Ángulo

Figura formada por dos rayos que se encuentran en un punto común.

Un ángulo verde formado por dos rayos rojos en el sistema de coordenadas cartesiano.

En geometría euclidiana , un ángulo es la figura formada por dos rayos , llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo. ^[1] Los ángulos formados por dos rayos también se conocen como ángulos planos ya que se encuentran en el plano que contiene los rayos. Los ángulos también se forman por la intersección de dos planos; estos se llaman ángulos diédricos . Dos curvas que se cruzan también pueden definir un ángulo, que es el ángulo de los rayos que son tangentes a las curvas respectivas en su punto de intersección.

La magnitud de un ángulo se llama medida angular o simplemente "ángulo". El ángulo de rotación es una medida definida convencionalmente como la relación entre la longitud de un arco circular y su radio , y puede ser un número negativo . En el caso de un ángulo geométrico, el arco está centrado en el vértice y delimitado por los lados. En el caso de una rotación , el arco está centrado en el centro de la rotación y delimitado por cualquier otro punto y su imagen por la rotación.

Historia y etimología

La palabra ángulo proviene del vocablo latino angulus , que significa "rincón". Las palabras afines incluyen el griego ἀγκύλος ( ankylοs ) que significa "torcido, curvado" y la palabra inglesa " tobillo ". Ambos están conectados con la raíz protoindoeuropea *ank- , que significa "doblar" o "arquearse". ^[2]

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos rectas que se encuentran y no son rectas entre sí. Según el metafísico neoplatónico Proclo , un ángulo debe ser una cualidad, una cantidad o una relación. El primer concepto, ángulo como cualidad, fue utilizado por Eudemo de Rodas , quien consideraba un ángulo como una desviación de una línea recta ; el segundo, ángulo como cualidad, de Carpo de Antioquía , quien lo consideraba como el intervalo o espacio entre las líneas que se cruzan; Euclides adoptó el tercero: el ángulo como relación. ^[3]

Identificando ángulos

En expresiones matemáticas , es común usar letras griegas ( α , β , γ , θ , φ ,...) como variables que denotan el tamaño de algún ángulo ^[4] (el símbolo π generalmente no se usa para este propósito para evitar confusión con la constante denotada por ese símbolo ). También se utilizan letras romanas minúsculas ( a ,  b ,  c , . . . ). En contextos donde esto no resulta confuso, un ángulo puede indicarse mediante la letra romana mayúscula que indica su vértice. Consulte las figuras de este artículo para ver ejemplos.

Los tres puntos definitorios también pueden identificar ángulos en figuras geométricas. Por ejemplo, el ángulo con el vértice A formado por los rayos AB y AC (es decir, las semilíneas desde el punto A hasta los puntos B y C) se denota ∠BAC o . Cuando no hay riesgo de confusión, a veces se puede hacer referencia al ángulo mediante un solo vértice (en este caso, "ángulo A"). ${\displaystyle {\widehat {\rm {BAC}}}}$

De otras maneras, un ángulo denotado como, digamos, ∠BAC podría referirse a cualquiera de cuatro ángulos: el ángulo en el sentido de las agujas del reloj de B a C alrededor de A, el ángulo en el sentido contrario de las agujas del reloj de B a C alrededor de A, el ángulo en el sentido de las agujas del reloj de C a B alrededor de A , o el ángulo en sentido antihorario de C a B alrededor de A, donde la dirección en la que se mide el ángulo determina su signo (ver § Ángulos con signo ). Sin embargo, en muchas situaciones geométricas, del contexto se desprende claramente que se entiende por ángulo positivo menor o igual a 180 grados, y en estos casos no surge ninguna ambigüedad. De lo contrario, para evitar ambigüedades, se pueden adoptar convenciones específicas de modo que, por ejemplo, ∠BAC siempre se refiera al ángulo en sentido antihorario (positivo) de B a C con respecto a A y ∠CAB al ángulo en sentido antihorario (positivo) de C a B con respecto a A.

tipos de ángulos

Ángulos individuales

Existe una terminología común para los ángulos, cuya medida siempre es no negativa (ver § Ángulos con signo ):

• Un ángulo igual a 0° o no girado se llama ángulo cero. ^[5]
• Un ángulo menor que un ángulo recto (menos de 90°) se llama ángulo agudo ^[6] ("agudo" significa " agudo ").
• Un ángulo igual a1/4 girar (90° oπ/2radianes) se llama ángulo recto . Se dice que dos rectas que forman un ángulo recto son normales , ortogonales o perpendiculares . ^[7]
• Un ángulo mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano (entre 90° y 180°) se llama ángulo obtuso ^[6] ("obtuso" significa "roma").
• Un ángulo igual a1/2 Un giro (180° o π radianes) se llama ángulo llano . ^[5]
• Un ángulo mayor que un ángulo llano pero menor de 1 vuelta (entre 180° y 360°) se llama ángulo reflejo .
• Un ángulo igual a 1 vuelta (360° o 2 π radianes) se llama ángulo completo , ángulo completo , ángulo redondo o perígono .
• Un ángulo que no es múltiplo de un ángulo recto se llama ángulo oblicuo .

Los nombres, intervalos y unidades de medida se muestran en la siguiente tabla:

verticales y.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}pares de ángulos adyacentes

Los ángulos A y B son un par de ángulos verticales; Los ángulos C y D son un par de ángulos verticales. Aquí se utilizan marcas de sombreado para mostrar la igualdad de ángulos.

Cuando dos rectas se cortan en un punto, se forman cuatro ángulos. Por pares, estos ángulos se nombran según su ubicación entre sí.

• Un par de ángulos opuestos entre sí, formados por dos líneas rectas que se cruzan y que forman una forma similar a una "X", se denominan ángulos verticales o ángulos opuestos o ángulos verticalmente opuestos . Se abrevian como vert. opp. ∠s . ^[8]

  La igualdad de ángulos verticalmente opuestos se llama teorema del ángulo vertical . Eudemo de Rodas atribuyó la prueba a Tales de Mileto . ^{[9] [10]} La proposición demostró que dado que ambos ángulos verticales de un par son suplementarios a ambos ángulos adyacentes, los ángulos verticales tienen la misma medida. Según una nota histórica, ^[10] cuando Tales visitó Egipto, observó que cada vez que los egipcios dibujaban dos líneas que se cruzaban, medían los ángulos verticales para asegurarse de que fueran iguales. Tales concluyó que se podría demostrar que todos los ángulos verticales son iguales si se aceptaran algunas nociones generales como:

  • Todos los ángulos rectos son iguales.
  • Los iguales sumados a iguales son iguales.
  • Los iguales restados de iguales son iguales.

  Cuando dos ángulos adyacentes forman una línea recta, son suplementarios. Por lo tanto, si asumimos que la medida del ángulo A es igual a x , la medida del ángulo C sería 180° − x . De manera similar, la medida del ángulo D sería 180° − x . Tanto el ángulo C como el ángulo D tienen medidas iguales a 180° − x y son congruentes. Dado que el ángulo B es complementario de los ángulos C y D , cualquiera de estas medidas de ángulos puede usarse para determinar la medida del ángulo B. Usando la medida del ángulo C o del ángulo D , encontramos que la medida del ángulo B es 180° − (180° − x ) = 180° − 180° + x = x . Por lo tanto, tanto el ángulo A como el ángulo B tienen medidas iguales a x y son iguales en medida.

  

  Los ángulos A y B son adyacentes.

• Ángulos adyacentes , a menudo abreviados como adj. ∠s , son ángulos que comparten un vértice y una arista comunes pero no comparten ningún punto interior. En otras palabras, son ángulos uno al lado del otro o adyacentes, que comparten un "brazo". Los ángulos adyacentes que suman un ángulo recto, un ángulo llano o un ángulo completo son especiales y se denominan respectivamente ángulos complementarios , suplementarios y suplementarios (ver § Combinación de pares de ángulos a continuación).

Una transversal es una línea que intersecta un par de líneas (a menudo paralelas) y está asociada con ángulos exteriores , ángulos interiores , ángulos exteriores alternos , ángulos interiores alternos , ángulos correspondientes y ángulos interiores consecutivos . ^[11]

Combinando pares de ángulos

El postulado de la suma de ángulos establece que si B está en el interior del ángulo AOC, entonces

$${\displaystyle m\angle \mathrm {AOC} =m\angle \mathrm {AOB} +m\angle \mathrm {BOC} }$$

Es decir, la medida del ángulo AOC es la suma de la medida del ángulo AOB y la medida del ángulo BOC.

Tres pares de ángulos especiales implican la suma de ángulos:

Los ángulos complementarios a y b ( b es el complemento de a y a es el complemento de b ).

• Los ángulos complementarios son pares de ángulos cuyas medidas suman un ángulo recto (1/4giro, 90°, oπ/2radianes). ^[12] Si los dos ángulos complementarios son adyacentes, sus lados no compartidos forman un ángulo recto. En geometría euclidiana, los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados y el ángulo recto representa 90 grados.

  El adjetivo complementario es del latín complementum , asociado al verbo complere , "llenar". Un ángulo agudo se "rellena" con su complemento para formar un ángulo recto.

  La diferencia entre un ángulo y un ángulo recto se denomina complemento del ángulo. ^[13]

  Si los ángulos A y B son complementarios, se cumplen las siguientes relaciones:

  $${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}}$$

  (La tangente de un ángulo es igual a la cotangente de su complemento y su secante es igual a la cosecante de su complemento).

  El prefijo " co- " en los nombres de algunas razones trigonométricas se refiere a la palabra "complementaria".

  

  Los ángulos a y b son ángulos suplementarios .

• Dos ángulos que suman un ángulo llano (1/2giro, 180° o π radianes) se llaman ángulos suplementarios . ^[14]

  Si los dos ángulos suplementarios son adyacentes (es decir, tienen un vértice común y comparten solo un lado), sus lados no compartidos forman una línea recta . Estos ángulos se denominan par de ángulos lineales . ^[15] Sin embargo, los ángulos suplementarios no tienen que estar en la misma recta y pueden estar separados en el espacio. Por ejemplo, los ángulos adyacentes de un paralelogramo son suplementarios y los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico (aquel cuyos vértices caen todos en un solo círculo) son suplementarios.

  Si un punto P es exterior a un círculo con centro O, y si las rectas tangentes de P tocan el círculo en los puntos T y Q, entonces ∠TPQ y ∠TOQ son suplementarios.

  Los senos de los ángulos suplementarios son iguales. Sus cosenos y tangentes (a menos que no estén definidos) son iguales en magnitud pero tienen signos opuestos.

  En geometría euclidiana, cualquier suma de dos ángulos en un triángulo es suplementaria al tercero porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es un ángulo llano.

  

  Los ángulos AOB y COD son conjugados ya que forman un ángulo completo. Considerando magnitudes, 45° + 315° = 360°.

• Dos ángulos que suman un ángulo completo (1 vuelta, 360° o 2 π radianes) se llaman ángulos ejemplares o ángulos conjugados . ^[dieciséis]

  La diferencia entre un ángulo y un ángulo completo se denomina explemento del ángulo o conjugado de un ángulo.

Ángulos relacionados con polígonos

Ángulos internos y externos.

• Un ángulo que forma parte de un polígono simple se llama ángulo interior si se encuentra en el interior de ese polígono simple. Un polígono cóncavo simple tiene al menos un ángulo interior, es decir, un ángulo reflejo.
  En geometría euclidiana , las medidas de los ángulos interiores de un triángulo suman π radianes, 180°, o1/2doblar; las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo simple suman 2 π radianes, 360° o 1 vuelta. En general, las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo simple con n lados suman ( n  − 2) π   radianes, o ( n  − 2)180 grados, ( n  − 2)2 ángulos rectos, o ( n  − 2)1/2 doblar.
• El suplemento de un ángulo interior se llama ángulo exterior ; es decir, un ángulo interior y un ángulo exterior forman un par de ángulos lineales. Hay dos ángulos exteriores en cada vértice del polígono, cada uno determinado extendiendo uno de los dos lados del polígono que se encuentran en el vértice; estos dos ángulos son verticales y por tanto son iguales. Un ángulo exterior mide la cantidad de rotación que se debe realizar en un vértice para trazar el polígono. ^[17] Si el ángulo interior correspondiente es un ángulo reflejo, el ángulo exterior debe considerarse negativo . Incluso en un polígono no simple, es posible definir el ángulo exterior. Aún así, habrá que elegir una orientación del plano (o superficie ) para decidir el signo de la medida del ángulo exterior.
  En geometría euclidiana, la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo simple, si se supone solo uno de los dos ángulos exteriores en cada vértice, será una vuelta completa (360°). El ángulo exterior aquí podría denominarse ángulo exterior suplementario . Los ángulos exteriores se utilizan comúnmente en los programas Logo Turtle al dibujar polígonos regulares.
• En un triángulo , las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz del otro ángulo interior son concurrentes (se encuentran en un solo punto). ^{[18] : 149}
• En un triángulo, tres puntos de intersección, cada uno de una bisectriz de un ángulo externo con el lado extendido opuesto , son colineales . ^{[18] : pág. 149}
• En un triángulo, tres puntos de intersección, dos entre una bisectriz de un ángulo interior y el lado opuesto, y el tercero entre la otra bisectriz de un ángulo exterior y el lado opuesto extendido, son colineales. ^{[18] : 149}
• Algunos autores utilizan el nombre ángulo exterior de un polígono simple para referirse al ángulo exterior complementario ( ¡no suplemento!) del ángulo interior. ^[19] Esto entra en conflicto con el uso anterior.

Ángulos relacionados con el plano

• El ángulo entre dos planos (como por ejemplo dos caras adyacentes de un poliedro ) se llama ángulo diédrico . ^[13] Puede definirse como el ángulo agudo entre dos líneas normales a los planos.
• El ángulo entre un plano y una línea recta que se cruza es igual a noventa grados menos el ángulo entre la línea que se cruza y la línea que pasa por el punto de intersección y es normal al plano.

Ángulos de medición

El tamaño de un ángulo geométrico generalmente se caracteriza por la magnitud de la rotación más pequeña que mapea uno de los rayos en el otro. Se dice que los ángulos del mismo tamaño son igual congruentes o iguales en medida .

En algunos contextos, como identificar un punto en un círculo o describir la orientación de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo exacto de una vuelta completa son efectivamente equivalentes. En otros contextos, como identificar un punto en una curva espiral o describir la rotación acumulativa de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo distinto de cero de una vuelta completa no son equivalentes.

La medida del ángulo θ ess/rradianes .

Para medir un ángulo θ , se dibuja un arco circular centrado en el vértice del ángulo, por ejemplo, con un compás . La relación entre la longitud s del arco y el radio r del círculo es el número de radianes en el ángulo: ^[20]

$${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} .}$$

SIunidad adimensional

El ángulo expresado por otra unidad angular se puede obtener multiplicando el ángulo por una constante de conversión adecuada de la formak/2 π, donde k es la medida de un giro completo expresada en la unidad elegida (por ejemplo, k = 360° para grados o 400 grad para gradianes ):

$${\displaystyle \theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.}$$

El valor de θ así definido es independiente del tamaño del círculo: si se cambia la longitud del radio, entonces la longitud del arco cambia en la misma proporción, por lo que la relación s / r no se modifica. ^{[nota 1]}

Unidades

Definición de 1 radian

A lo largo de la historia, los ángulos se han medido en diversas unidades . Éstas se conocen como unidades angulares , siendo las unidades más contemporáneas el grado (°), el radián (rad) y el gradian (grad), aunque a lo largo de la historia se han utilizado muchas otras . ^[22] La mayoría de las unidades de medida angular se definen de manera que una vuelta (es decir, el ángulo subtendido por la circunferencia de un círculo en su centro) es igual a n unidades, para algún número entero n . Dos excepciones son el radian (y sus submúltiplos decimales) y la parte del diámetro.

En el Sistema Internacional de Cantidades , un ángulo se define como una cantidad adimensional y, en particular, la unidad en radianes es adimensional. Esta convención afecta cómo se tratan los ángulos en el análisis dimensional .

La siguiente tabla enumera algunas unidades utilizadas para representar ángulos.

Análisis dimensional

El ángulo plano se puede definir como θ = s / r , donde θ es el ángulo subtendido en radianes, s es la longitud del arco y r es el radio. Un radian corresponde al ángulo para el cual s = r , por lo tanto 1 radian = 1 m/m . ^[30] Sin embargo, rad solo debe usarse para expresar ángulos, no para expresar proporciones de longitudes en general. ^[31] Un cálculo similar utilizando el área de un sector circular θ = 2 A / r ² da 1 radian como 1 m ² /m ² . ^[32] El hecho clave es que el radian es una unidad adimensional igual a 1 . En SI 2019, el radian se define en consecuencia como 1 rad = 1 . ^[33] Es una práctica establecida desde hace mucho tiempo en matemáticas y en todas las áreas de la ciencia hacer uso de rad = 1 . ^{[34] [35]}

Giacomo Prando escribe que "el estado actual de las cosas conduce inevitablemente a apariciones y desapariciones fantasmales del radián en el análisis dimensional de ecuaciones físicas". ^[36] Por ejemplo, un objeto que cuelga de una cuerda de una polea subirá o bajará en y = rθ centímetros, donde r es el radio de la polea en centímetros y θ es el ángulo que gira la polea en radianes. Al multiplicar r por θ la unidad de radianes desaparece del resultado. De manera similar, en la fórmula para la velocidad angular de una rueda que rueda, ω = v / r , los radianes aparecen en las unidades de ω pero no en el lado derecho. ^[37] Anthony French llama a este fenómeno "un problema perenne en la enseñanza de la mecánica". ^[38] Oberhofer dice que el consejo típico de ignorar radianes durante el análisis dimensional y agregar o eliminar radianes en unidades de acuerdo con la convención y el conocimiento contextual es "pedagógicamente insatisfactorio". ^[39]

En 1993, el Comité Métrico de la Asociación Estadounidense de Profesores de Física especificó que el radian debería aparecer explícitamente en cantidades sólo cuando se obtendrían diferentes valores numéricos cuando se usaran otras medidas de ángulos, como en las cantidades de medida de ángulo (rad), velocidad angular (rad /s), aceleración angular (rad/s ² ) y rigidez torsional (N⋅m/rad), y no en las cantidades de par (N⋅m) y momento angular (kg⋅m ² /s). ^[40]

Al menos una docena de científicos entre 1936 y 2022 han hecho propuestas para tratar el radian como una unidad de medida base para una cantidad (y dimensión) base de "ángulo plano". ^{[41] [42] [43]} La revisión de propuestas de Quincey describe dos clases de propuestas. La primera opción cambia la unidad de un radio a metros por radianes, pero esto es incompatible con el análisis dimensional para el área de un círculo , π r ² . La otra opción es introducir una constante dimensional. Según Quincey, este enfoque es "lógicamente riguroso" en comparación con el SI, pero requiere "la modificación de muchas ecuaciones matemáticas y físicas familiares". ^[44] Una constante dimensional para el ángulo es "bastante extraña" y la dificultad de modificar las ecuaciones para agregar la constante dimensional probablemente impida su uso generalizado. ^[43]

En particular, Quincey identifica la propuesta de Torrens de introducir una constante η igual a 1 radian inverso (1 rad ⁻¹ ) de una manera similar a la introducción de la constante ε ₀ . ^{[44] [a]} Con este cambio la fórmula para el ángulo subtendido en el centro de un círculo, s = rθ , se modifica para convertirse en s = ηrθ , y la serie de Taylor para el seno de un ángulo θ se convierte en: ^{[43] [45]}

$${\displaystyle \operatorname {Sin} \theta =\sin _{\text{rad}}x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$

dónde . La función en mayúscula Sin es la función "completa" que toma un argumento con una dimensión de ángulo y es independiente de las unidades expresadas, ^[45] mientras que sin _rad es la función tradicional en números puros que asume que su argumento está en radianes. ^[46] puede indicarse si está claro que se refiere a la forma completa. ^{[43] [47]} ${\displaystyle x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sin} }$ ${\displaystyle \sin }$

El SI actual puede considerarse en relación con este marco como un sistema de unidades naturales donde se supone que se cumple la ecuación η = 1 , o de manera similar, 1 rad = 1 . Esta convención de radianes permite la omisión de η en fórmulas matemáticas. ^[48]

Definir radianes como unidad base puede resultar útil para el software, donde la desventaja de ecuaciones más largas es mínima. ^[49] Por ejemplo, la biblioteca de unidades Boost define unidades de ángulos con una plane_angledimensión, ^[50] y el sistema de unidades de Mathematica considera de manera similar que los ángulos tienen una dimensión de ángulo. ^{[51] [52]}

Ángulos firmados

Al medir desde el eje x , los ángulos en el círculo unitario cuentan como positivos en el sentido contrario a las agujas del reloj y negativos en el sentido de las agujas del reloj .

Con frecuencia resulta útil imponer una convención que permita que los valores angulares positivos y negativos representen orientaciones y/o rotaciones en direcciones o "sentido" opuestos con respecto a alguna referencia.

En un sistema de coordenadas cartesiano bidimensional , un ángulo suele estar definido por sus dos lados, con su vértice en el origen. El lado inicial está en el eje x positivo , mientras que el otro lado o lado terminal está definido por la medida desde el lado inicial en radianes, grados o vueltas, donde los ángulos positivos representan rotaciones hacia el eje y positivo y los ángulos negativos representan rotaciones hacia el eje y negativo . Cuando las coordenadas cartesianas están representadas por la posición estándar , definida por el eje x hacia la derecha y el eje y hacia arriba, las rotaciones positivas son en sentido contrario a las agujas del reloj y los ciclos negativos son en el sentido de las agujas del reloj .

En muchos contextos, un ángulo de − θ es efectivamente equivalente a un ángulo de "una vuelta completa menos θ ". Por ejemplo, una orientación representada como −45° es efectivamente igual a una orientación definida como 360° − 45° o 315°. Aunque la posición final es la misma, no es lo mismo una rotación (movimiento) físico de −45° que una rotación de 315° (por ejemplo, la rotación de una persona sosteniendo una escoba apoyada en un suelo polvoriento dejaría huellas visualmente diferentes de zonas barridas en el suelo).

En geometría tridimensional, "en el sentido de las agujas del reloj" y "en el sentido contrario a las agujas del reloj" no tienen un significado absoluto, por lo que la dirección de los ángulos positivos y negativos debe definirse en términos de una orientación , que generalmente está determinada por un vector normal que pasa por el vértice del ángulo y es perpendicular. al plano en el que se encuentran los rayos del ángulo.

En navegación , los rumbos o azimut se miden con respecto al norte. Por convención, visto desde arriba, los ángulos de orientación son positivos en el sentido de las agujas del reloj, por lo que una orientación de 45° corresponde a una orientación noreste. Los rumbos negativos no se utilizan en la navegación, por lo que una orientación noroeste corresponde a un rumbo de 315°.

ángulos equivalentes

• Se dice que los ángulos que tienen la misma medida (es decir, la misma magnitud) son iguales o congruentes . Un ángulo se define por su medida y no depende de las longitudes de los lados del ángulo (por ejemplo, todos los ángulos rectos tienen la misma medida).
• Dos ángulos que comparten lados terminales, pero difieren en tamaño en un múltiplo entero de una vuelta, se llaman ángulos coterminales .
• El ángulo de referencia (a veces llamado ángulo relacionado ) para cualquier ángulo θ en posición estándar es el ángulo agudo positivo entre el lado terminal de θ y el eje x (positivo o negativo). ^{[53] [54]} Procedimentalmente, la magnitud del ángulo de referencia para un ángulo dado se puede determinar tomando el módulo de magnitud del ángulo 1/2giro, 180°, o π radianes, luego deteniéndose si el ángulo es agudo, en caso contrario tomando el ángulo suplementario, 180° menos la magnitud reducida. Por ejemplo, un ángulo de 30 grados ya es un ángulo de referencia y un ángulo de 150 grados también tiene un ángulo de referencia de 30 grados (180° − 150°). Los ángulos de 210° y 510° corresponden también a un ángulo de referencia de 30° (210° mod 180° = 30°, 510° mod 180° = 150° cuyo ángulo suplementario es 30°).

Cantidades relacionadas

Para una unidad angular, es definitorio que se cumpla el postulado de la suma de ángulos . Algunas cantidades relacionadas con ángulos donde el postulado de la suma de ángulos no se cumple incluyen:

• La pendiente o gradiente es igual a la tangente del ángulo; un gradiente a menudo se expresa como un porcentaje. Para valores muy pequeños (menos del 5%), la pendiente de una línea es aproximadamente la medida en radianes de su ángulo con la dirección horizontal.
• La extensión entre dos líneas se define en geometría racional como el cuadrado del seno del ángulo entre las líneas. Como el seno de un ángulo y el seno de su ángulo suplementario son iguales, cualquier ángulo de rotación que mapee una de las líneas con la otra conduce al mismo valor para la dispersión entre las líneas.
• Aunque rara vez se hace, se pueden informar los resultados directos de funciones trigonométricas , como el seno del ángulo.

Ángulos entre curvas

El ángulo entre las dos curvas en P se define como el ángulo entre las tangentes A y B en P.

El ángulo entre una línea y una curva (ángulo mixto) o entre dos curvas que se cruzan (ángulo curvilíneo) se define como el ángulo entre las tangentes en el punto de intersección. Se han dado varios nombres (que ahora se usan raramente, o nunca) a casos particulares: anficírtico (del gr. ἀμφί , en ambos lados, κυρτός, convexo) o cisoidal (del gr. κισσός, hiedra), biconvexo; xistroidal o sistroide (del gr. ξυστρίς, herramienta para raspar), cóncavo-convexo; anficoélico (del gr. κοίλη, un hueco) o angulus lunularis , bicóncavo. ^[55]

Ángulos de bisección y trisección

Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo bisectar un ángulo (dividirlo en dos ángulos de igual medida) usando solo un compás y una regla, pero solo podían trisecar ciertos ángulos. En 1837, Pierre Wantzel demostró que esta construcción no se podía realizar en la mayoría de los ángulos.

Producto escalar y generalizaciones

En el espacio euclidiano , el ángulo θ entre dos vectores euclidianos u y v está relacionado con su producto escalar y sus longitudes mediante la fórmula

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

Esta fórmula proporciona un método sencillo para encontrar el ángulo entre dos planos (o superficies curvas) a partir de sus vectores normales y entre líneas oblicuas a partir de sus ecuaciones vectoriales.

Producto Interno

Para definir ángulos en un espacio de producto interno real abstracto , reemplazamos el producto escalar euclidiano ( · ) por el producto interno , es decir ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

En un espacio producto interno complejo , la expresión del coseno anterior puede dar valores no reales, por lo que se reemplaza con

$${\displaystyle \operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

o, más comúnmente, usando el valor absoluto, con

$${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

La última definición ignora la dirección de los vectores. Por tanto, describe el ángulo entre subespacios unidimensionales y abarcados por los vectores y correspondientemente. ${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Ángulos entre subespacios

La definición del ángulo entre subespacios unidimensionales y dada por ${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$

$${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|}$$

en un espacio de Hilbert se puede extender a subespacios de dimensiones finitas. Dados dos subespacios , con , esto lleva a una definición de ángulos llamados ángulos canónicos o principales entre subespacios. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l}$ ${\displaystyle k}$

Ángulos en geometría riemanniana

En geometría de Riemann , el tensor métrico se utiliza para definir el ángulo entre dos tangentes . Donde U y V son vectores tangentes y g _ij son los componentes del tensor métrico G ,

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}$$

ángulo hiperbólico

Un ángulo hiperbólico es un argumento de una función hiperbólica al igual que el ángulo circular es el argumento de una función circular . La comparación se puede visualizar como el tamaño de las aberturas de un sector hiperbólico y un sector circular, ya que las áreas de estos sectores corresponden en cada caso a las magnitudes de los ángulos. A diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico no tiene límites. Cuando las funciones circular e hiperbólica se ven como series infinitas en su argumento de ángulo, las circulares son simplemente formas de series alternas de las funciones hiperbólicas. Este tejido de los dos tipos de ángulo y función fue explicado por Leonhard Euler en Introducción al análisis del infinito .

Ángulos en geografía y astronomía.

En geografía , la ubicación de cualquier punto de la Tierra se puede identificar mediante un sistema de coordenadas geográficas . Este sistema especifica la latitud y longitud de cualquier ubicación en términos de ángulos subtendidos en el centro de la Tierra, utilizando el ecuador y (normalmente) el meridiano de Greenwich como referencia.

En astronomía , un punto determinado de la esfera celeste (es decir, la posición aparente de un objeto astronómico) puede identificarse utilizando cualquiera de varios sistemas de coordenadas astronómicas , donde las referencias varían según el sistema particular. Los astrónomos miden la separación angular de dos estrellas imaginando dos líneas que pasan por el centro de la Tierra , cada una de las cuales cruza una de las estrellas. Se puede medir el ángulo entre esas líneas y la separación angular entre las dos estrellas.

Tanto en geografía como en astronomía, una dirección de observación se puede especificar en términos de un ángulo vertical como la altitud / elevación con respecto al horizonte así como el acimut con respecto al norte .

Los astrónomos también miden el tamaño aparente de los objetos como un diámetro angular . Por ejemplo, la luna llena tiene un diámetro angular de aproximadamente 0,5° vista desde la Tierra. Se podría decir: "El diámetro de la Luna subtiende un ángulo de medio grado". La fórmula de ángulo pequeño puede convertir dicha medida angular en una relación distancia/tamaño.

Otras aproximaciones astronómicas incluyen:

• 0,5° es el diámetro aproximado del Sol y de la Luna vistos desde la Tierra.
• 1° es el ancho aproximado del dedo meñique con el brazo extendido.
• 10° es el ancho aproximado de un puño cerrado con el brazo extendido.
• 20° es el ancho aproximado de un palmo con el brazo extendido.

Estas medidas dependen del sujeto individual, y lo anterior debe tratarse sólo como una regla general aproximada.

En astronomía, la ascensión recta y la declinación suelen medirse en unidades angulares, expresadas en términos de tiempo, basándose en un día de 24 horas.

Ver también

• Instrumento de medición de ángulos
• Ángulos entre pisos
• Estadística angular ( media , desviación estándar )
• Bisectriz
• Aceleración angular
• Diámetro angular
• Velocidad angular
• Argumento (análisis complejo)
• Aspecto astrológico
• ángulo central
• Problema del ángulo del reloj
• Grados decimales
• Ángulo diedro
• Teorema del ángulo exterior
• ángulo dorado
• Gran distancia circular
• Ángulo de la bocina
• ángulo inscrito
• ángulo irracional
• Fase (ondas)
• Transportador
• Ángulo sólido
• ángulo esférico
• ángulo trascendente
• Trisección
• ángulo cenital

Notas

1. Este enfoque requiere, sin embargo, una prueba adicional de que la medida del ángulo no cambia al cambiar el radio r , además de la cuestión de las "unidades de medida elegidas". Un método más sencillo es medir el ángulo por la longitud del arco de círculo unitario correspondiente. Aquí se puede elegir que "unidad" sea adimensional en el sentido de que es el número real 1 asociado con el segmento unitario en la línea real. Véase, por ejemplo, Radoslav M. Dimitrić. ^[21]

1. Otras propuestas incluyen la abreviatura "rad" (Brinsmade 1936), la notación (Romain 1962) y las constantes ם (Brownstein 1997), ◁ (Lévy-Leblond 1998), k (Foster 2010), θ _C (Quincey 2021) , y (Mohr et al.2022). ${\displaystyle \langle \theta \rangle }$ ${\displaystyle {\cal {C}}={\frac {2\pi }{\Theta }}}$

Referencias

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 Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público :  Chisholm, Hugh , ed. (1911), "Ángulo", Encyclopædia Britannica , vol. 2 (11ª ed.), Cambridge University Press, pág. 14

enlaces externos

• "Ángulo"  , Encyclopædia Britannica , vol. 2 (9ª ed.), 1878, págs. 29-30