En geometría , la primera estelación del dodecaedro rómbico es un poliedro autointersecante con 12 caras, cada una de las cuales es un hexágono no convexo. Es una estelación del dodecaedro rómbico y tiene la misma capa exterior y la misma apariencia visual que otras dos formas: un sólido, el sólido de Escher , con 48 caras triangulares, y un compuesto poliédrico de tres octaedros aplanados con 24 caras triangulares superpuestas.
El sólido de Escher puede teselar el espacio para formar el panal rómbico dodecaédrico estrellado .
La primera estelación del dodecaedro rómbico tiene 12 caras, cada una de las cuales es un hexágono no convexo. [1] Es una estelación del dodecaedro rómbico , lo que significa que cada una de sus caras se encuentra en el mismo plano que una de las caras del rombo del dodecaedro rómbico, con cada cara conteniendo el rombo en el mismo plano, y que tiene las mismas simetrías que el dodecaedro rómbico. Es la primera estelación, lo que significa que ningún otro poliedro autointersecante con los mismos planos de cara y las mismas simetrías tiene caras más pequeñas. Extender las caras hacia afuera aún más en los mismos planos conduce a dos estelaciones más, si se requiere que las caras sean polígonos simples . [2]
Para los poliedros formados únicamente utilizando caras en los mismos 12 planos y con las mismas simetrías, pero con las caras permitidas de volverse no simples o con múltiples caras en un solo plano, surgen posibilidades adicionales. [2] En particular, eliminar el rombo interior de cada cara hexagonal de la estelación deja cuatro triángulos, y el sistema resultante de 48 triángulos forma un poliedro no convexo diferente sin autointersecciones que forma el límite de una forma sólida, a veces llamada sólido de Escher. Esta forma aparece en las obras de MC Escher Cascada y en un estudio para Estrellas (aunque Estrellas en sí presenta una forma diferente, el compuesto de tres octaedros ). [3] Como la estelación y el sólido tienen la misma apariencia visual, no es posible determinar cuál de los dos pretendía representar Escher en Cascada . En Estudio de estrellas , Escher representa el poliedro en forma esquelética e incluye aristas que son parte de la forma esquelética del sólido de Escher pero que no son parte de la estelación. (En la estelación, estos segmentos de línea están formados por cruces de caras en lugar de aristas). Sin embargo, una interpretación alternativa para la misma forma esquelética es que representa una tercera forma con una apariencia similar, el compuesto poliédrico de tres octaedros aplanados con 24 caras triangulares superpuestas. [4]
Las 48 caras triangulares del sólido son isósceles; si el borde más largo de estos triángulos es longitud entonces los otros dos son , el área superficial del sólido es y el volumen del sólido es .
Los vértices de la primera estelación del dodecaedro rómbico incluyen los 12 vértices del cuboctaedro , junto con ocho vértices adicionales (los vértices de grado 3 del dodecaedro rómbico). El sólido de Escher tiene seis vértices adicionales, en los puntos centrales de las caras cuadradas del cuboctaedro (los vértices de grado 4 del dodecaedro rómbico). En la primera estelación del dodecaedro rómbico, estos seis puntos no son vértices, sino que son los puntos medios de pares de aristas que se cruzan en ángulos rectos en estos puntos.
La primera estelación del dodecaedro rómbico tiene 12 caras hexagonales, 36 aristas y 20 vértices, lo que produce una característica de Euler de 20 − 36 + 12 = −4. [1] El sólido de Escher, en cambio, tiene 48 caras triangulares, 72 aristas y 26 vértices, lo que produce una característica de Euler de 26 − 72 + 48 = 2.
El sólido de Escher puede teselar el espacio en forma de panal de abejas rómbico dodecaédrico estrellado . [5] Seis sólidos se encuentran en cada vértice. Este panal de abejas es transitivo por celdas , transitivo por aristas y transitivo por vértices .
El cubo de Yoshimoto , un rompecabezas de disección entre un cubo y dos copias del sólido de Escher, está estrechamente relacionado con esta teselación.
