La fórmula de Brahmagupta

Fórmula que relaciona el área de un cuadrilátero cíclico con las longitudes de sus lados.

En geometría euclidiana , la fórmula de Brahmagupta , llamada así por el matemático indio del siglo VII , se utiliza para hallar el área de cualquier cuadrilátero cíclico (uno que pueda inscribirse en un círculo) dadas las longitudes de los lados. Su versión generalizada, la fórmula de Bretschneider , se puede utilizar con cuadriláteros no cíclicos. La fórmula de Heron puede considerarse un caso especial de la fórmula de Brahmagupta para triángulos.

Formulación

La fórmula de Brahmagupta da el área K de un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen longitudes a , b , c , d como

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

donde s , el semiperímetro , se define como

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Esta fórmula generaliza la fórmula de Heron para el área de un triángulo . Un triángulo puede considerarse como un cuadrilátero con un lado de longitud cero. Desde esta perspectiva, cuando d se acerca a cero, un cuadrilátero cíclico converge en un triángulo cíclico (todos los triángulos son cíclicos) y la fórmula de Brahmagupta se simplifica a la fórmula de Heron.

Si no se utiliza el semiperímetro, la fórmula de Brahmagupta es

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}.}$

Otra versión equivalente es

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot }$

Prueba

Diagrama de referencia

Prueba trigonométrica

Aquí se utilizan las notaciones de la figura de la derecha. El área K del cuadrilátero cíclico es igual a la suma de las áreas de △ ADB y △ BDC :

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.}$

Pero como □ABCD es un cuadrilátero cíclico, ∠ DAB = 180° − ∠ DCB . Por lo tanto , sen A = sen C . Por lo tanto,

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}$

${\displaystyle K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A}$

${\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)=(pq+rs)^{2}-((pq+rs)\cos A)^{2}}$

(utilizando la  identidad trigonométrica ).

Resolviendo para el lado común DB , en △ ADB y △ BDC , la ley de los cosenos da

${\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.}$

Sustituyendo cos C = −cos A (ya que los ángulos A y C son suplementarios ) y reordenando, tenemos

${\displaystyle (pq+rs)\cos A={\frac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}).}$

Sustituyendo esto en la ecuación del área,

${\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}$

${\displaystyle 16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.}$

El lado derecho tiene la forma a ² − b ² = ( a − b )( a + b ) y, por lo tanto, puede escribirse como

${\displaystyle [2(pq+rs))-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]}$

que, al reordenar los términos entre corchetes, da como resultado

${\displaystyle 16K^{2}=[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]}$

que puede ser factorizado nuevamente en

${\displaystyle 16K^{2}=(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).}$

Introduciendo el semiperímetro S = ⁠p + q + r + s/2⁠ rendimientos

${\displaystyle 16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).}$

Tomando la raíz cuadrada, obtenemos

${\displaystyle K={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.}$

Prueba no trigonométrica

Una prueba alternativa, no trigonométrica, utiliza dos aplicaciones de la fórmula del área del triángulo de Heron en triángulos similares. ^[1]

Extensión a cuadriláteros no cíclicos

En el caso de cuadriláteros no cíclicos, la fórmula de Brahmagupta se puede ampliar considerando las medidas de dos ángulos opuestos del cuadrilátero:

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}$

donde θ es la mitad de la suma de dos ángulos opuestos cualesquiera. (La elección de qué par de ángulos opuestos es irrelevante: si se toman los otros dos ángulos, la mitad de su suma es 180° − θ . Como cos(180° − θ ) = −cos θ , tenemos cos ² (180° − θ ) = cos ² θ .) Esta fórmula más general se conoce como fórmula de Bretschneider .

Es una propiedad de los cuadriláteros cíclicos (y en última instancia de los ángulos inscritos ) que los ángulos opuestos de un cuadrilátero suman 180°. En consecuencia, en el caso de un cuadrilátero inscrito, θ es 90°, de donde proviene el término

${\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,}$

Dando la forma básica de la fórmula de Brahmagupta. De la última ecuación se deduce que el área de un cuadrilátero cíclico es el área máxima posible para cualquier cuadrilátero con las longitudes de los lados dadas.

Una fórmula relacionada, que fue demostrada por Coolidge , también da el área de un cuadrilátero convexo general. Es ^[2]

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}}$

donde p y q son las longitudes de las diagonales del cuadrilátero. En un cuadrilátero cíclico , pq = ac + bd según el teorema de Ptolomeo , y la fórmula de Coolidge se reduce a la fórmula de Brahmagupta.

Teoremas relacionados

• La fórmula de Heron para el área de un triángulo es el caso especial que se obtiene al tomar d = 0 .
• La relación entre la forma general y extendida de la fórmula de Brahmagupta es similar a cómo la ley de los cosenos extiende el teorema de Pitágoras .
• Existen fórmulas de forma cerrada cada vez más complicadas para el área de polígonos generales en círculos, como lo describen Maley et al. ^{[3] .}

Referencias

1. Hess, Albrecht, "Una carretera desde Heron a Brahmagupta", Forum Geometricorum 12 (2012), 191–192.
2. JL Coolidge, "Una fórmula históricamente interesante para el área de un cuadrilátero", American Mathematical Monthly , 46 (1939) págs. 345-347.
3. Maley, F. Miller; Robbins, David P.; Roskies, Julie (2005). "Sobre las áreas de polígonos cíclicos y semicíclicos". Avances en Matemáticas Aplicadas . 34 (4): 669–689. arXiv : math/0407300 . doi :10.1016/j.aam.2004.09.008. S2CID  119565975.

Enlaces externos

• Una prueba geométrica de Sam Vandervelde .
• La fórmula de Brahmagupta en ProofWiki
• Weisstein, Eric W. "Fórmula de Brahmagupta". MundoMatemático .

Este artículo incorpora material de la prueba de la fórmula de Brahmagupta en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .