Teorema de la mariposa

Sobre el punto medio de una cuerda de un círculo, por donde pasan otras dos cuerdas

Teorema de la mariposa

El teorema de la mariposa es un resultado clásico de la geometría euclidiana , que puede enunciarse de la siguiente manera: ^{[1] : p. 78}

Sea M el punto medio de una cuerda PQ de un círculo , a través de la cual se dibujan otras dos cuerdas AB y CD ; AD y BC intersecan la cuerda PQ en X e Y correspondientemente. Entonces M es el punto medio de XY .

Prueba

Prueba del teorema de la mariposa

Una demostración formal del teorema es la siguiente: supongamos que las perpendiculares XX′ y XX″ se trazan desde el punto X sobre las rectas AM y DM respectivamente. De manera similar, supongamos que YY′ e YY″ se trazan desde el punto Y perpendiculares a las rectas BM y CM respectivamente.

Desde

${\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY',}$

${\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'},}$

${\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'',}$

${\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''},}$

${\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'',}$

${\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY},}$

${\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY',}$

${\displaystyle {XX'' \over YY'}={DX \over BY}.}$

De las ecuaciones anteriores y del teorema de las cuerdas que se cruzan , se puede ver que

${\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},}$

${\displaystyle {}={AX\cdot DX \over CY\cdot BY},}$

${\displaystyle {}={PX\cdot QX \over PY\cdot QY},}$

${\displaystyle {}={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)},}$

${\displaystyle {}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},}$

ya que PM = MQ .

Entonces,

${\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}$

Multiplicando de forma cruzada en la última ecuación,

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}.}$

Cancelación del término común

${\displaystyle {-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}}$

de ambos lados de la ecuación resultante se obtiene

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}},}$

por lo tanto MX = MY , ya que MX, MY y PM son todos números reales positivos.

Por lo tanto, M es el punto medio de XY .

También existen otras pruebas, ^[2] incluida una que utiliza geometría proyectiva . ^[3]

Historia

William Wallace planteó como problema la demostración del teorema de la mariposa en The Gentleman's Mathematical Companion (1803). En 1804 se publicaron tres soluciones y, en 1805, Sir William Herschel volvió a plantear la cuestión en una carta a Wallace. El reverendo Thomas Scurr volvió a plantear la misma cuestión en 1814 en Gentleman's Diary or Mathematical Repository . ^[4]

Referencias

1. Johnson, Roger A., ​​Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
2. Martin Celli, "Una prueba del teorema de la mariposa usando el factor de similitud de las dos alas", Forum Geometricorum 16, 2016, 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf
3. [1], problema 8.
4. Declaración de William Wallace de 1803 del teorema de la mariposa, cut-the-knot , consultado el 7 de mayo de 2015.

Enlaces externos

• El teorema de la mariposa al cortar el nudo
• Un mejor teorema de la mariposa en cut-the-knot
• Prueba del teorema de la mariposa en PlanetMath
• El teorema de la mariposa de Jay Warendorff, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de la mariposa". MathWorld .