En geometría de nueve dimensiones , un politopo de nueve dimensiones o 9 politopos es un politopo contenido por facetas de 8 politopos. Cada cresta de 7 politopos es compartida por exactamente dos facetas de 8 politopos .
Un politopo uniforme de 9 es aquel que es transitivo por vértices y está construido a partir de facetas uniformes de 8 politopos .
Los 9 politopos regulares se pueden representar mediante el símbolo de Schläfli {p,q,r,s,t,u,v,w}, con w {p,q,r,s,t,u,v} facetas de 8 politopos alrededor de cada pico .
Hay exactamente tres de estos 9 politopos regulares convexos :
No existen 9 politopos regulares no convexos.
La topología de cualquier 9-politopo dado está definida por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [1]
El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar los poliedros no se generaliza de manera útil a dimensiones superiores, cualquiera que sea su topología subyacente. Esta insuficiencia de la característica de Euler para distinguir de manera confiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores llevó al descubrimiento de los números de Betti más sofisticados. [1]
De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de politopos toroidales, y esto llevó al uso de coeficientes de torsión. [1]
Estos tres grupos de Coxeter, representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin , pueden generar 9 politopos uniformes con simetría reflectante:
Los 9 politopos regulares y uniformes seleccionados de cada familia incluyen:
; también como h{4,3 8 }
.La familia A 9 tiene simetría de orden 3628800 (factorial 10).
Hay 256+16-1=271 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos. Todos estos se enumeran a continuación. Los nombres de las siglas al estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas.
Hay 511 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos.
A continuación se muestran once casos: Nueve formas rectificadas y 2 truncamientos. Los nombres de las siglas al estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas. Los nombres de las siglas al estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas.
La familia D 9 tiene simetría de orden 92.897.280 (9 factorial × 2 8 ).
Esta familia tiene 3×128−1=383 politopos uniformes Wythoffianos, generados marcando uno o más nodos del diagrama D 9 de Coxeter-Dynkin . De estos, 255 (2×128−1) se repiten de la familia B 9 y 128 son exclusivos de esta familia, con las ocho formas de 1 o 2 anillos que se enumeran a continuación. Los nombres de las siglas al estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas.
Hay cinco grupos de Coxeter afines fundamentales que generan teselaciones regulares y uniformes en 8 espacios:
Los teselados regulares y uniformes incluyen:
o
, Coxeter llamó un cuarto de panal de 8 cúbicos , que se representa como q{4,3 6 ,4}, o qδ 9 .No existen grupos de Coxeter hiperbólicos compactos de rango 9, grupos que puedan generar panales con todas las facetas finitas y una figura de vértice finita . Sin embargo, hay 4 grupos de Coxeter hiperbólicos paracompactos de rango 9, cada uno de los cuales genera panales uniformes en 8 espacios como permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter.
