En geometría euclidiana , un cuadrilátero extangencial es un cuadrilátero convexo donde las extensiones de los cuatro lados son tangentes a un círculo fuera del cuadrilátero. [1] También se le ha llamado cuadrilátero exscriptible . [2] El círculo se llama su excírculo , su radio el exradio y su centro el excentro ( E en la figura). El excentro se encuentra en la intersección de seis bisectrices de ángulos. Estas son las bisectrices de ángulos internos en dos ángulos de vértice opuestos, las bisectrices de ángulos externos (bisectriz de ángulos suplementarios ) en los otros dos ángulos de vértice y las bisectrices de ángulos externos en los ángulos formados donde las extensiones de lados opuestos se intersecan (ver la figura a la derecha, donde cuatro de estos seis son segmentos de línea de puntos). El cuadrilátero extangencial está estrechamente relacionado con el cuadrilátero tangencial (donde los cuatro lados son tangentes a un círculo).
Otro nombre para un excírculo es círculo inscrito, [3] pero ese nombre también se ha utilizado para un círculo tangente a un lado de un cuadrilátero convexo y las extensiones de los dos lados adyacentes. En ese contexto, todos los cuadriláteros convexos tienen cuatro círculos inscritos, pero pueden tener como máximo un excírculo. [4]
Las cometas son ejemplos de cuadriláteros ex-tangenciales. Los paralelogramos (que incluyen cuadrados , rombos y rectángulos ) pueden considerarse cuadriláteros ex-tangenciales con radio ex infinito ya que satisfacen las caracterizaciones de la siguiente sección, pero el excírculo no puede ser tangente a ambos pares de extensiones de lados opuestos (ya que son paralelos). [4] Los cuadriláteros convexos cuyas longitudes de lados forman una progresión aritmética son siempre ex-tangenciales ya que satisfacen la caracterización a continuación para longitudes de lados adyacentes.
Un cuadrilátero convexo es ex-tangencial si y solo si tiene seis bisectrices de ángulos concurrentes . Estas son las bisectrices de los ángulos internos en dos ángulos de vértice opuestos, las bisectrices de los ángulos externos en los otros dos ángulos de vértice y las bisectrices de los ángulos externos en los ángulos formados donde se intersecan las extensiones de los lados opuestos. [4]
A efectos de cálculo, una caracterización más útil es que un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a, b, c, d es ex-tangencial si y solo si la suma de dos lados adyacentes es igual a la suma de los otros dos lados. Esto es posible de dos maneras diferentes:
o
Esto fue demostrado por Jakob Steiner en 1846. [5] En el primer caso, el excírculo está fuera del mayor de los vértices A o C , mientras que en el segundo caso está fuera del mayor de los vértices B o D , siempre que los lados del cuadrilátero ABCD sean
Una forma de combinar estas caracterizaciones respecto a los lados es que los valores absolutos de las diferencias entre lados opuestos son iguales para los dos pares de lados opuestos, [4]
Estas ecuaciones están estrechamente relacionadas con el teorema de Pitot para cuadriláteros tangenciales , donde las sumas de los lados opuestos son iguales para los dos pares de lados opuestos.
Si los lados opuestos de un cuadrilátero convexo ABCD se intersecan en E y F , entonces
La implicación hacia la derecha recibe su nombre de LM Urquhart (1902-1966), aunque Augustus De Morgan la demostró mucho antes en 1841. Daniel Pedoe la denominó el teorema más elemental de la geometría euclidiana, ya que solo concierne a líneas rectas y distancias. [6] Mowaffac Hajja demostró que, de hecho, existe una equivalencia, [6] lo que hace que la igualdad hacia la derecha sea otra condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea ex-tangencial.
Algunas de las caracterizaciones métricas de los cuadriláteros tangenciales (la columna de la izquierda de la tabla) tienen contrapartes muy similares para los cuadriláteros ex-tangenciales (la columna del medio y la derecha de la tabla), como se puede ver en la tabla siguiente. [4] Por lo tanto, un cuadrilátero convexo tiene un incírculo o un excírculo fuera del vértice apropiado (dependiendo de la columna) si y solo si se cumple alguna de las cinco condiciones necesarias y suficientes a continuación.
Las notaciones en esta tabla son las siguientes: En un cuadrilátero convexo ABCD , las diagonales se intersecan en P .
Un cuadrilátero ex-tangencial ABCD con lados a, b, c, d tiene área
Tenga en cuenta que esta es la misma fórmula que la del área de un cuadrilátero tangencial y también se deriva de la fórmula de Bretschneider de la misma manera.
El radio ex tangencial de un cuadrilátero ex tangencial con lados consecutivos a, b, c, d se expresa mediante [4]
donde K es el área del cuadrilátero. Para un cuadrilátero ex-tangencial con lados dados, el exradio es máximo cuando el cuadrilátero también es cíclico (y por lo tanto un cuadrilátero ex-bicéntrico). Estas fórmulas explican por qué todos los paralelogramos tienen exradio infinito.
Si un cuadrilátero ex-tangencial también tiene un círculo circunscrito , se llama cuadrilátero ex-bicéntrico . [1] Entonces, como tiene dos ángulos suplementarios opuestos , su área está dada por
que es lo mismo que para un cuadrilátero bicéntrico .
Si x es la distancia entre el circuncentro y el excentro, entonces [1]
donde R, r son el radio circunscrito y el radio excéntrico respectivamente. Esta es la misma ecuación que el teorema de Fuss para un cuadrilátero bicéntrico. Pero al resolver para x , debemos elegir la otra raíz de la ecuación cuadrática para el cuadrilátero ex-bicéntrico en comparación con el bicéntrico. Por lo tanto, para el ex-bicéntrico tenemos [1]
De esta fórmula se deduce que
lo que significa que el círculo circunscrito y el círculo extraído nunca pueden intersectarse entre sí.
