Cuadrilátero bicéntrico

Forma convexa de 4 lados con un círculo interior y un círculo circunstante.

Porismo de Poncelet para cuadriláteros bicéntricos ABCD y EFGH

En geometría euclidiana , un cuadrilátero bicéntrico es un cuadrilátero convexo que tiene tanto un círculo interior como un círculo circunstante . Los radios y centros de estos círculos se denominan inradio y circunradio , e incentro y circuncentro respectivamente. De la definición se deduce que los cuadriláteros bicéntricos tienen todas las propiedades tanto de los cuadriláteros tangenciales como de los cuadriláteros cíclicos . Otros nombres para estos cuadriláteros son cuadrilátero cuerda-tangente ^[1] y cuadrilátero inscrito y circunscrito . También rara vez se le ha llamado cuadrilátero de doble círculo ^[2] y cuadrilátero de doble trazo . ^[3]

Si dos círculos, uno dentro del otro, son el círculo circunstante y el círculo circunstante de un cuadrilátero bicéntrico, entonces cada punto del círculo circunstante es el vértice de un cuadrilátero bicéntrico que tiene el mismo círculo circunstante y circuncírculo. ^[4] Este es un caso especial del porismo de Poncelet , que fue demostrado por el matemático francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

Casos especiales

Una cometa adecuada

Ejemplos de cuadriláteros bicéntricos son los cuadrados , las cometas rectas y los trapecios tangenciales isósceles .

Caracterizaciones

Un cuadrilátero bicéntrico ABCD y su cuadrilátero de contacto WXYZ

Un cuadrilátero convexo ABCD con lados a, b, c, d es bicéntrico si y sólo si los lados opuestos satisfacen el teorema de Pitot para cuadriláteros tangenciales y la propiedad del cuadrilátero cíclico de que los ángulos opuestos son suplementarios ; eso es,

${\displaystyle {\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases}}}$

Otras tres caracterizaciones se refieren a los puntos donde la circunferencia de un cuadrilátero tangencial es tangente a los lados. Si la circunferencia es tangente a los lados AB, BC, CD, DA en W, X, Y, Z respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico si y sólo si se cumple cualquiera de las tres condiciones siguientes: ^[5]

• WY es perpendicular a XZ
• ${\displaystyle {\frac {\overline {AW}}{\overline {WB}}}={\frac {\overline {DY}}{\overline {YC}}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\overline {AC}}{\overline {BD}}}={\frac {{\overline {AW}}+{\overline {CY}}}{{\overline {BX}}+{\overline {DZ}}}}}$

El primero de estos tres significa que el cuadrilátero de contacto WXYZ es un cuadrilátero ortodiagonal .

Si E, F, G, H son los puntos medios de WX, XY, YZ, ZW respectivamente, entonces el cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico si y sólo si el cuadrilátero EFGH es un rectángulo . ^[5]

Según otra caracterización, si I es el incentro en un cuadrilátero tangencial donde las extensiones de lados opuestos se cruzan en J y K , entonces el cuadrilátero también es cíclico si y sólo si ∠ JIK es un ángulo recto . ^[5]

Otra condición necesaria y suficiente es que un cuadrilátero tangencial ABCD sea cíclico si y sólo si su línea de Newton es perpendicular a la línea de Newton de su cuadrilátero de contacto WXYZ . (La línea de Newton de un cuadrilátero es la línea definida por los puntos medios de sus diagonales). ^[5]

Construcción

Un cuadrilátero bicéntrico ABCD con el cuadrilátero de contacto WXYZ . Animación ver aquí

Existe un método sencillo para construir un cuadrilátero bicéntrico:

Se comienza con el círculo C _r alrededor del centro I con el radio r y luego se dibujan dos cuerdas perpendiculares entre sí WY y XZ en el círculo C _r . En los puntos finales de las cuerdas dibuja las tangentes a, b, c, d a la circunferencia. Estos se cruzan en cuatro puntos A, B, C, D , que son los vértices de un cuadrilátero bicéntrico. ^[6] Para dibujar la circunferencia circunscrita, dibuje dos bisectrices perpendiculares p ₁ , p ₂ en los lados del cuadrilátero bicéntrico a respectivamente b . Las bisectrices perpendiculares p ₁ , p ₂ se cortan en el centro O del círculo circunstante C _R con la distancia x al centro I del círculo circunstante C _r . La circunferencia circunstante se puede trazar alrededor del centro O.

La validez de esta construcción se debe a la caracterización de que, en un cuadrilátero tangencial ABCD , el cuadrilátero de contacto WXYZ tiene diagonales perpendiculares si y sólo si el cuadrilátero tangencial también es cíclico .

Área

Fórmulas en términos de cuatro cantidades.

El área K de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de cuatro cantidades del cuadrilátero de varias maneras diferentes. Si los lados son a, b, c, d , entonces el área viene dada por ^{[7] [8] [9] [10] [11]}

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$

Este es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta . También se puede derivar directamente de la fórmula trigonométrica para el área de un cuadrilátero tangencial . Tenga en cuenta que lo contrario no se cumple: algunos cuadriláteros que no son bicéntricos también tienen área ^{[12] Un ejemplo de tal cuadrilátero es un} rectángulo no cuadrado . ${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$

El área también se puede expresar en términos de longitudes tangentes e, f, g, h como ^{[8] : p.128}

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

Una fórmula para el área del cuadrilátero bicéntrico ABCD con incentro I es ^[9]

${\displaystyle K={\overline {AI}}\cdot {\overline {CI}}+{\overline {BI}}\cdot {\overline {DI}}.}$

Si un cuadrilátero bicéntrico tiene cuerdas de tangencia k, l y diagonales p, q , entonces tiene área ^{[8] : p.129}

${\displaystyle K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.}$

Si k, l son las cuerdas de tangencia y m, n son las bimedianas del cuadrilátero, entonces el área se puede calcular usando la fórmula ^[9]

${\displaystyle K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl}$

Esta fórmula no se puede utilizar si el cuadrilátero es una cometa derecha , ya que el denominador es cero en ese caso.

Si M, N son los puntos medios de las diagonales y E, F son los puntos de intersección de las extensiones de lados opuestos, entonces el área de un cuadrilátero bicéntrico viene dada por

${\displaystyle K={\frac {2{\overline {MN}}\cdot {\overline {EI}}\cdot {\overline {FI}}}{\overline {EF}}}}$

donde I es el centro de la circunferencia. ^[9]

Fórmulas en términos de tres cantidades.

El área de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de dos lados opuestos y el ángulo θ entre las diagonales según ^[9]

${\displaystyle K=ac\tan {\frac {\theta }{2}}=bd\cot {\frac {\theta }{2}}.}$

En términos de dos ángulos adyacentes y el radio r del círculo, el área viene dada por ^[9]

${\displaystyle K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).}$

El área está dada en términos del circunradio R y del inradio r como

${\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta }$

donde θ es cualquier ángulo entre las diagonales. ^[13]

Si M, N son los puntos medios de las diagonales y E, F son los puntos de intersección de las extensiones de lados opuestos, entonces el área también se puede expresar como

${\displaystyle K=2{\overline {MN}}{\sqrt {{\overline {EQ}}\cdot {\overline {FQ}}}}}$

donde Q es el pie de la perpendicular a la recta EF que pasa por el centro de la circunferencia. ^[9]

Desigualdades

Si r y R son el inradio y el circunradio respectivamente, entonces el área K satisface las desigualdades ^[14]

${\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.}$

Hay igualdad en ambos lados sólo si el cuadrilátero es un cuadrado .

Otra desigualdad para el área es ^{[15] : p.39, #1203}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$

donde r y R son el inradio y el circunradio respectivamente.

Una desigualdad similar que da un límite superior para el área más pronunciado que la anterior es ^[13]

${\displaystyle K\leq r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})}$

con igualdad válida si y sólo si el cuadrilátero es una cometa derecha .

Además, con lados a, b, c, d y semiperímetro s :

${\displaystyle 2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$^{[15] : pág.39, #1203}

${\displaystyle 6K\leq ab+ac+ad+bc+bd+cd\leq 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$^{[15] : pág.39, #1203}

${\displaystyle 4Kr^{2}\leq abcd\leq {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).}$^{[15] : pág.39, #1203}

Fórmulas de ángulos

Si a, b, c, d son las longitudes de los lados AB, BC, CD, DA respectivamente en un cuadrilátero bicéntrico ABCD , entonces sus ángulos en los vértices se pueden calcular con la función tangente : ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}}$

Usando las mismas notaciones, para las funciones seno y coseno se cumplen las siguientes fórmulas: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},\\\cos {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},\\\sin {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},\\\cos {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}}$

El ángulo θ entre las diagonales se puede calcular a partir de ^[10]

${\displaystyle \displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.}$

Inradio y circunradio

El inradio r de un cuadrilátero bicéntrico está determinado por los lados a, b, c, d según ^[7]

${\displaystyle \displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.}$

El circunradio R se da como un caso especial de la fórmula de Parameshvara . es ^[7]

${\displaystyle \displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.}$

El inradio también se puede expresar en términos de longitudes tangentes consecutivas e, f, g, h según ^{[17] : p. 41}

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.}$

Estas dos fórmulas son de hecho condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero tangencial de radio r sea cíclico .

Los cuatro lados a, b, c, d de un cuadrilátero bicéntrico son las cuatro soluciones de la ecuación de cuarto grado.

${\displaystyle y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})y^{2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0}$

donde s es el semiperímetro y r y R son el radio interior y el circunradio respectivamente. ^{[18] : pág. 754}

Si hay un cuadrilátero bicéntrico con radio r cuyas longitudes tangentes son e, f, g, h , entonces existe un cuadrilátero bicéntrico con radio r ^v cuyas longitudes tangentes son donde v puede ser cualquier número real . ^{[19] : págs.9-10} ${\displaystyle e^{v},f^{v},g^{v},h^{v},}$

Un cuadrilátero bicéntrico tiene un inradio mayor que cualquier otro cuadrilátero tangencial que tenga la misma secuencia de longitudes de lados. ^{[20] : págs. 392–393}

Desigualdades

El circunradio R y el inradio r satisfacen la desigualdad

${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}}r}$

lo cual fue demostrado por L. Fejes Tóth en 1948. ^[19] Se cumple con igualdad sólo cuando los dos círculos son concéntricos (tienen el mismo centro entre sí); entonces el cuadrilátero es un cuadrado . La desigualdad se puede demostrar de varias maneras diferentes, una de ellas usando la doble desigualdad para el área anterior.

Una extensión de la desigualdad anterior es ^{[2] [21] : p. 141}

${\displaystyle {\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leq {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leq 1}$

donde hay igualdad en ambos lados si y sólo si el cuadrilátero es un cuadrado . ^{[16] : pág. 81}

El semiperímetro s de un cuadrilátero bicéntrico satisface ^{[19] : p.13}

${\displaystyle {\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}\leq s\leq {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r}$

donde r y R son el inradio y el circunradio respectivamente.

Además, ^{[15] : p.39, #1203}

${\displaystyle 2sr^{2}\leq abc+abd+acd+bcd\leq 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}}$

y

${\displaystyle abc+abd+acd+bcd\leq 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).}$ ^{[15] : p.62, #1599}

Distancia entre el incentro y el circuncentro

Un cuadrilátero bicéntrico ABCD con incentro I y circuncentro O

Teorema de Fuss

El teorema de Fuss da una relación entre el inradio r , el circunradio R y la distancia x entre el incentro I y el circuncentro O , para cualquier cuadrilátero bicéntrico. La relación es ^{[1] [11] [22]}

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

o equivalente

${\displaystyle \displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.}$

Fue deducida por Nicolaus Fuss (1755–1826) en 1792. Al resolver x se obtiene

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

El teorema de Fuss, que es análogo al teorema de Euler para triángulos para cuadriláteros bicéntricos, dice que si un cuadrilátero es bicéntrico, entonces sus dos círculos asociados están relacionados de acuerdo con las ecuaciones anteriores. De hecho, lo contrario también se cumple: dados dos círculos (uno dentro del otro) con radios R y r y distancia x entre sus centros que satisfacen la condición del teorema de Fuss, existe un cuadrilátero convexo inscrito en uno de ellos y tangente al otro. ^[23] (y luego, según el teorema de cierre de Poncelet , existen infinitos de ellos).

Aplicando la expresión del teorema de Fuss para x en términos de r y R hay otra forma de obtener la desigualdad antes mencionada. Una generalización es ^{[19] : p.5} ${\displaystyle x^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}}r.}$

${\displaystyle 2r^{2}+x^{2}\leq R^{2}\leq 2r^{2}+x^{2}+2rx.}$

La identidad de Carlitz

Otra fórmula para la distancia x entre los centros de la circunferencia circundante y la circunferencia circunscrita se debe al matemático estadounidense Leonard Carlitz (1907-1999). Afirma que ^[24]

${\displaystyle \displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }$

donde r y R son el inradio y el circunradio respectivamente, y

${\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}$

donde a, b, c, d son los lados del cuadrilátero bicéntrico.

Desigualdades para las longitudes y lados tangentes.

Para las longitudes tangentes e, f, g, h se cumplen las siguientes desigualdades: ^{[19] : p.3}

${\displaystyle 4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

y

${\displaystyle 4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}$

donde r es el inradio, R es el circunradio y x es la distancia entre el incentro y el circuncentro. Los lados a, b, c, d satisfacen las desigualdades ^{[19] : p.5}

${\displaystyle 8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

y

${\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).}$

Otras propiedades del incentro

El circuncentro , el incentro y la intersección de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico son colineales . ^[25]

Existe la siguiente igualdad que relaciona las cuatro distancias entre el incentro I y los vértices de un cuadrilátero bicéntrico ABCD : ^[26]

${\displaystyle {\frac {1}{{\overline {AI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {CI}}^{2}}}={\frac {1}{{\overline {BI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {DI}}^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$

donde r es el inradio.

Si P es la intersección de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico ABCD con incentro I , entonces ^[27]

${\displaystyle {\frac {\overline {AP}}{\overline {CP}}}={\frac {{\overline {AI}}^{2}}{{\overline {CI}}^{2}}}.}$

Propiedades de las diagonales

Las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico se pueden expresar en términos de los lados o las longitudes tangentes , que son fórmulas que se cumplen en un cuadrilátero cíclico y un cuadrilátero tangencial respectivamente.

En un cuadrilátero bicéntrico con diagonales p, q , se cumple la siguiente identidad: ^[11]

${\displaystyle \displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1}$

donde r y R son el inradio y el circunradio respectivamente. Esta igualdad se puede reescribir como ^[13]

${\displaystyle r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}}$

o, resolviéndolo como una ecuación cuadrática para el producto de las diagonales, en la forma

${\displaystyle pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).}$

Una desigualdad para el producto de las diagonales p, q en un cuadrilátero bicéntrico es ^[14]

${\displaystyle \displaystyle 8pq\leq (a+b+c+d)^{2}}$

donde a, b, c, d son los lados. Así lo demostró Murray S. Klamkin en 1967.

Cuatro incentros se encuentran en un círculo.

Sea ABCD un cuadrilátero bicéntrico y O el centro de su circunferencia. Entonces los incentros de los cuatro triángulos △ OAB , △ OBC , △ OCD , △ ODA se encuentran en un círculo. ^[28]

Ver también

• Polígono bicéntrico
• Cuadrilátero extangencial

Referencias

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7. Weisstein, Eric, Cuadrilátero bicéntrico en MathWorld , [3], consultado el 13 de agosto de 2011.
8. Josefsson, Martin (2010), "Cálculos relativos a las longitudes tangentes y las cuerdas de tangencia de un cuadrilátero tangencial" (PDF) , Forum Geometriorum , 10 : 119-130.
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13. Josefsson, Martin (2012), "Área máxima de un cuadrilátero bicéntrico" (PDF) , Forum Geometriorum , 12 : 237–241.
14. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009). Cuando menos es más: visualizando desigualdades básicas . Asociación Matemática de América. págs. 64–66. ISBN 978-0-88385-342-9.
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16. Josefsson, Martin (2012), "Una nueva prueba de la desigualdad de Yun para cuadriláteros bicéntricos" (PDF) , Forum Geometriorum , 12 : 79–82.
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21. Shattuck, Mark, “Una desigualdad geométrica para cuadriláteros cíclicos”, Forum Geometriorum 18, 2018, 141-154. [7] Este artículo también ofrece varias desigualdades en términos de las longitudes de arco subtendidas por los lados de un cuadrilátero cíclico.
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