Teorema de Varignon

Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario forman un paralelogramo.

Área( EFGH ) = (1/2)Área( ABCD )

En geometría euclidiana , el teorema de Varignon sostiene que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario forman un paralelogramo , llamado paralelogramo de Varignon . Lleva el nombre de Pierre Varignon , cuya prueba se publicó póstumamente en 1731. ^[1]

Teorema

Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario forman un paralelogramo. Si el cuadrilátero es convexo o cóncavo (no complejo ), entonces el área del paralelogramo es la mitad del área del cuadrilátero.

Si se introduce el concepto de áreas orientadas para n -gonos , entonces esta igualdad de áreas también es válida para cuadriláteros complejos. ^[2]

El paralelogramo de Varignon existe incluso para un cuadrilátero sesgado y es plano independientemente de que el cuadrilátero sea plano o no. El teorema se puede generalizar al polígono del punto medio de un polígono arbitrario.

Prueba

Con referencia al diagrama anterior, los triángulos ADC y HDG son similares según el criterio lado-ángulo-lado, por lo que los ángulos DAC y DHG son iguales, lo que hace que HG sea paralelo a AC . De la misma manera EF es paralelo a AC , por lo que HG y EF son paralelos entre sí; lo mismo se aplica a HE y GF .

El teorema de Varignon también se puede demostrar como un teorema de geometría afín organizado como álgebra lineal con combinaciones lineales restringidas a coeficientes que suman 1, también llamados coordenadas afines o baricéntricas . La prueba se aplica incluso a cuadriláteros sesgados en espacios de cualquier dimensión.

Tres puntos cualesquiera E , F , G se completan en un paralelogramo (que se encuentra en el plano que contiene E , F y G  ) tomando su cuarto vértice como E  −  F  +  G. En la construcción del paralelogramo de Varignon este es el punto ( A  +  B )/2 − ( B  +  C )/2 + ( C  +  D )/2 = ( A  +  D )/2. Pero éste es el punto H de la figura, desde donde EFGH forma un paralelogramo.

En resumen, el centroide de los cuatro puntos A , B , C , D es el punto medio de cada una de las dos diagonales EG y FH de EFGH , lo que demuestra que los puntos medios coinciden.

De la primera prueba se puede ver que la suma de las diagonales es igual al perímetro del paralelogramo formado. Además, podemos usar vectores de 1/2 de la longitud de cada lado para determinar primero el área del cuadrilátero y luego encontrar las áreas de los cuatro triángulos divididos por cada lado del paralelogramo interior.

Prueba sin palabras del teorema de Varignon:

1. Un cuadrilátero arbitrario y sus diagonales.
2. Las bases de triángulos semejantes son paralelas a la diagonal azul.
3. Lo mismo ocurre con la diagonal roja.
4. Los pares de bases forman un paralelogramo con la mitad del área del cuadrilátero, A _q , como suma de las áreas de los cuatro triángulos grandes, Al _es 2 A _q (cada uno de los dos pares reconstruye el cuadrilátero) mientras que la del pequeño triángulos, A _s es un cuarto de Al (la mitad _de las dimensiones lineales produce un cuarto de área), y el área del paralelogramo es A _q menos A _s .

El paralelogramo de Varignon

Propiedades

Un paralelogramo plano de Varignon también tiene las siguientes propiedades:

• Cada par de lados opuestos del paralelogramo de Varignon son paralelos a una diagonal del cuadrilátero original.
• Un lado del paralelogramo de Varignon mide la mitad de la diagonal del cuadrilátero original al que es paralelo.
• El área del paralelogramo de Varignon es igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Esto es cierto en los cuadriláteros convexos, cóncavos y cruzados, siempre que el área de este último se defina como la diferencia de las áreas de los dos triángulos que lo componen. ^[2]
• El perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original.
• Las diagonales del paralelogramo de Varignon son las bimedianas del cuadrilátero original.
• Las dos bimedianas de un cuadrilátero y el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales de ese cuadrilátero son concurrentes y todos están bisecados por su punto de intersección. ^{[3] : pág.125}

En un cuadrilátero convexo de lados a , b , c y d , la longitud de la bimediana que conecta los puntos medios de los lados a y c es

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

donde p y q son la longitud de las diagonales. ^[4] La longitud de la bimediana que conecta los puntos medios de los lados b y d es

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

Por lo tanto ^{[3] : p.126}

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

Esto también es un corolario de la ley del paralelogramo aplicada en el paralelogramo de Varignon.

Las longitudes de las bimedianas también se pueden expresar en términos de dos lados opuestos y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales. Esto es posible cuando se utiliza el teorema del cuadrilátero de Euler en las fórmulas anteriores. De donde ^[5]

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

y

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

Los dos lados opuestos en estas fórmulas no son los dos que conecta la bimediana.

En un cuadrilátero convexo, existe la siguiente conexión dual entre las bimedianas y las diagonales: ^[6]

• Las dos bimedianas tienen igual longitud si y sólo si las dos diagonales son perpendiculares .
• Las dos bimedianas son perpendiculares si y sólo si las dos diagonales tienen la misma longitud.

Casos especiales

El paralelogramo de Varignon es un rombo si y sólo si las dos diagonales del cuadrilátero tienen igual longitud, es decir, si el cuadrilátero es un cuadrilátero equidiagonal . ^[7]

El paralelogramo de Varignon es un rectángulo si y sólo si las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares , es decir, si el cuadrilátero es un cuadrilátero ortodiagonal . ^{[6] : pág. 14  [7] : pág. 169}

Para un cuadrilátero que se cruza solo , el paralelogramo de Varignon puede degenerar en cuatro puntos colineales, formando un segmento de línea atravesado dos veces. Esto sucede siempre que el polígono se forma reemplazando dos lados paralelos de un trapezoide por las dos diagonales del trapezoide, como en el antiparalelogramo . ^[8]

Ver también

• Construcción de la bisectriz perpendicular de un cuadrilátero , una forma diferente de formar otro cuadrilátero a partir de un cuadrilátero dado
• Teorema del trisector de Morley , un teorema relacionado sobre triángulos

Notas

1. Peter N. Oliver: Pierre Varignon y el teorema del paralelogramo. Profesora de Matemáticas, Banda 94, Nr. 4, abril de 2001, págs. 316-319
2. Coxeter, HSM y Greitzer, SL "Cuadriángulo; teorema de Varignon" §3.1 en Geometry Revisited. Washington, DC: Matemáticas. Asociación. Amer., págs. 52–54, 1967.
3. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publ., 2007.
4. Mateescu Constantin, Respuesta a la desigualdad de la diagonal
5. Josefsson, Martin (2011), "El área de un cuadrilátero bicéntrico" (PDF) , Forum Geometriorum , 11 : 155-164.
6. Josefsson, Martin (2012), "Caracterizaciones de cuadriláteros ortodiagonales" (PDF) , Forum Geometriorum , 12 : 13-25.
7. de Villiers, Michael (2009), Algunas aventuras en geometría euclidiana, aprendizaje dinámico de matemáticas, p. 58, ISBN 9780557102952.
8. Muirhead, RF (febrero de 1901), "Geometría del trapecio isósceles y el contraparalelogramo, con aplicaciones a la geometría de la elipse", Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo , 20 : 70–72, doi : 10.1017/s0013091500032892

Referencias y lecturas adicionales

• HSM Coxeter, SL Greitzer: Geometría revisitada . MAA, Washington 1967, págs. 52-54
• Peter N. Oliver: Consecuencias del teorema del paralelogramo de Varignon. Profesora de Matemáticas, Banda 94, Nr. 5, mayo de 2001, págs. 406-408

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Varignon". MundoMatemático .
• Paralelogramo de Varignon en geometría del compendio
• Una generalización del teorema de Varignon a 2n-gons y a 3D en Dynamic Geometry Sketches, bocetos interactivos de geometría dinámica.
• Paralelogramo de Varignon en cut-the-knot-org