Construcción de la bisectriz perpendicular de un cuadrilátero.

En geometría , la construcción de la bisectriz perpendicular de un cuadrilátero es una construcción que produce un nuevo cuadrilátero a partir de un cuadrilátero dado utilizando las bisectrices perpendiculares a los lados del cuadrilátero anterior. Esta construcción surge naturalmente en un intento de encontrar un reemplazo para el circuncentro de un cuadrilátero en el caso de que no sea cíclico.

Definición de la construcción.

Supongamos que los vértices del cuadrilátero están dados por . Sean las bisectrices perpendiculares de los lados respectivamente. Luego sus intersecciones , con subíndices considerados módulo 4, forman el cuadrilátero consecuente . Luego, la construcción se repite para producir y así sucesivamente. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3},Q_{4}}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2},Q_{2}Q_{3},Q_{3}Q_{4},Q_{4}Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{i}^{(2)}=b_{i+2}b_{i+3}}$ ${\displaystyle Q^{(2)}}$ ${\displaystyle Q^{(2)}}$ ${\displaystyle Q^{(3)}}$

Primera iteración de la construcción de la bisectriz perpendicular.

Se puede obtener una construcción equivalente dejando que los vértices de sean los circuncentros de los 4 triángulos formados seleccionando combinaciones de 3 vértices de . ${\displaystyle Q^{(i+1)}}$ ${\displaystyle Q^{(i)}}$

Propiedades

1. Si no es cíclico, entonces no es degenerado. ^[1] ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle Q^{(2)}}$

2. El cuadrilátero nunca es cíclico. ^[1] Combinar los números 1 y 2 siempre es no degenerado. ${\displaystyle Q^{(2)}}$ ${\displaystyle Q^{(3)}}$

3. Los cuadriláteros son homotéticos y , en particular, semejantes . ^[2] Cuadriláteros y también son homotéticos. ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle Q^{(3)}}$ ${\displaystyle Q^{(2)}}$ ${\displaystyle Q^{(4)}}$

3. La construcción de la bisectriz perpendicular se puede invertir mediante conjugación isogonal . ^[3] Es decir, dado , es posible construir . ${\displaystyle Q^{(i+1)}}$ ${\displaystyle Q^{(i)}}$

4. Sean los ángulos de . Para cada , la relación de áreas de y está dada por ^[3] ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Q^{(i)}}$ ${\displaystyle Q^{(i+1)}}$

${\displaystyle (1/4)(\cot(\alpha )+\cot(\gamma ))(\cot(\beta )+\cot(\delta )).}$

5. Si es convexo, entonces la secuencia de cuadriláteros converge al punto isóptico de , que también es el punto isóptico de cada . De manera similar, si es cóncava, entonces la secuencia obtenida al invertir la construcción converge al Punto Isóptico de 's. ^[3] ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle Q^{(1)},Q^{(2)},\ldots }$ ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle Q^{(i)}}$ ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle Q^{(1)},Q^{(0)},Q^{(-1)},\ldots }$ ${\displaystyle Q^{(i)}}$

6. Si es tangencial entonces también es tangencial. ^[4] ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle Q^{(2)}}$

Referencias

1. J. King, Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares, en Geometry Turned On , (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, págs.
2. GC Shephard, La construcción de la bisectriz perpendicular, Geom. Dedicata , 56 (1995) 75–84.
3. O. Radko y E. Tsukerman, La construcción de la bisectriz perpendicular, el punto isóptico y la línea de Simson de un cuadrilátero, Forum Geométricorum 12 : 161–189 (2012).
4. de Villiers, Michael (2009), Algunas aventuras en geometría euclidiana, aprendizaje dinámico de matemáticas, p. 192-193, ISBN 9780557102952.

• J. Langr, Problema E1050, Amer. Matemáticas. Mensual , 60 (1953) 551.
• VV Prasolov, Problemas de geometría plana , vol. 1 (en ruso), 1991; Problema 6.31.
• VV Prasolov, Problemas de geometría plana y sólida , vol. 1 (traducido por D. Leites)
• D. Bennett, La geometría dinámica renueva el interés en un viejo problema, en Geometry Turned On , (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, págs.
• J. King, Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares, en Geometry Turned On , (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, págs.
• GC Shephard, La construcción de la bisectriz perpendicular, Geom. Dedicata , 56 (1995) 75–84.
• A. Bogomolny , Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares, Miscelánea interactiva de matemáticas y rompecabezas , http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PerpBisectQuadri.shtml.
• B. Grünbaum, Sobre cuadrángulos derivados de cuadrángulos: Parte 3, Geombinatorics 7 (1998), 88–94.
• O. Radko y E. Tsukerman, La construcción de la bisectriz perpendicular, el punto isóptico y la línea de Simson de un cuadrilátero, Forum Geométricorum 12 : 161–189 (2012).

enlaces externos

• Teorema de las bisectrices perpendiculares del cuadrilátero circunscrito en bocetos de geometría dinámica, bocetos interactivos de geometría dinámica.