Curva

Idealización matemática de la huella dejada por un punto en movimiento.

Una parábola , una de las curvas más simples, después de líneas (rectas)

En matemáticas , una curva (también llamada línea curva en textos antiguos) es un objeto similar a una línea , pero que no tiene por qué ser recto .

Intuitivamente, se puede pensar en una curva como la traza dejada por un punto en movimiento . Esta es la definición que apareció hace más de 2000 años en los Elementos de Euclides : "La línea [curva] ^[a] es […] la primera especie de cantidad, que tiene una sola dimensión, a saber, la longitud, sin anchura ni profundidad, y no es otra cosa que el fluir o correr del punto que […] dejará de su movimiento imaginario algún vestigio de longitud, exento de anchura alguna.” ^[1]

Esta definición de curva se ha formalizado en las matemáticas modernas como: Una curva es la imagen de un intervalo a un espacio topológico mediante una función continua . En algunos contextos, la función que define la curva se llama parametrización y la curva es una curva paramétrica . En este artículo, estas curvas a veces se denominan curvas topológicas para distinguirlas de curvas más restringidas, como las curvas diferenciables . Esta definición abarca la mayoría de las curvas que se estudian en matemáticas; excepciones notables son las curvas de nivel (que son uniones de curvas y puntos aislados) y las curvas algebraicas (ver más abajo). Las curvas de nivel y las curvas algebraicas a veces se denominan curvas implícitas , ya que generalmente se definen mediante ecuaciones implícitas .

Sin embargo, la clase de curvas topológicas es muy amplia y contiene algunas curvas que no se ven como cabría esperar de una curva, o incluso no se pueden dibujar. Este es el caso de las curvas que llenan el espacio y las curvas fractales . Para garantizar una mayor regularidad, a menudo se supone que la función que define una curva es diferenciable , y luego se dice que la curva es una curva diferenciable .

Una curva algebraica plana es el conjunto cero de un polinomio en dos indeterminados . De manera más general, una curva algebraica es el conjunto cero de un conjunto finito de polinomios, que satisface la condición adicional de ser una variedad algebraica de dimensión uno. Si los coeficientes de los polinomios pertenecen a un cuerpo k , se dice que la curva está definida sobre k . En el caso común de una curva algebraica real , donde k es el cuerpo de los números reales , una curva algebraica es una unión finita de curvas topológicas. Cuando se consideran ceros complejos , se tiene una curva algebraica compleja , que, desde el punto de vista topológico , no es una curva, sino una superficie , y a menudo se la denomina superficie de Riemann . Aunque no son curvas en el sentido común, las curvas algebraicas definidas en otros campos han sido ampliamente estudiadas. En particular, las curvas algebraicas sobre un campo finito se utilizan ampliamente en la criptografía moderna .

Historia

El arte megalítico de Newgrange muestra un temprano interés por las curvas

El interés por las curvas comenzó mucho antes de que fueran objeto de estudio matemático. Esto se puede comprobar en numerosos ejemplos de su uso decorativo en el arte y en objetos cotidianos que se remontan a tiempos prehistóricos. ^[2] Las curvas, o al menos sus representaciones gráficas, son sencillas de crear, por ejemplo con un palo en la arena de una playa.

Históricamente, el término línea se utilizó en lugar del término más moderno curva . De ahí que se utilizaran los términos línea recta y línea recta para distinguir lo que hoy se llaman líneas de las líneas curvas. Por ejemplo, en el Libro I de los Elementos de Euclides , una línea se define como una "longitud sin anchura" (Def. 2), mientras que una línea recta se define como "una línea que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma" (Def. 4). . La idea de Euclides de línea quizás quede aclarada por la afirmación "Los extremos de una línea son puntos" (Def. 3). ^[3] Los comentaristas posteriores clasificaron además las líneas según varios esquemas. Por ejemplo: ^[4]

• Líneas compuestas (líneas que forman un ángulo)
• Líneas incompuestas
  • Determinada (líneas que no se extienden indefinidamente, como el círculo)
  • Indeterminadas (líneas que se extienden indefinidamente, como la recta y la parábola)

Las curvas creadas al cortar un cono ( secciones cónicas ) estaban entre las curvas estudiadas en las matemáticas griegas antiguas .

Los geómetras griegos habían estudiado muchos otros tipos de curvas. Una de las razones fue su interés en resolver problemas geométricos que no podían resolverse utilizando la construcción estándar con regla y compás . Estas curvas incluyen:

• Las secciones cónicas, estudiadas en profundidad por Apolonio de Perge
• La cisoide de Diocles , estudiada por Diocles y utilizada como método para duplicar el cubo . ^[5]
• La concoide de Nicomedes , estudiada por Nicomedes como método tanto para duplicar el cubo como para trisecar un ángulo . ^[6]
• La espiral de Arquímedes , estudiada por Arquímedes como método para trisecar un ángulo y cuadrar el círculo . ^[7]
• Las secciones espíricas , secciones de toros estudiadas por Perseo como secciones de conos habían sido estudiadas por Apolonio.

La geometría analítica permitió definir curvas, como el Folium de Descartes , mediante ecuaciones en lugar de construcciones geométricas.

Un avance fundamental en la teoría de las curvas fue la introducción de la geometría analítica por parte de René Descartes en el siglo XVII. Esto permitió describir una curva utilizando una ecuación en lugar de una construcción geométrica elaborada. Esto no sólo permitió definir y estudiar nuevas curvas, sino que también permitió hacer una distinción formal entre curvas algebraicas que se pueden definir mediante ecuaciones polinómicas y curvas trascendentales que no. Anteriormente, las curvas se habían descrito como "geométricas" o "mecánicas" según cómo se generaban o supuestamente se podían generar. ^[2]

Kepler aplicó las secciones cónicas en astronomía . Newton también trabajó en un ejemplo temprano del cálculo de variaciones . Las soluciones a problemas variacionales, como las cuestiones de la braquistocrona y la tautocrona , introdujeron las propiedades de las curvas de nuevas maneras (en este caso, la cicloide ). La catenaria recibe su nombre como la solución al problema de una cadena colgante, el tipo de cuestión que se volvió accesible de forma rutinaria mediante el cálculo diferencial .

En el siglo XVIII se iniciaron los inicios de la teoría de las curvas algebraicas planas, en general. Newton había estudiado las curvas cúbicas , en la descripción general de los puntos reales en "óvalos". El enunciado del teorema de Bézout mostró una serie de aspectos que no eran directamente accesibles a la geometría de la época, relacionados con puntos singulares y soluciones complejas.

Desde el siglo XIX, la teoría de curvas se considera el caso especial de dimensión uno de la teoría de variedades y variedades algebraicas . Sin embargo, muchas preguntas siguen siendo específicas de las curvas, como las curvas que llenan el espacio , el teorema de la curva de Jordan y el decimosexto problema de Hilbert .

Curva topológica

Una curva topológica puede especificarse mediante una función continua desde un intervalo I de números reales en un espacio topológico X. Propiamente hablando, la curva es la imagen de Sin embargo, en algunos contextos, en sí misma se llama curva, especialmente cuando la imagen no se parece a lo que generalmente se llama curva y no la caracteriza suficientemente. ${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma .}$

Por ejemplo, la imagen de la curva de Peano o, más generalmente, una curva que llena el espacio llena completamente un cuadrado y, por lo tanto, no proporciona ninguna información sobre cómo se define. ${\displaystyle \gamma }$

Una curva es cerrada ^[b] o es un bucle si y . Una curva cerrada es, por tanto, la imagen de una aplicación continua de un círculo . Una curva no cerrada también puede denominarse curva abierta . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}$

Si el dominio de una curva topológica es un intervalo cerrado y acotado , la curva se llama trayectoria , también conocida como arco topológico (o simplemente ${\displaystyle I=[a,b]}$arco ).

Una curva es simple si es la imagen de un intervalo o de una circunferencia mediante una función inyectiva continua. En otras palabras, si una curva está definida por una función continua con un intervalo como dominio, la curva es simple si y sólo si dos puntos diferentes del intervalo tienen imágenes diferentes, excepto, posiblemente, si los puntos son los puntos finales de el intervalo. Intuitivamente, una curva simple es una curva que "no se cruza a sí misma y no le faltan puntos" (una curva continua que no se cruza a sí misma). ^[8] ${\displaystyle \gamma }$

Una curva plana es una curva para la cual es el plano euclidiano (estos son los ejemplos que encontramos por primera vez) o en algunos casos el plano proyectivo . ${\displaystyle X}$Una curva espacial es una curva que es al menos tridimensional; una curva sesgada ${\displaystyle X}$ es una curva espacial que no se encuentra en ningún plano. Estas definiciones de curvas planas, espaciales y sesgadas se aplican también a curvas algebraicas reales , aunque la definición anterior de curva no se aplica (una curva algebraica real puede estar desconectada ).

Una curva de dragón con un área positiva.

Una curva plana simple cerrada también se llama curva de Jordan . También se define como un bucle continuo que no se interseca en el plano. ^[9] El teorema de la curva de Jordan establece que el conjunto complementario en un plano de una curva de Jordan consta de dos componentes conectados (es decir, la curva divide el plano en dos regiones que no se cruzan y ambas están conectadas). La región acotada dentro de una curva de Jordan se conoce como dominio de Jordan .

La definición de curva incluye figuras que difícilmente pueden llamarse curvas en el uso común. Por ejemplo, la imagen de una curva puede cubrir un cuadrado en el plano ( curva que llena el espacio ) y una curva simple puede tener un área positiva. ^[10] Las curvas fractales pueden tener propiedades que resultan extrañas para el sentido común. Por ejemplo, una curva fractal puede tener una dimensión de Hausdorff mayor que uno (ver copo de nieve de Koch ) e incluso un área positiva. Un ejemplo es la curva del dragón , que tiene muchas otras propiedades inusuales.

Curva diferenciable

En términos generales, una curva diferenciable es una curva que se define como localmente la imagen de una función diferenciable inyectiva de un intervalo I de los números reales en una variedad diferenciable X , a menudo ${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Más precisamente, una curva diferenciable es un subconjunto C de X donde cada punto de C tiene una vecindad U tal que es difeomorfa a un intervalo de los números reales. ^{[ se necesita aclaración ]} En otras palabras, una curva diferenciable es una variedad diferenciable de dimensión uno. ${\displaystyle C\cap U}$

Arco diferenciable

En geometría euclidiana , un arco (símbolo: ⌒ ) es un subconjunto conexo de una curva diferenciable .

Los arcos de rectas se denominan segmentos , rayos o rectas , según cómo estén acotados.

Un ejemplo curvo común es un arco de círculo , llamado arco circular .

En una esfera (o un esferoide ), se llama arco máximo a un arco de círculo máximo (o de una gran elipse ) .

Longitud de una curva

Si es el espacio euclidiano de dimensión y si es una función inyectiva y continuamente diferenciable, entonces la longitud de se define como la cantidad ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.}$

La longitud de una curva es independiente de la parametrización . ${\displaystyle \gamma }$

En particular, la longitud de la gráfica de una función continuamente diferenciable definida en un intervalo cerrado es ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x}.}$

De manera más general, si es un espacio métrico con métrica , entonces podemos definir la longitud de una curva por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\},}$

donde el supremum se apodera de todas y cada una de las particiones de . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Una curva rectificable es una curva con longitud finita. Una curva se llama natural (o de velocidad unitaria o parametrizada por la longitud del arco) si para cualquiera de ellas , tenemos ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [a,b]}$ ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.}$

Si es una función continua de Lipschitz , entonces es rectificable automáticamente. Además, en este caso, se puede definir la velocidad (o derivada métrica ) de como ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t\in [a,b]}$

${\displaystyle {\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}$

y luego demostrar que

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.}$

Geometría diferencial

Si bien los primeros ejemplos de curvas que se encuentran son en su mayoría curvas planas (es decir, en palabras cotidianas, líneas curvas en un espacio bidimensional ), hay ejemplos obvios como la hélice que existen naturalmente en tres dimensiones. Las necesidades de la geometría, y también por ejemplo de la mecánica clásica , son tener una noción de curva en el espacio de cualquier número de dimensiones. En la relatividad general , una línea mundial es una curva en el espacio-tiempo .

Si es una variedad diferenciable , entonces podemos definir la noción de curva diferenciable en . Esta idea general es suficiente para cubrir muchas de las aplicaciones de las curvas en matemáticas. Desde un punto de vista local se puede considerar un espacio euclidiano. Por otro lado, conviene ser más general, en el sentido de que (por ejemplo) es posible definir los vectores tangentes a mediante esta noción de curva. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si es una variedad suave , una curva suave es un mapa suave ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$.

Ésta es una noción básica. También hay ideas cada vez más restringidas. Si es una variedad (es decir, una variedad cuyos gráficos son veces continuamente diferenciables ), entonces una curva en es una curva que sólo se supone que es (es decir, veces continuamente diferenciable). Si es una variedad analítica (es decir, infinitamente diferenciable y los gráficos se pueden expresar como series de potencias ) y es un mapa analítico, entonces se dice que es una curva analítica . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Se dice que una curva diferenciable esregular si suderivadanunca desaparece. (En palabras, una curva regular nunca frena hasta detenerse ni retrocede sobre sí misma.) Doscurvas diferenciables ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X}$y

${\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}$

se dice que son equivalentes si hay un mapa biyectivo ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle p\colon J\rightarrow I}$

tal que el mapa inverso

${\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}$

es también , y ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}$

para todos . El mapa se llama reparametrización de ; y esto crea una relación de equivalencia en el conjunto de todas las curvas diferenciables en . Un arco es una clase de equivalencia de curvas bajo la relación de reparametrización. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

curva algebraica

Las curvas algebraicas son las curvas consideradas en geometría algebraica . Una curva algebraica plana es el conjunto de puntos de coordenadas x , y tales que f ( x , y ) = 0 , donde f es un polinomio en dos variables definidas sobre algún campo F. Se dice que la curva está definida sobre F . La geometría algebraica normalmente considera no solo puntos con coordenadas en F sino todos los puntos con coordenadas en un campo algebraicamente cerrado K.

Si C es una curva definida por un polinomio f con coeficientes en F , se dice que la curva está definida sobre F.

En el caso de una curva definida sobre números reales , normalmente se consideran puntos con coordenadas complejas . En este caso, un punto con coordenadas reales es un punto real , y el conjunto de todos los puntos reales es la parte real de la curva. Por lo tanto, sólo la parte real de una curva algebraica puede ser una curva topológica (este no es siempre el caso, ya que la parte real de una curva algebraica puede estar desconectada y contener puntos aislados). Toda la curva, es decir el conjunto de sus puntos complejos, es, desde el punto de vista topológico, una superficie. En particular, las curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares se denominan superficies de Riemann .

Los puntos de una curva C con coordenadas en un campo G se dicen racionales sobre G y se pueden denotar C ( G ) . Cuando G es el cuerpo de los números racionales , se habla simplemente de puntos racionales . Por ejemplo, el último teorema de Fermat puede reformularse como: Para n > 2 , todo punto racional de la curva de Fermat de grado n tiene una coordenada cero .

Las curvas algebraicas también pueden ser curvas espaciales o curvas en un espacio de dimensión superior, digamos n . Se definen como variedades algebraicas de dimensión uno. Pueden obtenerse como soluciones comunes de al menos n –1 ecuaciones polinómicas en n variables. Si n –1 polinomios son suficientes para definir una curva en un espacio de dimensión n , se dice que la curva es una intersección completa . Eliminando variables (mediante cualquier herramienta de la teoría de la eliminación ), se puede proyectar una curva algebraica sobre una curva algebraica plana , que sin embargo puede introducir nuevas singularidades como cúspides o puntos dobles .

Una curva plana también se puede completar en una curva en el plano proyectivo : si una curva está definida por un polinomio f de grado total d , entonces w ^d f ( u / w , v / w ) se simplifica a un polinomio homogéneo g ( u , v , w ) de grado d . Los valores de u , v , w tales que g ( u , v , w ) = 0 son las coordenadas homogéneas de los puntos de finalización de la curva en el plano proyectivo y los puntos de la curva inicial son aquellos tales que w es no cero. Un ejemplo es la curva de Fermat u ⁿ + v ⁿ = w ⁿ , que tiene una forma afín x ⁿ + y ⁿ = 1 . Se puede definir un proceso similar de homogeneización para curvas en espacios de dimensiones superiores.

Excepto las rectas , los ejemplos más simples de curvas algebraicas son las cónicas , que son curvas no singulares de grado dos y género cero. Las curvas elípticas , que son curvas no singulares de género uno, se estudian en teoría de números y tienen importantes aplicaciones en criptografía .

Ver también

• Curva de coordenadas
• Arco arrugado
• Ajuste de curvas
• Orientación de la curva
• Dibujo de curvas
• Geometría diferencial de curvas.
• Galería de curvas
• Índice de la curva
• Lista de temas de curvas.
• Lista de curvas
• círculo osculador
• Superficie paramétrica
• Ruta (topología)
• curva poligonal
• Vector de posición
• Función con valores vectoriales
  • Función vectorial de dimensión infinita
• Número de bobinado

Notas

1. En el uso matemático actual, una línea es recta. Anteriormente las líneas podían ser curvas o rectas.
2. Este término puede ser ambiguo, ya que una curva no cerrada puede ser un conjunto cerrado , como lo es una línea en un plano.

Referencias

1. En francés (bastante antiguo): "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel [ …] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestigio en long, except de toute latitude." Páginas 7 y 8 de Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demostrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions , de Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645) .
2. Lockwood pág. ix
3. Salud pag. 153
4. Salud pag. 160
5. Lockwood pág. 132
6. Lockwood pág. 129
7. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Espiral de Arquímedes", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
8. "Definición de arco de Jordania en Dictionary.com. Dictionary.com íntegro. Random House, Inc". Diccionario.reference.com . Consultado el 14 de marzo de 2012 .
9. Sulovský, Marek (2012). Profundidad, cruces y conflictos en geometría discreta. Logos Verlag Berlín GmbH. pag. 7.ISBN _ 9783832531195.
10. Osgood, William F. (enero de 1903). "Una curva de Jordan de área positiva". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . Sociedad Matemática Estadounidense . 4 (1): 107–112. doi : 10.2307/1986455 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1986455.

• AS Parkhomenko (2001) [1994], "Línea (curva)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• BI Golubov (2001) [1994], "Curva rectificable", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Euclides , comentario y trad. por TL Heath Elements vol. 1 (Cambridge 1908) Google Libros
• EH Lockwood Un libro de curvas (1961 Cambridge)

enlaces externos

• Índice de curvas famosas, Facultad de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia
• Curvas matemáticas Una colección de 874 curvas matemáticas bidimensionales.
• Galería de curvas espaciales hechas a partir de círculos, incluye animaciones de Peter Moses
• Galería de curvas de obispo y otras curvas esféricas, incluye animaciones de Peter Moses
• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre líneas.
• La página del Atlas de colectores sobre 1 colectores.