficie del cuadrilátero tiene una densidad constante. Estos tres puntos, en general, no son todos el mismo punto. ^[45]

El "centroide del vértice" es la intersección de las dos bimedianas. ^[46] Como en cualquier polígono, las coordenadas x e y del centroide del vértice son las medias aritméticas de las coordenadas x e y de los vértices.

El "centroide del área" del cuadrilátero ABCD se puede construir de la siguiente manera. Sean G _a , G _b , G _c , G _d los centroides de los triángulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente. Entonces el "centroide del área" es la intersección de las líneas G _a G _c y G _b G _d . ^[47]

En un cuadrilátero convexo general ABCD , no hay analogías naturales con el circuncentro y el ortocentro de un triángulo . Pero dos de estos puntos se pueden construir de la siguiente manera. Sean O _a , O _b , O _c , O _d los circuncentros de los triángulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente; y denotemos por H _a , H _b , H _c , H _d los ortocentros en los mismos triángulos. Entonces la intersección de las líneas O _a O _c y O _b O _d se llama cuasicircuncentro , y la intersección de las líneas H _a H _c y H _b H _d se llama cuasiortocentro del cuadrilátero convexo. ^[47] Estos puntos se pueden usar para definir una línea de Euler de un cuadrilátero. En un cuadrilátero convexo, el cuasiortocentro H , el "centroide del área" G y el cuasicircuncentro O son colineales en este orden, y HG = 2 GO . ^[47]

También se puede definir un centro de punto cuasinino E como la intersección de las líneas E _a E _c y E _b E _d , donde E _a , E _b , E _c , E _d son los centros de nueve puntos de los triángulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente. Entonces E es el punto medio de OH . ^[47]

Otra línea notable en un cuadrilátero convexo no paralelogramo es la línea de Newton , que conecta los puntos medios de las diagonales, siendo el segmento que conecta estos puntos atravesado por el centroide del vértice. Otra línea interesante (en cierto sentido dual a la de Newton ) es la que conecta el punto de intersección de las diagonales con el centroide del vértice. La línea es notable por el hecho de que contiene el centroide (del área). El centroide del vértice divide el segmento que conecta la intersección de las diagonales y el centroide (del área) en una proporción de 3:1. ^[48]

Para cualquier cuadrilátero ABCD con puntos P y Q intersecciones de AD y BC y AB y CD , respectivamente, los círculos (PAB), (PCD), (QAD) y (QBC) pasan por un punto común M , llamado punto de Miquel. ^[49]

Para un cuadrilátero convexo ABCD en el que E es el punto de intersección de las diagonales y F es el punto de intersección de las extensiones de los lados BC y AD , sea ω un círculo que pasa por E y F y que corta internamente a CB en M y a DA internamente en N . Sea CA la que corta nuevamente a ω en L y sea DB la que corta nuevamente a ω en K . Entonces se cumple: las rectas NK y ML se cortan en el punto P que está ubicado en el lado AB ; las rectas NL y KM se cortan en el punto Q que está ubicado en el lado CD . Los puntos P y Q se llaman "puntos de Pascal" formados por el círculo ω en los lados AB y CD . ^{[50] [51] [52]}

Otras propiedades de los cuadriláteros convexos

• Dibujemos cuadrados exteriores en todos los lados de un cuadrilátero. Los segmentos que unen los centros de los cuadrados opuestos son (a) iguales en longitud y (b) perpendiculares . Por lo tanto, estos centros son los vértices de un cuadrilátero ortodiagonal . Esto se llama teorema de Van Aubel .
• Para cualquier cuadrilátero simple con longitudes de aristas dadas, existe un cuadrilátero cíclico con las mismas longitudes de aristas. ^[43]
• Los cuatro triángulos más pequeños formados por las diagonales y los lados de un cuadrilátero convexo tienen la propiedad de que el producto de las áreas de dos triángulos opuestos es igual al producto de las áreas de los otros dos triángulos. ^[53]
• El ángulo en la intersección de las diagonales satisface donde están las diagonales del cuadrilátero. ^[54] ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}}{2pq}},}$$ ${\displaystyle p,q}$

Taxonomía

Una taxonomía de cuadriláteros, utilizando un diagrama de Hasse .

La figura de la derecha ilustra una taxonomía jerárquica de los cuadriláteros. Las clases inferiores son casos especiales de las clases superiores a las que están conectadas. Nótese que "trapezoide" aquí se refiere a la definición norteamericana (el equivalente británico es trapecio). Se utilizan definiciones inclusivas en todo el texto.

Cuadriláteros oblicuos

Los bordes laterales (rojos) del disfenoides tetragonal representan un cuadrilátero oblicuo regular en zigzag.

Un cuadrilátero no plano se llama cuadrilátero oblicuo . Las fórmulas para calcular sus ángulos diedros a partir de las longitudes de los bordes y el ángulo entre dos bordes adyacentes se derivaron para el trabajo sobre las propiedades de las moléculas como el ciclobutano que contienen un anillo "arrugado" de cuatro átomos. ^[55] Históricamente, el término cuadrilátero gauche también se usó para significar un cuadrilátero oblicuo. ^{[56] Un cuadrilátero oblicuo junto con sus diagonales forman un} tetraedro (posiblemente no regular) y, a la inversa, todo cuadrilátero oblicuo proviene de un tetraedro donde se elimina un par de bordes opuestos.

Véase también

• Cuadrángulo completo
• Construcción de la bisectriz perpendicular de un cuadrilátero
• Cuadrilátero de Saccheri
• Tipos de malla § Cuadrilátero
• Cuadrángulo (geografía)
• Homografía - Cualquier cuadrilátero puede transformarse en otro cuadrilátero mediante una transformación proyectiva (homografía)

Referencias

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Enlaces externos

• "Cuadrilátero completo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Cuadriláteros formados por mediatrices, colinealidad proyectiva y clasificación interactiva de cuadriláteros a partir de la técnica cut-the-knot
• Definiciones y ejemplos de cuadriláteros y Definición y propiedades de los tetrágonos de Mathopenref
• Un árbol cuadrilátero jerárquico (dinámico) en Dynamic Geometry Sketches
• Una clasificación extendida de cuadriláteros Archivado el 30 de diciembre de 2019 en Wayback Machine en la página de inicio de Dynamic Math Learning Archivado el 25 de agosto de 2018 en Wayback Machine
• El papel y la función de una clasificación jerárquica de cuadriláteros por Michael de Villiers