Teorema de Euler en geometría

Sobre la distancia entre centros de un triángulo.

Teorema de Euler:
${\displaystyle d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}}$

En geometría , el teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro de un triángulo está dada por ^{[1] [2]} o equivalentemente donde y denotan el circunradio y el inradio respectivamente (los radios del círculo circunscrito y del círculo inscrito respectivamente). El teorema lleva el nombre de Leonhard Euler , quien lo publicó en 1765. ^[3] Sin embargo, el mismo resultado fue publicado anteriormente por William Chapple en 1746. ^[4] $${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$

Del teorema se sigue la desigualdad de Euler : ^[5] que se cumple con igualdad sólo en el caso equilátero . ^[6] $${\displaystyle R\geq 2r,}$$

Versión más fuerte de la desigualdad

Una versión más fuerte ^[6] es donde , y son las longitudes de los lados del triángulo. $${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Teorema de Euler para el círculo escrito

Si y denotan respectivamente el radio del círculo escrito opuesto al vértice y la distancia entre su centro y el centro del círculo circunscrito, entonces . ${\displaystyle r_{a}}$ ${\displaystyle d_{a}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d_{a}^{2}=R(R+2r_{a})}$

La desigualdad de Euler en geometría absoluta.

La desigualdad de Euler, en la forma que establece que, para todos los triángulos inscritos en un círculo dado, el máximo del radio del círculo inscrito se alcanza para el triángulo equilátero y sólo para él, es válida en geometría absoluta . ^[7]

Ver también

• Teorema de Fuss para la relación entre las mismas tres variables en cuadriláteros bicéntricos
• Teorema de cierre de Poncelet , que muestra que existe una infinidad de triángulos con los mismos dos círculos (y por lo tanto los mismos R , r y d )
• Conjetura de Egan , generalización a dimensiones superiores
• Lista de desigualdades triangulares

Referencias

1. Johnson, Roger A. (2007) [1929], Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., pág. 186
2. Dunham, William (2007), El genio de Euler: reflexiones sobre su vida y obra, Serie Spectrum, vol. 2, Asociación Matemática de América, pág. 300, ISBN 9780883855584
3. Leversha, Gerry; Smith, GC (noviembre de 2007), "Euler y la geometría del triángulo", The Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, doi :10.1017/S0025557200182087, JSTOR  40378417, S2CID  125341434
4. Chapple, William (1746), "Un ensayo sobre las propiedades de los triángulos inscritos y circunscritos alrededor de dos círculos dados", Miscellanea Curiosa Mathematica , 4 : 117-124. La fórmula para la distancia se encuentra cerca del final de la página 123.
5. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), Cuando menos es más: visualización de desigualdades básicas, Exposiciones matemáticas de Dolciani, vol. 36, Asociación Matemática de América, pág. 56, ISBN 9780883853429
6. Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012), "Versiones no euclidianas de algunas desigualdades triangulares clásicas", Forum Geometriorum , 12 : 197–209; ver pág. 198
7. Pambucciano, Víctor; Schacht, Celia (2018), "La desigualdad de Euler en geometría absoluta", Journal of Geometry , 109 (Art. 8): 1–11, doi :10.1007/s00022-018-0414-6, S2CID  125459983

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Fórmula del triángulo de Euler", MathWorld