Sólido catalán

13 polyhedra; duals of the Archimedean solids

Tetraedro de Triakis , icositetraedro pentagonal y triacontaedro de disdyakis .

Los sólidos de arriba (oscuros) se muestran junto con sus duales (claros). Las partes visibles de los sólidos catalanes son pirámides regulares .

Un dodecaedro rómbico con su configuración de caras .

En matemáticas , un sólido catalán , o dual de Arquímedes , es un poliedro dual con un sólido de Arquímedes . Hay 13 sólidos catalanes. Deben su nombre al matemático belga Eugène Catalan , quien los describió por primera vez en 1865.

Los sólidos catalanes son todos convexos . Son transitivos por caras pero no transitivos por vértices . Esto se debe a que los sólidos duales de Arquímedes son transitivos por vértices y no transitivos por caras. Tenga en cuenta que, a diferencia de los sólidos platónicos y de Arquímedes , las caras de los sólidos catalanes no son polígonos regulares . Sin embargo, las figuras de vértices de los sólidos catalanes son regulares y tienen ángulos diédricos constantes . Al ser transitivos por caras, los sólidos catalanes son isoedros .

Además, dos de los sólidos catalanes son transitivos de arista : el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico . Estos son los duales de los dos sólidos casi regulares de Arquímedes.

Así como los prismas y antiprismas generalmente no se consideran sólidos de Arquímedes, las bipirámides y los trapezoedros generalmente no se consideran sólidos catalanes, a pesar de ser transitivos por las caras.

Dos de los sólidos catalanes son quirales : el icositetraedro pentagonal y el hexecontaedro pentagonal , dual al cubo chato quiral y al dodecaedro chato . Cada uno de ellos viene en dos enantiomorfos . Sin contar los enantiomorfos, bipirámides y trapezoedros, hay un total de 13 sólidos catalanes.

Once de los 13 sólidos catalanes tienen la propiedad de Rupert : una copia del sólido, de igual o mayor forma, puede pasar a través de un agujero del sólido. ^[1]

Lista de sólidos catalanes y sus duales

Simetría

Los sólidos catalanes, junto con sus sólidos duales de Arquímedes , se pueden agrupar en aquellos de simetría tetraédrica, octaédrica e icosaédrica. Tanto para la simetría octaédrica como para la icosaédrica existen seis formas. El único sólido catalán con simetría tetraédrica genuina es el tetraedro triakis (dual del tetraedro truncado ). El dodecaedro rómbico y el hexaedro tetrakis tienen simetría octaédrica, pero se pueden colorear para que solo tengan simetría tetraédrica. La rectificación y el desaire también existen con simetría tetraédrica, pero son platónicos en lugar de arquímedes, por lo que sus duales son platónicos en lugar de catalanes. (Se muestran con fondo marrón en la siguiente tabla).

Geometría

Todos los ángulos diédricos de un sólido catalán son iguales. Denotando su valor por y denotando el ángulo de la cara en los vértices donde las caras se encuentran por , tenemos ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /p)/\cos(\alpha _{p}/2)}$.

Esto se puede utilizar para calcular y , , ... , desde , ... únicamente. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

caras triangulares

De los 13 sólidos catalanes, 7 tienen caras triangulares. Estos son de la forma Vp.qr, donde p, q y r toman sus valores entre 3, 4, 5, 6, 8 y 10. Los ángulos , y se pueden calcular de la siguiente manera. Poner , y poner ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}$ ${\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}$ ${\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /r)}$

${\displaystyle S=-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2ab+2bc+2ca}$.

Entonces

${\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {S}{2bc}}-1}$,

${\displaystyle \sin(\alpha _{p}/2)={\frac {-a+b+c}{2{\sqrt {bc}}}}}$.

For y las expresiones son similares, por supuesto. El ángulo diédrico se puede calcular a partir de ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos(\theta )=1-2abc/S}$.

Aplicando esto, por ejemplo, al triacontaedro de disdyakis ( , y , por lo tanto , y , donde está la proporción áurea ) se obtiene y . ${\displaystyle p=4}$ ${\displaystyle q=6}$ ${\displaystyle r=10}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=3}$ ${\displaystyle c=\phi +2}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {2-\phi }{6(2+\phi )}}={\frac {7-4\phi }{30}}}$ ${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {-10-7\phi }{14+5\phi }}={\frac {-48\phi -155}{241}}}$

caras cuadriláteros

De los 13 sólidos catalanes, 4 tienen caras cuadriláteras. Estos son de la forma Vp.qpr, donde p, q y r toman sus valores entre 3, 4 y 5. El ángulo se puede calcular mediante la siguiente fórmula: ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {2\cos ^{2}(\pi /p)-\cos ^{2}(\pi /q)-\cos ^{2}(\pi /r)}{2\cos ^{2}(\pi /p)+2\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}}}$.

A partir de esto, y el ángulo diédrico se pueden calcular fácilmente. Alternativamente, ponga , , . Entonces y se puede encontrar aplicando las fórmulas para el caso triangular. Por supuesto, el ángulo se puede calcular de manera similar. Las caras son cometas , o, en su caso , rombos . Aplicando esto, por ejemplo, al icositetraedro deltoidal ( , y ), obtenemos . ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}$ ${\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}$ ${\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /p)+4\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle q=r}$ ${\displaystyle p=4}$ ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle r=4}$ ${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}}$

caras pentagonales

De los 13 sólidos catalanes, 2 tienen caras pentagonales. Estos tienen la forma Vp.pppq, donde p=3 y q=4 o 5. El ángulo se puede calcular resolviendo una ecuación de grado tres: ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle 8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{3}(\alpha _{p})-8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{2}(\alpha _{p})+\cos ^{2}(\pi /q)=0}$.

Propiedades métricas

Para un sólido catalán sea el dual respecto a la media esfera de . Entonces es un sólido de Arquímedes con la misma mediaesfera. Denota la longitud de los bordes de por . Sea el inradio de las caras de , el radio medio de y , el inradio de y el circunradio de . Entonces estas cantidades se pueden expresar en y el ángulo diédrico de la siguiente manera: ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle r_{m}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle r_{c}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle r^{2}={\frac {l^{2}}{8}}(1-\cos \theta )}$,

${\displaystyle r_{m}^{2}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{i}^{2}={\frac {l^{2}}{8}}{\frac {(1-\cos \theta )^{2}}{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{c}^{2}={\frac {l^{2}}{2}}{\frac {1}{1+\cos \theta }}}$.

Estas cantidades están relacionadas por , y . ${\displaystyle r_{m}^{2}=r_{i}^{2}+r^{2}}$ ${\displaystyle r_{c}^{2}=r_{m}^{2}+l^{2}/4}$ ${\displaystyle r_{i}r_{c}=r_{m}^{2}}$

Como ejemplo, sea un cuboctaedro con una longitud de arista . Entonces es un dodecaedro rómbico. Aplicando la fórmula para caras de cuadriláteros con y se obtiene , por lo tanto , , . ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p=4}$ ${\displaystyle q=r=3}$ ${\displaystyle \cos \theta =-1/2}$ ${\displaystyle r_{i}=3/4}$ ${\displaystyle r_{m}={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle r_{c}=1}$ ${\displaystyle r={\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}}$

Todos los vértices de de tipo se encuentran en una esfera con radio dado por ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r_{c,p}}$

${\displaystyle r_{c,p}^{2}=r_{i}^{2}+{\frac {2r^{2}}{1-\cos \alpha _{p}}}}$,

y de manera similar para . ${\displaystyle q,r,\ldots }$

Dualmente, hay una esfera que toca todas las caras de las cuales hay -gónos regulares (y de manera similar para ) en su centro. El radio de esta esfera está dado por ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q,r,\ldots }$ ${\displaystyle r_{i,p}}$

${\displaystyle r_{i,p}^{2}=r_{m}^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}\cot ^{2}(\pi /p)}$.

Estos dos radios están relacionados por . Continuando con el ejemplo anterior: y , que da , y . ${\displaystyle r_{i,p}r_{c,p}=r_{m}^{2}}$ ${\displaystyle \cos \alpha _{3}=-1/3}$ ${\displaystyle \cos \alpha _{4}=1/3}$ ${\displaystyle r_{c,3}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle r_{c,4}={\frac {3}{4}}{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle r_{i,3}={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle r_{i,4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$

Si es un vértice de de tipo , un borde de que comienza en y el punto donde el borde toca la esfera media de , denota la distancia por . Entonces los bordes de los vértices de unión de tipo y tipo tienen longitud . Estas cantidades se pueden calcular mediante ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{\prime }}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle PP^{\prime }}$ ${\displaystyle l_{p}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle l_{p,q}=l_{p}+l_{q}}$

${\displaystyle l_{p}={\frac {l}{2}}{\frac {\cos(\pi /p)}{\sin(\alpha _{p}/2)}}}$,

y de manera similar para . Continuando con el ejemplo anterior: , , , , entonces las aristas del dodecaedro rómbico tienen longitud . ${\displaystyle q,r,\ldots }$ ${\displaystyle \sin(\alpha _{3}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle \sin(\alpha _{4}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle l_{3}={\frac {1}{8}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle l_{4}={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle l_{3,4}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$

Los ángulos diédricos entre las caras -gonal y -gonal de satisfacen ${\displaystyle \alpha _{p,q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$

${\displaystyle \cos \alpha _{p,q}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {\cot(\pi /p)\cot(\pi /q)}{r_{m}^{2}}}-{\frac {r_{i,p}r_{i,q}}{r_{m}^{2}}}={\frac {l_{p}l_{q}-r_{m}^{2}}{r_{c,p}r_{c,q}}}}$.

Terminando el ejemplo del dodecaedro rómbico, el ángulo diédrico del cuboctaedro viene dado por . ${\displaystyle \alpha _{3,4}}$ ${\displaystyle \cos \alpha _{3,4}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$

Construcción

La cara de cualquier poliedro catalán se puede obtener a partir de la figura del vértice del sólido dual de Arquímedes utilizando la construcción de Dorman Luke . ^[3]

Aplicación a otros sólidos

Todas las fórmulas de esta sección se aplican a los sólidos platónicos , y también a las bipirámides y trapezoedros con ángulos diédricos iguales, porque pueden derivarse únicamente de la propiedad del ángulo diédrico constante. Para el trapezoedro pentagonal , por ejemplo, con caras V3.3.5.3, obtenemos , o . Esto no es sorprendente: es posible cortar ambos vértices de tal manera que se obtenga un dodecaedro regular . ${\displaystyle \cos(\alpha _{3})={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}=108^{\circ }}$

Ver también

• Lista de mosaicos uniformes Muestra mosaicos poligonales uniformes duales similares a los sólidos catalanes
• Notación del poliedro de Conway Un proceso de construcción de notación
• Sólido de Arquímedes
• Johnson sólido

Notas

1. Fredriksson, Albin (2024), "Optimización de la propiedad de Rupert", The American Mathematical Monthly , 131 (3): 255–261, arXiv : 2210.00601 , doi : 10.1080/00029890.2023.2285200
2. Weisstein, Eric W. "Sólido de Arquímedes". mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de julio de 2022 .
3. Cundy y Rollett (1961), pág. 117; Wenninger (1983), pág. 30.

Referencias

• Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (París) 41, 1-71, 1865.
• Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961), Modelos matemáticos (2ª ed.), Oxford: Clarendon Press, MR  0124167.
• Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), "Dualidad de poliedros", Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología , 36 (6): 617–642, doi :10.1080/00207390500064049, S2CID  120818796.
• Alan Holden Formas, espacio y simetría . Nueva York: Dover, 1991.
• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, señor  0730208(Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales)
• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)
• Antonio Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: Prensa de la Universidad de California Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 4: Duales de los poliedros, prismas y antiprismas de Arquímedes

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Sólidos catalanes". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Isoedro". MundoMatemático .
• Sólidos catalanes - en Visual Polyhedra
• Duales de Arquímedes: en los poliedros de realidad virtual
• Sólido catalán interactivo en Java
• Enlace de descarga de la publicación original en catalán de 1865, con bellas figuras, formato PDF