En geometría , el panal 5 21 es un mosaico uniforme del espacio euclidiano de 8 dimensiones. El símbolo 5 21 es de Coxeter , llamado así por la longitud de las 3 ramas de su diagrama de Coxeter-Dynkin. [1]
Al colocar esferas en sus vértices se obtiene el empaquetamiento de esferas más denso posible en 8 dimensiones. Así lo demostró Maryna Viazovska en 2016 utilizando la teoría de las formas modulares . Viazovska recibió la Medalla Fields por este trabajo en 2022.
Este panal fue estudiado por primera vez por Gosset, quien lo llamó figura semirregular de 9-ic [2] (Gosset consideraba los panales en n dimensiones como politopos degenerados de n +1).
Cada vértice del panal 5 21 está rodeado por 2160 8-ortoplexes y 17280 8-simplicies .
La figura del vértice del panal de Gosset es el politopo semirregular 4 21 . Es la figura final de la familia k 21 .
Este panal es muy regular en el sentido de que su grupo de simetría (el grupo Weyl afín) actúa transitivamente sobre las k -caras para k ≤ 6. Todas las k -caras para k ≤ 7 son simples.
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 9 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones.
La información de las facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Quitar el nodo al final de la rama de 2 longitudes deja el ortoplex de 8 , 6 11 .
Al eliminar el nodo al final de la rama de 1 longitud, se deja el 8-símplex .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto forma el politopo 4 21 .
La figura del borde se determina a partir de la figura del vértice eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto forma el politopo 3 21 .
La figura de la cara se determina a partir de la figura del borde eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto forma el politopo 2 21 .
La figura de la celda se determina a partir de la figura de la cara quitando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto forma el politopo 1 21 .
Cada vértice de este mosaico es el centro de una 7 esferas en el empaquetamiento más denso en 8 dimensiones; su número de besos es 240, representado por los vértices de su figura de vértice 4 21 .
contiene como un subgrupo del índice 5760. [3] Ambos y pueden verse como extensiones afines de diferentes nodos:
contiene como un subgrupo del índice 270. [4] Ambos y pueden verse como extensiones afines de diferentes nodos:
La disposición de los vértices de 5 21 se llama red E8 . [5]
La red E8 también se puede construir como una unión de los vértices de dos panales de 8 demicubes (llamada red D 8 2 o D 8 + ), así como la unión de los vértices de tres panales de 8 simples (llamada A 8 3 celosía): [6]
=
∪
=
∪
∪
Utilizando un sistema de coordenadas de números complejos , también se puede construir como un politopo complejo regular , dado el símbolo 3{3}3{3}3{3}3{3}3 y el diagrama de Coxeter. 
. Sus elementos están en proporción relativa como 1 vértice, 80 3 aristas, 270 3 {3} 3 caras, 80 3 {3} 3 {3} 3 celdas y 1 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 Witting células politopas . [7]
El 5 21 es el séptimo de una serie dimensional de politopos semirregulares , identificados en 1900 por Thorold Gosset . Cada miembro de la secuencia tiene al miembro anterior como figura de vértice . Todas las facetas de estos politopos son politopos regulares , es decir, simplexes y ortoplexes .
