En geometría , el dodecaedro rómbico es un poliedro convexo con 12 caras rómbicas congruentes . Tiene 24 aristas y 14 vértices de 2 tipos. Como sólido catalán , es el poliedro dual del cuboctaedro . Como paraleloedro , el dodecaedro rómbico se puede utilizar para teselar sus copias en el espacio creando un panal dodecaédrico rómbico . Existen algunas variaciones del dodecaedro rómbico, una de las cuales es el dodecaedro de Bilinski . Existen algunas estelaciones del dodecaedro rómbico, una de las cuales es el sólido de Escher . El dodecaedro rómbico también puede aparecer en el cristal de granate , las filosofías arquitectónicas, los usos prácticos y los juguetes.
El dodecaedro rómbico es un poliedro con doce rombos , cada uno de los cuales tiene una longitud de cara larga-diagonal exactamente igual a la longitud de cara corta-diagonal [1] y la medida del ángulo agudo es . Su ángulo diedro entre dos rombos es de 120°. [2]
El dodecaedro rómbico es un sólido catalán , es decir, el poliedro dual de un sólido arquimediano , el cuboctaedro ; comparten la misma simetría, la simetría octaédrica . [2] Es transitivo en sus caras , lo que significa que el grupo de simetría del sólido actúa transitivamente sobre su conjunto de caras. En términos elementales, esto significa que para dos caras cualesquiera, hay una rotación o reflexión del sólido que lo deja ocupando la misma región del espacio mientras se mueve una cara hacia otra. [3] Aparte del triacontaedro rómbico , es uno de los dos sólidos catalanes que tienen la propiedad de ser transitivos en sus aristas ; las otras clases de poliedros convexos son los cinco sólidos platónicos y los otros dos sólidos arquimedianos: su poliedro dual y su icosidodecaedro .
Denotando por a la longitud del borde de un dodecaedro rómbico,
El área superficial A y el volumen V del dodecaedro rómbico con longitud de arista a son: [4]
El dodecaedro rómbico puede considerarse como la envoltura convexa de la unión de los vértices de un cubo y un octaedro donde las aristas se cortan perpendicularmente. Los seis vértices donde se juntan cuatro rombos corresponden a los vértices del octaedro , mientras que los ocho vértices donde se juntan tres rombos corresponden a los vértices del cubo .
La gráfica del dodecaedro rómbico no es hamiltoniana .
Para una longitud de arista √ 3 , los ocho vértices donde tres caras se encuentran en sus ángulos obtusos tienen coordenadas cartesianas (±1, ±1, ±1). En el caso de las coordenadas de los seis vértices donde cuatro caras se encuentran en sus ángulos agudos, son (±2, 0, 0), (0, ±2, 0) y (0, 0, ±2).
El dodecaedro rómbico puede verse como un caso límite degenerado de un piritoedro , con permutación de coordenadas (±1, ±1, ±1) y (0, 1 + h , 1 − h 2 ) con parámetro h = 1.
Estas coordenadas ilustran que un dodecaedro rómbico puede verse como un cubo con seis pirámides cuadradas unidas a cada cara, lo que les permite encajar entre sí para formar un cubo. Por lo tanto, el dodecaedro rómbico tiene el doble del volumen del cubo inscrito con aristas iguales a las diagonales cortas de los rombos. [5] Alternativamente, el dodecaedro rómbico puede construirse invirtiendo seis pirámides cuadradas hasta que sus vértices se encuentren en el centro del cubo. [6]
El dodecaedro rómbico es un poliedro que llena el espacio , lo que significa que se puede aplicar para teselar el espacio tridimensional: se puede apilar para llenar un espacio, de forma muy similar a como los hexágonos llenan un plano. Es un paraleloedro porque puede llenar el espacio como un panal en el que todas sus copias se encuentran cara a cara. [7] De manera más general, cada paraleloedro es un zonoedro , un poliedro centralmente simétrico con caras centralmente simétricas . [8] Como paraleloedro, el dodecaedro rómbico se puede construir con cuatro conjuntos de seis aristas paralelas. [7]
El panal dodecaédrico rómbico (o dodecaedro ) es un ejemplo de panal construido llenando todos los dodecaedros rómbicos. Es dual al panal tetractaédrico o semicúbico y se describe mediante dos diagramas de Coxeter :
y
. Con simetría D 3d , se puede ver como un trapezoedro trigonal alargado . Se puede ver como la teselación de Voronoi de la red cúbica centrada en las caras . Es la zona de Brillouin de cristales cúbicos centrados en el cuerpo (bcc). Algunos minerales como el granate forman un hábito cristalino dodecaédrico rómbico . Como señaló Johannes Kepler en su libro de 1611 sobre copos de nieve ( Strena seu de Nive Sexangula ), las abejas melíferas utilizan la geometría de los dodecaedros rómbicos para formar panales a partir de una teselación de celdas, cada una de las cuales es un prisma hexagonal coronado con medio dodecaedro rómbico. El dodecaedro rómbico también aparece en las celdas unitarias del diamante y los diamantoides . En estos casos, faltan cuatro vértices (tres vértices alternos), pero los enlaces químicos se encuentran en los bordes restantes. [9]
Un dodecaedro rómbico se puede dividir en cuatro trapezoedros trigonales obtusos alrededor de su centro. Estos romboedros son las celdas de un panal de abejas trapezoédrico trigonal . Análogamente, un hexágono regular se puede dividir en tres rombos alrededor de su centro. Estos rombos son las teselas de un romboide . [ cita requerida ]
El experto en arquitectura James D. Wenn ha identificado que los significados filosóficos y codificados en los edificios están conectados con los significados asociados con el dodecaedro rómbico por pensadores como Platón . [10]
Los edificios identificados como que cumplen con este tipo de código incluyen: [11]
En el diseño de ruedas de reacción de naves espaciales , se utiliza comúnmente una configuración tetraédrica de cuatro ruedas. Para ruedas que funcionan por igual (desde el punto de vista del par máximo y el momento angular máximo) en ambas direcciones de giro y en las cuatro ruedas, las envolventes de par máximo y momento máximo para el sistema de control de actitud de 3 ejes (considerando actuadores idealizados) se dan proyectando el teseracto que representa los límites del par o momento de cada rueda en el espacio 3D a través de la matriz 3 × 4 de ejes de rueda; el poliedro 3D resultante es un dodecaedro rómbico. [13] Tal disposición de ruedas de reacción no es la única configuración posible (una disposición más simple consiste en tres ruedas montadas para girar sobre ejes ortogonales), pero es ventajosa para proporcionar redundancia para mitigar la falla de una de las cuatro ruedas (con un rendimiento general degradado disponible de las tres ruedas activas restantes) y para proporcionar una envolvente más convexa que un cubo, lo que conduce a una menor dependencia de la agilidad en la dirección del eje (desde el punto de vista del actuador/planta). Las propiedades de masa de la nave espacial influyen en el momento y la agilidad generales del sistema, por lo que una menor varianza en el límite de la envolvente no conduce necesariamente a una mayor uniformidad en los sesgos de los ejes preferidos (es decir, incluso con un límite de rendimiento perfectamente distribuido dentro del subsistema del actuador, los ejes de rotación preferidos no son necesariamente arbitrarios a nivel del sistema).
El poliedro también es la base de la cuadrícula HEALPix , utilizada en cosmología para almacenar y manipular mapas del fondo cósmico de microondas , y en gráficos de computadora para almacenar mapas ambientales .
Entre las colecciones del Louvre se encuentra un troquel en forma de dodecaedro rómbico que data del Egipto ptolemaico . Las caras están inscritas con letras griegas que representan los números del 1 al 12: Α Β Γ Δ Ε Ϛ Z Η Θ Ι ΙΑ ΙΒ. Se desconoce la función del troquel. [14]
Otras construcciones de simetría del dodecaedro rómbico también llenan el espacio, y como paralelotopos son similares a variaciones de octaedros truncados que llenan el espacio . [15] Por ejemplo, con 4 caras cuadradas, caras rómbicas de 60 grados y simetría diedra D 4h , orden 16. Puede verse como un cuboctaedro con pirámides cuadradas unidas en la parte superior e inferior.
En 1960, Stanko Bilinski descubrió un segundo dodecaedro rómbico con 12 caras congruentes, el dodecaedro de Bilinski . Tiene la misma topología pero diferente geometría. Las caras rómbicas en esta forma tienen la proporción áurea . [16] [17]
El dodecaedro deltoidal es otra equivalencia topológica de una forma de dodecaedro rómbico. [18] Es isoédrico con un orden de simetría tetraédrica de 24, distorsionando las caras rómbicas en cometas (deltoides). Tiene 8 vértices ajustados hacia dentro o hacia fuera en conjuntos alternos de 4, con el caso límite una envolvente tetraédrica. Las variaciones se pueden parametrizar mediante ( a , b ), donde b y a dependen entre sí de modo que el tetraedro definido por los cuatro vértices de una cara tiene volumen cero, es decir, es una cara plana. (1,1) es la solución rómbica. A medida que a se acerca a 1/2 , b tiende al infinito. Siempre se cumple que 1/a + 1/b = 2, con a , b > 1/2 .
Al igual que muchos poliedros convexos, el dodecaedro rómbico se puede estelar extendiendo las caras o los bordes hasta que se encuentren para formar un nuevo poliedro. Dorman Luke ha descrito varias estelaciones de este tipo. [19] La primera estelación, a menudo llamada dodecaedro rómbico estrellado , se puede ver como un dodecaedro rómbico con cada cara aumentada al unirle una pirámide de base rómbica, con una altura de pirámide tal que los lados se encuentran en los planos de las caras vecinas. Luke describe cuatro estelaciones más: la segunda y la tercera estelaciones (que se expanden hacia afuera), una formada al eliminar la segunda de la tercera, y otra al agregar el dodecaedro rómbico original nuevamente al anterior.
El dodecaedro rómbico forma la envoltura de la proyección de vértice primero de un teseracto en tres dimensiones. Hay exactamente dos maneras de descomponer un dodecaedro rómbico en cuatro romboedros congruentes , lo que da ocho posibles romboedros como proyecciones de las 8 celdas cúbicas del teseracto. Un conjunto de vectores proyectivos son: u = (1,1,−1,−1), v = (−1,1,−1,1), w = (1,−1,−1,1).
El dodecaedro rómbico forma la sección transversal máxima de un dodecaedro de 24 celdas y también forma la envoltura de su proyección paralela de vértice primero en tres dimensiones. El dodecaedro rómbico se puede descomponer en seis bipirámides cuadradas congruentes (pero no regulares) que se encuentran en un solo vértice en el centro; estas forman las imágenes de seis pares de celdas octaédricas del dodecaedro de 24 celdas. Las 12 celdas octaédricas restantes se proyectan sobre las caras del dodecaedro rómbico. La irregularidad de estas imágenes se debe a la distorsión proyectiva; las facetas del dodecaedro de 24 celdas son octaedros regulares en el espacio de 4.
Esta descomposición proporciona un método interesante para construir el dodecaedro rómbico: cortar un cubo en seis pirámides cuadradas congruentes y unirlas a las caras de un segundo cubo. Las caras triangulares de cada par de pirámides adyacentes se encuentran en el mismo plano y, por lo tanto, se fusionan para formar rombos. El dodecaedro de 24 celdas también se puede construir de manera análoga utilizando dos teseractos . [20]
