Fórmula para el área de un cuadrilátero
Un cuadrilátero. En geometría , la fórmula de Bretschneider es una expresión matemática para el área de un cuadrilátero general . Funciona tanto en cuadriláteros convexos como cóncavos, ya sean cíclicos o no. La fórmula también funciona en cuadriláteros cruzados siempre que se utilicen ángulos dirigidos.
Historia El matemático alemán Carl Anton Bretschneider descubrió la fórmula en 1842. La fórmula también fue derivada ese mismo año por el matemático alemán Karl Georg Christian von Staudt .
Formulación La fórmula de Bretschneider se expresa como:
K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − do ) ( s − d ) − a b do d ⋅ porque 2 ( alfa + gamma 2 ) {\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}} = ( s − a ) ( s − b ) ( s − do ) ( s − d ) − 1 2 a b do d [ 1 + porque ( alfa + gamma ) ] . {\displaystyle ={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.} Aquí, a b c d s semiperímetro , y α γ porque ( alfa + gamma ) = porque ( β + del ) {\displaystyle \cos(\alpha +\gamma )=\cos(\beta +\delta )} α + β + γ + δ = 360 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ }} α + β + γ + δ = 720 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =720^{\circ }}
Prueba Denotamos el área del cuadrilátero por K
K = a d sin α 2 + b c sin γ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}K&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}} Por lo tanto
2 K = ( a d ) sin α + ( b c ) sin γ . {\displaystyle 2K=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .} 4 K 2 = ( a d ) 2 sin 2 α + ( b c ) 2 sin 2 γ + 2 a b c d sin α sin γ . {\displaystyle 4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .} La ley de los cosenos implica que
a 2 + d 2 − 2 a d cos α = b 2 + c 2 − 2 b c cos γ , {\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,} porque ambos lados son iguales al cuadrado de la longitud de la diagonal BD
( a 2 + d 2 − b 2 − c 2 ) 2 4 = ( a d ) 2 cos 2 α + ( b c ) 2 cos 2 γ − 2 a b c d cos α cos γ . {\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .} Agregando esto a la fórmula anterior para 4 K 2 se obtiene
4 K 2 + ( a 2 + d 2 − b 2 − c 2 ) 2 4 = ( a d ) 2 + ( b c ) 2 − 2 a b c d cos ( α + γ ) = ( a d + b c ) 2 − 2 a b c d − 2 a b c d cos ( α + γ ) = ( a d + b c ) 2 − 2 a b c d ( cos ( α + γ ) + 1 ) = ( a d + b c ) 2 − 4 a b c d ( cos ( α + γ ) + 1 2 ) = ( a d + b c ) 2 − 4 a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}4K^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd(\cos(\alpha +\gamma )+1)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}} Nótese que: (una identidad trigonométrica verdadera para todos ) cos 2 α + γ 2 = 1 + cos ( α + γ ) 2 {\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {1+\cos(\alpha +\gamma )}{2}}} α + γ 2 {\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}
Siguiendo los mismos pasos que en la fórmula de Brahmagupta , esto se puede escribir como
16 K 2 = ( a + b + c − d ) ( a + b − c + d ) ( a − b + c + d ) ( − a + b + c + d ) − 16 a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) . {\displaystyle 16K^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).} Presentando el semiperímetro
s = a + b + c + d 2 , {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},} Lo anterior se convierte en
16 K 2 = 16 ( s − d ) ( s − c ) ( s − b ) ( s − a ) − 16 a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle 16K^{2}=16(s-d)(s-c)(s-b)(s-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)} K 2 = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle K^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)} y la fórmula de Bretschneider se deduce después de tomar la raíz cuadrada de ambos lados:
K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d ⋅ cos 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}} La segunda forma se da utilizando la identidad del semiángulo del coseno.
cos 2 ( α + γ 2 ) = 1 + cos ( α + γ ) 2 , {\displaystyle \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)={\frac {1+\cos \left(\alpha +\gamma \right)}{2}},} flexible
K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 1 2 a b c d [ 1 + cos ( α + γ ) ] . {\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.} Emmanuel García ha utilizado las fórmulas generalizadas de semiángulos para dar una prueba alternativa. [1]
Fórmulas relacionadas La fórmula de Bretschneider generaliza la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico , que a su vez generaliza la fórmula de Heron para el área de un triángulo .
El ajuste trigonométrico en la fórmula de Bretschneider para la no ciclicidad del cuadrilátero se puede reescribir de forma no trigonométrica en términos de los lados y las diagonales e f [2] [3]
K = 1 4 4 e 2 f 2 − ( b 2 + d 2 − a 2 − c 2 ) 2 = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 1 4 ( ( a c + b d ) 2 − e 2 f 2 ) = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 1 4 ( a c + b d + e f ) ( a c + b d − e f ) {\displaystyle {\begin{aligned}K&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}((ac+bd)^{2}-e^{2}f^{2})}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}\\\end{aligned}}}
Notas ^ EA José García, Dos identidades y sus consecuencias, MATINF, 6 (2020) 5-11. [1] ^ Coolidge, JL (1939). "Una fórmula históricamente interesante para el área de un cuadrilátero". The American Mathematical Monthly . 46 (6): 345–347. doi :10.2307/2302891. JSTOR 2302891. ^ Hobson, EW (1918). Tratado sobre trigonometría plana. Cambridge University Press. págs. 204-205.
Referencias y lecturas adicionales Ayoub, Ayoub B. (2007). "Generalizaciones de los teoremas de Ptolomeo y Brahmagupta". Educación Matemática e Informática . 41 (1). ISSN 0730-8639. CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (copia en línea, alemán) F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (copia en línea, alemán)
Enlaces externos Weisstein, Eric W. "La fórmula de Bretschneider". MundoMatemático Fórmula de Bretschneider enproofwiki.org Fórmula del área cuadrilátera de Bretschneider y fórmula de Brahmagupta en Dynamic Geometry Sketches, bocetos geométricos interactivos. 
![{\displaystyle ={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274a2fdb98ed6e71c98f8dee380c3e1318d9e4a7)
![{\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd67344e861ae283f212781cbefdb9355576d99a)
