8-símplex

En geometría , un 8- símplex es un 8-politopo regular autodual . Tiene 9 vértices , 36 aristas , 84 caras triangulares, 126 celdas tetraédricas , 126 5-celdas de 4 caras, 84 5-símplex de 5 caras, 36 6-símplex de 6 caras y 9 7-símplex de 7 caras. Su ángulo diedro es cos ⁻¹ (1/8), o aproximadamente 82,82°.

También se le puede llamar enneazetton o enea-8-topo , ya que es un politopo de nueve facetas en ocho dimensiones. El nombre enneazetton se deriva de ennea , que significa nueve facetas en griego , y -zetta, que significa tener facetas de siete dimensiones, y -on .

Como configuración

Esta matriz de configuración representa el 8-símplex. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas, 4-caras, 5-caras, 6-caras y 7-caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada uno se encuentran en todo el 8-símplex. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en él. La matriz de este símplex autodual es idéntica a su rotación de 180 grados. ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}9&8&28&56&70&56&28&8\\2&36&7&21&35&35&21&7\\3&3&84&6&15&20&15&6\\4&6&4&126&5&10&10&5\\5&10&10&5&126&4&6&4\\6&15&20&15&6&84&3&3\\7&21&35&35&21&7&36&2\\8&28&56&70&56&28&8&9\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Coordenadas

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un eneazetón regular centrado en el origen que tiene una longitud de arista de 2 son:

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ -{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-4/3,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

En términos más simples, los vértices del 8-símplex se pueden posicionar en el 9-espacio como permutaciones de (0,0,0,0,0,0,0,0,1). Esta construcción se basa en facetas del 9-ortoplex .

Otra construcción centrada en el origen utiliza (1,1,1,1,1,1,1,1)/3 y permutaciones de (1,1,1,1,1,1,1,-11)/12 para una longitud de arista de √2.

Imágenes

Politopos y panales relacionados

Este politopo es una faceta en las teselaciones uniformes: 2 51 y 5 21 con respectivos diagramas de Coxeter-Dynkin :

,

Este politopo es uno de los 135 politopos 8 uniformes con simetría _A8 .

Referencias

1. Coxeter 1973, §1.8 Configuraciones
2. Coxeter, HSM (1991). Politopos complejos regulares (2.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 117. ISBN 9780521394901.

• Coxeter, HSM :
  • — (1973). "Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)". Politopos regulares (3.ª ed.). Dover. pp. 296. ISBN 0-486-61480-8.
  • Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivic, eds. (1995). Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter. Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Artículo 22) — (1940). "Polítopos regulares y semirregulares I". Math. Zeit . 46 : 380–407. doi :10.1007/BF01181449. S2CID  186237114.
    • (Artículo 23) — (1985). "Polítopos regulares y semirregulares II". Math. Zeit . 188 (4): 559–591. doi :10.1007/BF01161657. S2CID  120429557.
    • (Artículo 24) — (1988). "Polítopos regulares y semirregulares III". Math. Zeit . 200 : 3–45. doi :10.1007/BF01161745. S2CID  186237142.
• Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "26. Hemicubos: 1 _n1 ". Las simetrías de las cosas . pág. 409. ISBN 978-1-56881-220-5.
• Johnson, Norman (1991). "Polítopos uniformes" (manuscrito). Norman Johnson (matemático).
  • Johnson, NW (1966). La teoría de politopos uniformes y panales (PhD). Universidad de Toronto. OCLC  258527038.
• Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 8D (polyzetta) x3o3o3o3o3o3o3o - ene".

Enlaces externos

• Glosario del hiperespacio, George Olshevsky.
• Politopos de varias dimensiones
• Glosario multidimensional