En geometría , un octaedro de Bricard es miembro de una familia de poliedros flexibles construidos por Raoul Bricard en 1897. [1] La forma general de uno de estos poliedros puede cambiar en un movimiento continuo, sin ningún cambio en la longitud de sus aristas ni a las formas de sus caras. [2] Estos octaedros fueron los primeros poliedros flexibles descubiertos. [3]
Los octaedros de Bricard tienen seis vértices, doce aristas y ocho caras triangulares, conectadas de la misma forma que un octaedro regular . A diferencia del octaedro regular, los octaedros de Bricard son todos poliedros que se cruzan solos y no convexos. Según el teorema de rigidez de Cauchy , un poliedro flexible debe ser no convexo, [3] pero existen otros poliedros flexibles sin autocruces. Para evitar los autocruces se requieren más vértices (al menos nueve) que los seis vértices de los octaedros de Bricard. [4]
En su publicación que describe estos octaedros, Bricard clasificó completamente los octaedros flexibles. Su trabajo en esta área fue posteriormente objeto de conferencias de Henri Lebesgue en el Collège de France . [5]
Un octaedro de Bricard se puede formar a partir de tres pares de puntos, cada uno simétrico alrededor de un eje común de simetría rotacional de 180°, sin que ningún plano contenga los seis puntos. Estos puntos forman los vértices del octaedro. Las caras triangulares del octaedro tienen un punto de cada uno de los tres pares simétricos. Para cada par, hay dos formas de elegir un punto del par, por lo que hay ocho caras triangulares en total. Las aristas del octaedro son los lados de estos triángulos e incluyen un punto de cada uno de dos pares simétricos. Hay 12 aristas, que forman el gráfico octaédrico K 2,2,2 . [2] [6]
Como ejemplo, los seis puntos (0,0,±1), (0,±1,0) y (±1,0,0) forman los vértices de un octaedro regular, con cada punto opuesto en el octaedro a su negación, pero esto no es flexible. En cambio, estos mismos seis puntos se pueden emparejar de manera diferente para formar un octaedro de Bricard, con un eje de simetría diagonal. Si se elige este eje como la línea que pasa por el origen y el punto (0,1,1), entonces los tres pares simétricos de puntos para este eje son (0,0,1)—(0,1,0), ( 0,0,−1)—(0,−1,0) y (1,0,0)–(−1,0,0). El octaedro de Bricard resultante se asemeja a una de las configuraciones extremas de la segunda animación, que tiene un antiparalelogramo ecuatorial .
También es posible pensar en el octaedro de Bricard como un vínculo mecánico formado por doce aristas, conectadas por juntas flexibles en los vértices, sin las caras. Omitir las caras elimina los autocruces de muchas (pero no todas) posiciones de estos octaedros. La cadena cinemática resultante tiene un grado de libertad de movimiento, igual que el poliedro del que se deriva. [7]
Los cuadriláteros formados por las aristas entre los puntos de dos pares de puntos simétricos cualesquiera pueden considerarse ecuadores del octaedro. Estos ecuadores tienen la propiedad (por su simetría) de que los pares opuestos de lados de cuadriláteros tienen la misma longitud. Todo cuadrilátero con pares opuestos de lados iguales, incrustados en el espacio euclidiano , tiene simetría axial, y algunos (como el rectángulo) tienen otras simetrías además. Si se corta el octaedro de Bricard en dos pirámides de fondo abierto cortándolo a lo largo de uno de sus ecuadores, ambas pirámides abiertas pueden flexionarse, y el movimiento de flexión se puede realizar para preservar el eje de simetría de toda la forma. Pero, por las simetrías de su construcción, los movimientos de flexión de estas dos pirámides abiertas mueven el ecuador a lo largo del cual fueron cortadas de la misma manera. Por lo tanto, se pueden volver a pegar entre sí en un único movimiento de flexión de todo el octaedro. [2] [6]
La propiedad de tener lados opuestos de igual longitud es cierta para el rectángulo , el paralelogramo y el antiparalelogramo , y es posible construir octaedros de Bricard que tengan cualquiera de esas formas planas como ecuadores. Sin embargo, no es necesario que el ecuador de un octaedro de Bricard esté en un plano; en cambio, puede ser un cuadrilátero sesgado . Incluso para los octaedros de Bricard construidos para tener un ecuador plano, el ecuador generalmente no permanece plano cuando el octaedro se flexiona. [2] Sin embargo, para algunos octaedros de Bricard, como el octaedro con un ecuador antiparalelogramo que se muestra en la ilustración, las simetrías del poliedro hacen que su ecuador permanezca plano en todo momento.
El invariante de Dehn de cualquier octaedro de Bricard permanece constante mientras sufre su movimiento de flexión. [8] Esta misma propiedad ha sido probada para todos los poliedros flexibles que no se cruzan por sí solos. [9] Sin embargo, existen otros poliedros flexibles que se cruzan automáticamente para los cuales el invariante de Dehn cambia continuamente a medida que se flexionan. [10]
Es posible modificar los poliedros de Bricard agregando más caras, para alejar las partes del poliedro que se cruzan automáticamente entre sí y al mismo tiempo permitir que se flexione. La más simple de estas modificaciones es un poliedro descubierto por Klaus Steffen con nueve vértices y 14 caras triangulares. [2] El poliedro de Steffen es el poliedro flexible más simple posible sin autocruces. [4]
Al conectar múltiples formas derivadas del octaedro Bricard, es posible construir formas rígidas de origami en forma de cuerno cuya forma traza complicadas curvas espaciales . [11]