En geometría , el término poliedro semirregular (o politopo semirregular ) es utilizado de diversas formas por diferentes autores.
En su definición original, es un poliedro de caras poligonales regulares , y un grupo de simetría transitivo en sus vértices ; hoy en día, esto se conoce más comúnmente como poliedro uniforme (esto se deriva de la definición de 1900 de Thorold Gosset del politopo semirregular más general ). [1] [2] Estos poliedros incluyen:
Estos sólidos semirregulares se pueden especificar completamente mediante una configuración de vértice : una lista de las caras por número de lados, en el orden en que aparecen alrededor de un vértice. Por ejemplo: 3.5.3.5 representa el icosidodecaedro , que alterna dos triángulos y dos pentágonos alrededor de cada vértice. En contraste: 3.3.3.5 es un antiprisma pentagonal . Estos poliedros a veces se describen como transitivos de vértice .
Desde Gosset, otros autores han utilizado el término semirregular de diferentes maneras en relación con politopos de dimensiones superiores. EL Elte [3] proporcionó una definición que Coxeter consideró demasiado artificial. El propio Coxeter denominó uniformes a las figuras de Gosset , con sólo un subconjunto bastante restringido clasificado como semirregular. [4]
Sin embargo, otros han tomado el camino opuesto, categorizando más poliedros como semirregulares. Éstas incluyen:
Otra fuente de confusión radica en la forma en que se definen los sólidos de Arquímedes, que nuevamente aparecen con diferentes interpretaciones.
La definición de Gosset de semirregular incluye figuras de mayor simetría: los poliedros regulares y cuasiregulares . Algunos autores posteriores prefieren decir que no son semirregulares, porque son más regulares que eso; entonces se dice que los poliedros uniformes incluyen los regulares, cuasiregulares y semirregulares. Este sistema de nombres funciona bien y concilia muchas (pero no todas) las confusiones.
En la práctica, incluso las autoridades más eminentes pueden confundirse al definir un conjunto dado de poliedros como semirregulares y/o arquímedes, y luego asumir (o incluso afirmar) un conjunto diferente en discusiones posteriores. Asumir que la definición dada se aplica sólo a poliedros convexos es probablemente el error más común. Coxeter, Cromwell, [5] y Cundy & Rollett [6] son todos culpables de tales deslices.
Johannes Kepler acuñó la categoría semirregular en su libro Harmonices Mundi (1619), incluyendo los 13 sólidos de Arquímedes , dos familias infinitas ( prismas y antiprismas sobre bases regulares) y dos sólidos catalanes de arista transitiva , el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico . También consideró un rombo como un polígono semirregular (siendo equilátero y alternando dos ángulos), así como polígonos estrella , ahora llamados figuras isotoxales que utilizó en mosaicos planos . El trapezoedro trigonal , un cubo topológico con caras rómbicas congruentes, también calificaría como semirregular, aunque Kepler no lo mencionó específicamente.
En muchas obras se utiliza poliedro semirregular como sinónimo de sólido de Arquímedes . [7] Por ejemplo, Cundy y Rollett (1961).
Podemos distinguir entre las figuras facialmente regulares y transitivas de vértice basadas en Gosset, y sus duales verticalmente regulares (o versi-regulares) y facialmente transitivas.
Coxeter et al. (1954) utilizan el término poliedros semirregulares para clasificar poliedros uniformes con símbolo de Wythoff de la forma pq | r , una definición que abarca sólo seis de los sólidos de Arquímedes, así como los prismas regulares (pero no los antiprismas regulares) y numerosos sólidos no convexos. Más tarde, Coxeter (1973) citaría la definición de Gosset sin comentarios, aceptándola así implícitamente.
Eric Weisstein , Robert Williams y otros usan el término para referirse a los poliedros uniformes convexos excluyendo los cinco poliedros regulares , incluidos los sólidos de Arquímedes, los prismas uniformes y los antiprismas uniformes (que se superponen con el cubo como prisma y el octaedro regular como antiprisma). . [8] [9]
Peter Cromwell (1997) escribe en una nota a pie de página de la página 149 que, "en la terminología actual, 'poliedros semirregulares' se refiere a los sólidos de Arquímedes y Catalanes (duales de Arquímedes)". En la página 80 describe a los trece Arquímedes como semirregulares, mientras que en las páginas 367 y siguientes. analiza a los catalanes y su relación con los arquímedes "semirregulares". Implicativamente, esto trata a los catalanes como no semirregulares, contradiciendo así (o al menos confundiendo) la definición que proporcionó en la nota anterior. Ignora los poliedros no convexos.