Problema del ángulo del reloj

El diagrama muestra los ángulos formados por las manecillas de un reloj analógico que muestra un tiempo de 2:20

Los problemas de ángulo de reloj son un tipo de problema matemático que implica encontrar el ángulo entre las manecillas de un reloj analógico .

Problema de matemáticas

Los problemas de ángulos de reloj relacionan dos medidas diferentes: ángulos y tiempo . El ángulo normalmente se mide en grados desde la marca del número 12 en el sentido de las agujas del reloj. La hora suele basarse en un reloj de 12 horas .

Un método para resolver este tipo de problemas es considerar la tasa de cambio del ángulo en grados por minuto. La manecilla de las horas de un reloj analógico normal de 12 horas gira 360° en 12 horas (720 minutos) o 0,5° por minuto. El minutero gira 360° en 60 minutos o 6° por minuto. ^[1]

Ecuación para el ángulo de la manecilla de las horas.

${\displaystyle \theta _{\text{hr}}=0.5^{\circ }\times M_{\Sigma }=0.5^{\circ }\times (60\times H+M)}$

dónde:

• θ es el ángulo en grados de la mano medido en el sentido de las agujas del reloj desde los 12
• H es la hora.
• M son los minutos después de la hora.
• M _Σ es el número de minutos desde las 12 en punto. ${\displaystyle M_{\Sigma }=(60\times H+M)}$

Ecuación para el ángulo del minutero.

${\displaystyle \theta _{\text{min.}}=6^{\circ }\times M}$

dónde:

• θ es el ángulo en grados de la manecilla medido en el sentido de las agujas del reloj desde la posición de las 12 en punto.
• M es el minuto.

Ejemplo

Son las 5:24. El ángulo en grados de la manecilla de las horas es:

${\displaystyle \theta _{\text{hr}}=0.5^{\circ }\times (60\times 5+24)=162^{\circ }}$

El ángulo en grados del minutero es:

${\displaystyle \theta _{\text{min.}}=6^{\circ }\times 24=144^{\circ }}$

Ecuación para el ángulo entre las manos.

El ángulo entre las manos se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \theta &=\vert \theta _{\text{hr}}-\theta _{\text{min.}}\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times H+M)-6^{\circ }\times M\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times H+M)-0.5^{\circ }\times 12\times M\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times H-11\times M)\vert \\\end{aligned}}}$

dónde

• h es la hora
• M es el minuto

Si el ángulo es mayor que 180 grados, réstalo de 360 ​​grados.

Ejemplo 1

Son las 2:20.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \theta &=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times 2-11\times 20)\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (120-220)\vert \\&=50^{\circ }\end{aligned}}}$

Ejemplo 2

Son las 10:16.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \theta &=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times 10-11\times 16)\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (600-176)\vert \\&=212^{\circ }\ \ (>180^{\circ })\\&=360^{\circ }-212^{\circ }\\&=148^{\circ }\end{aligned}}}$

¿Cuándo se superponen las manecillas de las horas y los minutos de un reloj?

En esta solución gráfica, T denota el tiempo en horas; P , posiciones de las manos; y θ , ángulos de las manos en grados. La línea roja (gruesa y sólida) indica la manecilla de la hora; las líneas azules (delgadas y sólidas) indican el minutero. Sus intersecciones (cuadrados rojos) son cuando se alinean. Además, los círculos naranjas (línea discontinua) son cuando las manos están en oposición y los triángulos rosados ​​(línea discontinua) son cuando están perpendiculares. En el archivo SVG, pase el cursor sobre el gráfico para mostrar las posiciones de las manecillas en la esfera del reloj.

Las manecillas de las horas y los minutos se superponen sólo cuando su ángulo es el mismo.

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{\text{min}}&=\theta _{\text{hr}}\\\Rightarrow 6^{\circ }\times M&=0.5^{\circ }\times (60\times H+M)\\\Rightarrow 12\times M&=60\times H+M\\\Rightarrow 11\times M&=60\times H\\\Rightarrow M&={\frac {60}{11}}\times H\\\Rightarrow M&=5.{\overline {45}}\times H\end{aligned}}}$

H es un número entero en el rango de 0 a 11. Esto da tiempos de: 0:00, 1:05. 45 , 2:10. 90 , 3:16. 36 , 4:21. 81 , 5:27. 27 . 6:32. 72 , 7:38. 18 , 8:43. 63 , 9:49. 09 , 10:54. 54 y 12:00. (0, 45 minutos son exactamente 27, 27 segundos).

Ver también

• Posición del reloj

Referencias

1. Elgin, Dave (2007). "Ángulos de la esfera del reloj". Matemáticas en la escuela . 36 (5). La Asociación Matemática: 4–5. JSTOR  30216063.

enlaces externos

• https://web.archive.org/web/20100615083701/http://delphiforfun.org/Programs/clock_angle.htm
• http://www.ldlewis.com/hospital_clock/ - análisis exhaustivo del ángulo del reloj
• https://web.archive.org/web/20100608044951/http://www.jimloy.com/puzz/clock1.htm