Johnson sólido

92 poliedros convexos no uniformes, siendo cada cara un polígono regular

En geometría , un sólido de Johnson , a veces también conocido como sólido de Johnson-Zalgaller , es un poliedro estrictamente convexo cuyas caras son polígonos regulares . A veces se definen para excluir los poliedros uniformes . Hay noventa y dos sólidos con esta propiedad: los primeros sólidos son las pirámides , las cúpulas y una rotonda ; algunos de los sólidos pueden construirse uniéndolos con esos sólidos anteriores, mientras que otros no. Estos sólidos reciben su nombre de los matemáticos Norman Johnson y Victor Zalgaller .

Definición y antecedentes

Entre estos tres poliedros, sólo el primero, la girobicúpula cuadrada alargada , es un sólido de Johnson. El segundo, la stella octangula , no es convexo , ya que algunas de sus diagonales quedan fuera de la forma. El tercero presenta caras coplanares .

Un sólido de Johnson es un poliedro convexo cuyas caras son todas polígonos regulares . ^[1] Aquí, se dice que un poliedro es convexo si el camino más corto entre dos de sus vértices se encuentra dentro de su interior o en su límite, ninguna de sus caras es coplanar (lo que significa que no comparten el mismo plano y no "se encuentran planas"), y ninguna de sus aristas es colineal (lo que significa que no son segmentos de la misma línea). ^{[2] [3]} Aunque no hay ninguna restricción de que cualquier polígono regular dado no pueda ser una cara de un sólido de Johnson, algunos autores exigieron que los sólidos de Johnson no sean uniformes . Esto significa que un sólido de Johnson no es un sólido platónico , sólido de Arquímedes , prisma o antiprisma . ^{[4] [5]} Un poliedro convexo en el que todas las caras son casi regulares, pero algunas no son precisamente regulares, se conoce como un sólido de Johnson casi regular . ^[6]

El sólido de Johnson, a veces conocido como sólido de Johnson-Zalgaller, recibió su nombre en honor a los matemáticos Norman Johnson y Victor Zalgaller . ^[7] Johnson (1966) publicó una lista que incluía noventa y dos sólidos de Johnson (excluyendo los cinco sólidos platónicos, los trece sólidos de Arquímedes, los infinitos prismas uniformes y los infinitos antiprismas uniformes) y les dio sus nombres y números. No demostró que solo hubiera noventa y dos, pero sí conjeturó que no había otros. ^[8] Zalgaller (1969) demostró que la lista de Johnson estaba completa. ^[9]

Denominación y enumeración

Un ejemplo es el prisma triangular triaumentado . En este caso, se construye a partir de un prisma triangular uniendo tres pirámides cuadradas equiláteras sobre cada uno de sus cuadrados (tri-). El proceso de esta construcción se conoce como "aumentación", de ahí su nombre original "triaugmented".

La denominación de los sólidos de Johnson sigue una fórmula descriptiva flexible y precisa que permite nombrar a muchos sólidos de múltiples formas diferentes sin comprometer la precisión de cada nombre como descripción. La mayoría de los sólidos de Johnson se pueden construir a partir de los primeros sólidos ( pirámides , cúpulas y una rotonda ), junto con los sólidos platónicos y arquimedianos , prismas y antiprismas ; el centro del nombre de un sólido en particular reflejará estos ingredientes. A partir de allí, se adjunta una serie de prefijos a la palabra para indicar adiciones, rotaciones y transformaciones: ^[10]

• Bi- indica que dos copias del sólido están unidas base con base. En el caso de las cúpulas y rotondas, los sólidos se pueden unir de modo que se encuentren caras iguales ( orto- ) o caras diferentes ( giro- ). Con esta nomenclatura, una bipirámide pentagonal es un sólido construido mediante la unión de dos bases de pirámides pentagonales. La ortobicúpula triangular se construye mediante dos cúpulas triangulares a lo largo de sus bases.
• Alargado indica que un prisma está unido a la base del sólido, o entre las bases; giroelongado indica un antiprisma . Aumentado indica que otro poliedro, a saber, una pirámide o una cúpula , está unido a una o más caras del sólido en cuestión.
• Disminuido indica que se elimina una pirámide o cúpula de una o más caras del sólido en cuestión.
• Girar indica que una cúpula montada o destacada en el sólido en cuestión está rotada de tal manera que los diferentes bordes coinciden, como en la diferencia entre orto- y girobicúpulas.

Se pueden encontrar ejemplos de para- y meta- en el prisma hexagonal parabiaumentado y el prisma hexagonal metabiaumentado.

Las últimas tres operaciones ( aumento , disminución y giro ) se pueden realizar varias veces para ciertos sólidos grandes. Bi- y Tri- indican una operación doble y triple respectivamente. Por ejemplo, un sólido bigirato tiene dos cúpulas rotadas y un sólido tridisminuido tiene tres pirámides o cúpulas eliminadas. En ciertos sólidos grandes, se hace una distinción entre sólidos donde las caras alteradas son paralelas y sólidos donde las caras alteradas son oblicuas. Para- indica el primero, que el sólido en cuestión tiene caras paralelas alteradas, y meta- el segundo, caras oblicuas alteradas. Por ejemplo, un sólido parabiaumentado tiene dos caras paralelas aumentadas y un sólido metabigirado tiene dos caras oblicuas giradas. ^[10]

Los últimos sólidos de Johnson tienen nombres basados ​​en ciertos complejos poligonales a partir de los cuales se ensamblan. Estos nombres están definidos por Johnson con la siguiente nomenclatura: ^[10]

• Una luna es un complejo de dos triángulos unidos a lados opuestos de un cuadrado.
• Esfeno : indica un complejo cuneiforme formado por dos lunas adyacentes. Disfeno: indica dos complejos de este tipo.
• Hebesfeno : indica un complejo romo de dos lunas separadas por una tercera.
• Corona es un complejo con forma de corona de ocho triángulos.
• Megacorona es un complejo de doce triángulos con forma de corona de mayor tamaño.
• El sufijo - cingulum indica un cinturón de doce triángulos.

La enumeración de los sólidos de Johnson puede denotarse como , donde se denota la enumeración de la lista (un ejemplo se denota como el primer sólido de Johnson, la pirámide cuadrada equilátera). ^[7] La ​​siguiente es la lista de noventa y dos sólidos de Johnson, con la enumeración seguida de acuerdo con la lista de Johnson (1966): ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle J_{1}}$

1. Pirámide cuadrada equilátera
2. Pirámide pentagonal
3. Cúpula triangular
4. Cúpula cuadrada
5. Cúpula pentagonal
6. Rotonda pentagonal
7. Pirámide triangular alargada
8. Pirámide cuadrada alargada
9. Pirámide pentagonal alargada
10. Pirámide cuadrada giroelongada
11. Pirámide pentagonal giroelongada
12. Bipirámide triangular
13. Bipirámide pentagonal
14. Bipirámide triangular alargada
15. Bipirámide cuadrada alargada
16. Bipirámide pentagonal alargada
17. Bipirámide cuadrada giroelongada
18. Cúpula triangular alargada
19. Cúpula cuadrada alargada
20. Cúpula pentagonal alargada
21. Rotonda pentagonal alargada
22. Cúpula triangular giroelongada
23. Cúpula cuadrada giroelongada
24. Cúpula pentagonal giroelongada
25. Rotonda pentagonal giroelongada
26. Girobifastigium
27. Ortobicúpula triangular
28. Ortobicúpula cuadrada
29. Girobicúpula cuadrada
30. Ortobicúpula pentagonal
31. Girobicúpula pentagonal
32. Ortocupularrotonda pentagonal
33. Rotonda girocupular pentagonal
34. Ortobirotonda pentagonal
35. Ortobicúpula triangular alargada
36. Girobicúpula triangular alargada
37. Girobicúpula cuadrada alargada
38. Ortobicúpula pentagonal alargada
39. Girobicúpula pentagonal alargada
40. Ortocupularotunda pentagonal alargada
41. Rotonda girocupular pentagonal alargada
42. Ortobirotonda pentagonal alargada
43. Girobirotunda pentagonal alargada
44. Bicúpula triangular giroelongada
45. Bicúpula cuadrada giroelongada
46. Bicúpula pentagonal giroelongada
47. Cupularotunda pentagonal giroelongada
48. Birotunda pentagonal giroelongada
49. Prisma triangular aumentado
50. Prisma triangular biaumentado
51. Prisma triangular triaumentado
52. Prisma pentagonal aumentado
53. Prisma pentagonal biaumentado
54. Prisma hexagonal aumentado
55. Prisma hexagonal parabiaumentado
56. Prisma hexagonal metabiaumentado
57. Prisma hexagonal triaumentado
58. Dodecaedro aumentado
59. Dodecaedro parabiaumentado
60. Dodecaedro metabiaumentado
61. Dodecaedro triaumentado
62. Icosaedro metabidisminuido
63. Icosaedro tri-disminuido
64. Icosaedro tridisminuido aumentado
65. Tetraedro truncado aumentado
66. Cubo truncado aumentado
67. Cubo truncado biaumentado
68. Dodecaedro truncado aumentado
69. Dodecaedro truncado parabiaumentado
70. Dodecaedro truncado metabiaumentado
71. Dodecaedro truncado triaumentado
72. Rombicosidodecaedro girado
73. Parabigirato rombicosidodecaedro
74. rombicosidodecaedro metabigirato
75. Rombicosidodecaedro trigirado
76. Rombicosidodecaedro disminuido
77. Paragira rombicosidodecaedro disminuido
78. Rombosidodecaedro disminuido metagirado
79. Bigirato rombicosidodecaedro disminuido
80. Rombicosidodecaedro parabidisminuido
81. Rombicosidodecaedro metabidisminuido
82. Rombicosidodecaedro bidisminuido girado
83. Rombicosidodecaedro tridisminuido
84. Disfenoides chato
85. Antiprisma cuadrado chato
86. Esfenocorona
87. Esfenocorona aumentada
88. Esfenomegacorona
89. Hebesfenomegacorona
90. Disfenocingulum
91. Bilunabirotunda
92. Hebesfenorrotunda triangular

Algunos de los sólidos de Johnson pueden clasificarse como poliedros elementales . Esto significa que el poliedro no puede separarse por un plano para crear dos pequeños poliedros convexos con caras regulares; ejemplos de sólidos de Johnson son los primeros seis sólidos de Johnson: pirámide cuadrada , pirámide pentagonal , cúpula triangular , cúpula cuadrada , cúpula pentagonal y rotonda pentagonal : icosaedro tridisminuido , rombicosidodecaedro parabidisminuido , rombicosidodecaedro tridisminuido , disfenoide romo , antiprisma cuadrado romo , esfenocorona , esfenomegacorona , hebesfenomegacorona , disfenocíngulo , bilunabirotonda y hebesfenorrotonda triangular . ^{[8] [11]} Los otros sólidos de Johnson son poliedros compuestos porque se construyen uniendo algunos poliedros elementales. ^[12]

Propiedades

Según la definición anterior, un sólido de Johnson es un poliedro convexo con polígonos regulares como caras. Sin embargo, cada uno de ellos posee varias propiedades.

• Se sabe que todos los 92 sólidos de Johnson, menos cinco, tienen la propiedad de Rupert , lo que significa que es posible que una copia más grande de ellos mismos pase a través de un agujero en su interior. Los cinco que no se sabe que tengan esta propiedad son: rombicosidodecaedro girado , rombicosidodecaedro parabigirado , rombicosidodecaedro metabigirado , rombicosidodecaedro trigirado y rombicosidodecaedro parabigirado disminuido . ^[13]
• De todos los sólidos de Johnson, la girobicúpula cuadrada alargada (también llamada pseudorrombicuboctaedro) es única por ser localmente uniforme en sus vértices: hay cuatro caras en cada vértice y su disposición es siempre la misma: tres cuadrados y un triángulo. Sin embargo, no es transitiva en sus vértices , ya que tiene diferente isometría en diferentes vértices, lo que la convierte en un sólido de Johnson en lugar de un sólido de Arquímedes . ^{[14] [15] [16]}

Véase también

• Lista de sólidos de Johnson
• Johnson, que estuvo a punto de estrellarse, es sólido
• Politopo ciego

Referencias

1. Diudea, MV (2018). Cúmulos poliédricos de múltiples capas. Materiales de carbono: química y física. Vol. 10. Springer. p. 39. doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2.
2. Litchenberg, Dorovan R. (1988). "Pirámides, prismas, antiprismas y deltaedros". El profesor de matemáticas . 81 (4): 261–265. doi :10.5951/MT.81.4.0261. JSTOR  27965792.
3. Boissonnat, JD; Yvinec, M. (junio de 1989). "Explorando una escena de poliedros no convexos". Actas del quinto simposio anual sobre geometría computacional . págs. 237–246. doi :10.1145/73833.73860. ISBN . 0-89791-318-3.
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Enlaces externos

• Gagnon, Sylvain (1982). "Les polyèdres convexes aux faces régulières" [Poliedros convexos de caras regulares] (PDF) . Topología estructural (6): 83–95.
• Modelos de papel de poliedros Archivado el 26 de febrero de 2013 en Wayback Machine Muchos enlaces
• Sólidos Johnson de George W. Hart.
• Imágenes de los 92 sólidos, categorizadas, en una página
• Weisstein, Eric W. "Sólido de Johnson". MathWorld .
• Modelos VRML de sólidos de Johnson por Jim McNeill
• Modelos VRML de sólidos de Johnson de Vladimir Bulatov
• El proyecto de descubrimiento de la policora CRF intenta descubrir la policora CRF Archivado el 31 de octubre de 2020 en Wayback Machine ( Politopolítopos convexos de 4 dimensiones con polígonos regulares como caras bidimensionales ), una generalización de los sólidos de Johnson al espacio de 4 dimensiones
• https://levskaya.github.io/polyhedronisme/ un generador de poliedros y operaciones de Conway aplicadas a ellos, incluidos los sólidos de Johnson.