Poliedro uniforme dual

Un poliedro uniforme dual es el dual de un poliedro uniforme . Mientras que un poliedro uniforme es transitivo por vértices , un poliedro uniforme dual es transitivo por caras .

Enumeración

Los poliedros transitivos de caras comprenden un conjunto de 9 poliedros regulares, dos conjuntos finitos que comprenden 66 poliedros no regulares y dos conjuntos infinitos:

• 5 sólidos platónicos convexos regulares : tetraedro regular , cubo , octaedro regular , dodecaedro regular e icosaedro regular . El octaedro regular es dual del cubo y el icosaedro regular es dual del icosaedro regular. El tetraedro regular es autodual , es decir, su dual es el propio tetraedro regular. ^[1]
• 4 sólidos de Kepler-Poinsot con forma de estrella regular : gran dodecaedro , pequeño dodecaedro estrellado , gran icosaedro y gran dodecaedro estrellado . El gran dodecaedro es dual del pequeño dodecaedro estrellado, y el gran icosaedro es dual del gran dodecaedro estrellado.
• 13 sólidos catalanes convexos , que son duales a los sólidos arquimedianos convexos uniformes .
• 53 poliedros estelares, que son duales a los poliedros estelares uniformes .
• La serie infinita de bipirámides , que son duales a los prismas uniformes , tanto convexos como estrellados.
• La serie infinita de trapezoedros , que son duales a los antiprismas uniformes , tanto convexos como estrellados.

Wenninger describe el conjunto completo, junto con instrucciones para construir modelos, en su libro Dual Models .

Construcción de Dorman Luke

La ilustración aquí muestra la figura del vértice (roja) del cuboctaedro que se utiliza para derivar la cara correspondiente (azul) del dodecaedro rómbico .

Para un poliedro uniforme , cada cara del poliedro dual puede derivarse de la figura del vértice correspondiente del poliedro original utilizando la construcción de Dorman Luke . ^[2] La construcción de Dorman Luke procede de la siguiente manera:

1. Marca los puntos A , B , C , D de cada arista conectada al vértice V (en este caso, los puntos medios) tales que VA = VB = VC = VD .
2. Dibuje la figura del vértice ABCD .
3. Dibuja el círculo circunscrito de ABCD .
4. Dibuje la línea tangente al círculo circunscrito en cada esquina A , B , C , D.
5. Marca los puntos E , F , G , H , donde se encuentran cada dos líneas tangentes adyacentes.

Los segmentos EF , FG , GH y HE ya están dibujados como partes de las rectas tangentes. El polígono EFGH es la cara del poliedro dual que corresponde al vértice original V.

En este ejemplo, el tamaño de la figura del vértice se eligió de modo que su circunferencia circunscrita se encuentre en la interesfera del cuboctaedro, que también se convierte en la interesfera del dodecaedro rómbico dual. La construcción de Dorman Luke solo se puede utilizar cuando un poliedro tiene una interesfera tal que la figura del vértice tiene una circunferencia circunscrita. Por ejemplo, se puede aplicar a los poliedros uniformes .

Véase también

• Lista de poliedros uniformes

Notas

1. Herrmann y Sally (2013), pág. 257.
2. • Cundy y Rollett (1961), pág. 117
   • Wenninger (1983), pág. 30

Referencias

• Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961), Modelos matemáticos (2.ª ed.), Oxford: Clarendon Press, MR  0124167.
• Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), "Dualidad de poliedros", Revista internacional de educación matemática en ciencia y tecnología , 36 (6): 617–642, doi :10.1080/00207390500064049, S2CID  120818796.
• Herrmann, Diane L.; Sally, Paul J. (2013). Número, forma y simetría: Introducción a la teoría de números, geometría y teoría de grupos. CRC Press. ISBN 978-1-4665-5464-1.
• Wenninger, Magnus (1974). Modelos de poliedros . Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
• Wenninger, Magnus (1983). Modelos duales . Cambridge University Press. ISBN 0-521-54325-8.