En geometría , el teorema de cierre de Poncelet , también conocido como porismo de Poncelet , establece que siempre que un polígono está inscrito en una sección cónica y circunscribe a otra, el polígono debe ser parte de una familia infinita de polígonos que están todos inscritos y circunscritos a las mismas dos. cónicas. [1] [2] Lleva el nombre del ingeniero y matemático francés Jean-Victor Poncelet , quien escribió sobre él en 1822; [3] sin embargo, la caja triangular fue descubierta mucho antes, en 1746 por William Chapple . [4]
El porismo de Poncelet puede demostrarse mediante un argumento que utiliza una curva elíptica , cuyos puntos representan una combinación de una recta tangente a una cónica y un punto de cruce de esa recta con la otra cónica.
Sean C y D dos cónicas planas . Si es posible encontrar, para un dado n > 2, un polígono de n lados que esté simultáneamente inscrito en C (lo que significa que todos sus vértices se encuentran en C ) y circunscrito alrededor de D (lo que significa que todos sus bordes son tangentes a D ), entonces es posible encontrar infinitos de ellos. Cada punto de C o D es un vértice o tangencia (respectivamente) de uno de esos polígonos.
Si las cónicas son círculos , los polígonos que están inscritos en un círculo y circunscritos alrededor del otro se llaman polígonos bicéntricos , por lo que este caso especial del porismo de Poncelet puede expresarse de manera más concisa diciendo que todo polígono bicéntrico es parte de una familia infinita de bicéntricos. polígonos con respecto a los mismos dos círculos. [5] : pág. 94
Vea C y D como curvas en el plano proyectivo complejo P 2 . Para simplificar, supongamos que C y D se encuentran transversalmente (lo que significa que cada punto de intersección de los dos es un cruce simple). Entonces, según el teorema de Bézout , la intersección C ∩ D de las dos curvas consta de cuatro puntos complejos. Para un punto arbitrario d en D , sea ℓ d la recta tangente a D en d . Sea X la subvariedad de C × D que consta de ( c , d ) tal que ℓ d pasa por c . Dado c , el número de d con ( c , d ) ∈ X es 1 si c ∈ C ∩ D y 2 en caso contrario. Así, la proyección X → C ≃ P 1 presenta X como una cobertura de grado 2 ramificada sobre 4 puntos, por lo que X es una curva elíptica (una vez que fijamos un punto base en X ). Sea la involución de X enviando un general ( c , d ) al otro punto ( c , d ′) con la misma primera coordenada. Cualquier involución de una curva elíptica con un punto fijo, cuando se expresa en la ley de grupo, tiene la forma x → p − x para algún p , también tiene esta forma. De manera similar, la proyección X → D es un morfismo de grado 2 ramificado sobre los puntos de contacto en D de las cuatro líneas tangentes a C y D , y la involución correspondiente tiene la forma x → q − x para algunos q . Por tanto, la composición es una traducción de X . Si una potencia de tiene un punto fijo, esa potencia debe ser la identidad. Traducido nuevamente al lenguaje de C y D , esto significa que si un punto c ∈ C (equipado con un d correspondiente) da lugar a una órbita que se cierra (es decir, da un n -gon), luego también lo hace cada punto. Los casos degenerados en los que C y D no son transversales se derivan de un argumento límite.
