El dodecaedro chato tiene 92 caras (la mayor parte de los 13 sólidos de Arquímedes): 12 son pentágonos y las otras 80 son triángulos equiláteros . También tiene 150 aristas y 60 vértices.
Kepler lo nombró por primera vez en latín como dodecaedro simum en 1619 en sus Harmonices Mundi . HSM Coxeter , señalando que podría derivarse igualmente del dodecaedro o del icosaedro, lo llamó icosidodecaedro chato , con un símbolo de Schläfli extendido vertical y un símbolo de Schläfli plano sr{5,3}.
El ángulo diédrico triángulo-triángulo viene dado por
El ángulo diédrico triángulo-pentágono viene dado por
Propiedades métricas
Para un dodecaedro chato cuya longitud de borde es 1, el área de la superficie es
Hay dos esferas inscritas, una que toca las caras triangulares y otra, un poco más pequeña, que toca las caras pentagonales. Sus radios son, respectivamente:
Las cuatro raíces reales positivas de la ecuación sextica en R 2
El dodecaedro chato tiene la esfericidad más alta de todos los sólidos de Arquímedes. Si la esfericidad se define como la relación entre el volumen al cuadrado y el área de la superficie al cubo, multiplicada por una constante de 36 π (donde esta constante hace que la esfericidad de una esfera sea igual a 1), la esfericidad del dodecaedro chato es aproximadamente 0,947. [1]
Proyecciones ortogonales
El dodecaedro chato no tiene simetría puntual , por lo que el vértice del frente no corresponde a un vértice opuesto en la parte posterior.
El dodecaedro chato tiene dos proyecciones ortogonales especialmente simétricas como se muestra a continuación, centradas en dos tipos de caras: triángulos y pentágonos, correspondientes a los planos A 2 y H 2 de Coxeter .
Relaciones geométricas
Dodecaedro, rombicosidodecaedro y dodecaedro chato ( expansión y torsión animadas )
Alternancia uniforme de un icosidodecaedro truncado
El dodecaedro chato se puede generar tomando las doce caras pentagonales del dodecaedro y tirando de ellas hacia afuera para que ya no se toquen. A una distancia adecuada, esto puede crear el rombicosidodecaedro rellenando caras cuadradas entre los bordes divididos y caras triangulares entre los vértices divididos. Pero para la forma chata, saque un poco menos las caras pentagonales, solo agregue las caras triangulares y deje los otros espacios vacíos (los otros espacios son rectángulos en este punto). Luego aplica una rotación igual a los centros de los pentágonos y triángulos, continuando la rotación hasta que los espacios puedan llenarse con dos triángulos equiláteros. (El hecho de que la cantidad adecuada para sacar las caras sea menor en el caso del dodecaedro chato se puede ver de dos maneras: el circunradio del dodecaedro chato es más pequeño que el del icosidodecaedro; o, la longitud del borde del los triángulos equiláteros formados por los vértices divididos aumentan cuando se rotan las caras pentagonales.)
El dodecaedro chato también puede derivarse del icosidodecaedro truncado mediante el proceso de alternancia . Sesenta de los vértices del icosidodecaedro truncado forman un poliedro topológicamente equivalente a un dodecaedro chato; los sesenta restantes forman su imagen especular. El poliedro resultante es transitivo por vértices pero no uniforme.
Alternativamente, combinar los vértices del dodecaedro chato dado por las coordenadas cartesianas (arriba) y su espejo formará un icosidodecaedro truncado semirregular. Las comparaciones entre estos poliedros regulares y semirregulares se muestran en la figura de la derecha.
Superposición de icosidodecaedros truncados regulares y semirregulares y dodecaedros chatos
¿Dónde está la proporción áurea ? Los espejos tanto del icosidodecaedro truncado regular como de este dodecaedro chato alternativo se obtienen cambiando las referencias pares e impares a las permutaciones de signo y posición.
Poliedros y mosaicos relacionados
Este poliedro semirregular es miembro de una secuencia de poliedros desairados y mosaicos con figura de vértice (3.3.3.3.n ) y diagrama de Coxeter-Dynkin.. Estas figuras y sus duales tienen ( n 32) simetría rotacional , estando en el plano euclidiano para n = 6, y en el plano hiperbólico para cualquier n superior . Se puede considerar que la serie comienza con n = 2, con un conjunto de caras degeneradas en digones .
Animación de transformación de polígono plano a poliedro
dodecaedro chato giratorio ccw y cw
Referencias
^ Aravind, PK (marzo de 2011), "¿Cuán esféricos son los sólidos de Arquímedes y sus duales?", The College Mathematics Journal , 42 (2): 98–107, doi :10.4169/college.math.j.42.2.098
Jayatilake, Udaya (marzo de 2005). "Cálculos sobre poliedros regulares de caras y vértices". Gaceta Matemática . 89 (514): 76–81. doi :10.1017/S0025557200176818. S2CID 125675814.
Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)
Cromwell, P. (1997). Poliedros . Reino Unido: Cambridge. Págs. 79–86 Sólidos de Arquímedes . ISBN 0-521-55432-2.