figura isotoxal

Politopo o mosaico con un tipo de borde

En geometría , un politopo (por ejemplo, un polígono o un poliedro ) o un mosaico es isotoxal (del griego τόξον  'arco') o transitivo de aristas si sus simetrías actúan transitivamente sobre sus aristas . Informalmente, esto significa que solo hay un tipo de borde para el objeto: dados dos bordes, hay una traslación , rotación y/o reflexión que moverá un borde al otro mientras deja la región ocupada por el objeto sin cambios.

Polígonos isotoxales

Un polígono isotoxal es un polígono de lados pares, es decir, equilátero , pero no todos los polígonos equiláteros son isotoxales. Los duales de polígonos isotoxales son polígonos isogonales . Los isotoxales -gons son centralmente simétricos , por lo que también lo son zonogons . ${\displaystyle 4n}$

En general, un -gón isotoxal (no regular) tiene simetría diédrica . Por ejemplo, un rombo (no cuadrado) es un " × -gon" (cuadrilátero) isotoxal con simetría. Todos los -gons regulares (también con impar ) son isotoxales y tienen el doble del orden mínimo de simetría: un -gon regular tiene simetría diédrica. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{2},(^{*}22)}$ ${\displaystyle {\color {royalblue}n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$

Un -gón isotoxal con un ángulo interno externo se puede denotar como El ángulo interno interno puede ser menor o mayor que hacer polígonos convexos o cóncavos, respectivamente. ${\displaystyle {\mathbf {2}}n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \{n_{\alpha }\}.}$ ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle 180}$ ${\displaystyle {\color {royalblue}^{\mathsf {o}}},}$

Una estrella -gón ${\displaystyle {\color {royalblue}{\mathbf {2}}n}}$ también puede ser isotoxal, denotada por con y con el máximo común divisor donde es el número de giro o densidad . ^[1] Los vértices internos cóncavos se pueden definir para Si luego se "reduce" a un compuesto de copias rotadas de ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\},}$ ${\displaystyle q\leq n-1}$ ${\displaystyle \gcd(n,q)=1,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q<n/2.}$ ${\displaystyle D=\gcd(n,q)\geq 2,}$ ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}=\{(Dm/Dp)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle D\{(m/p)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{(m/p)_{\alpha }\}.}$

Precaución:

Los vértices de no siempre se colocan como los de mientras que los vértices del regular se colocan como los del regular ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{n_{\alpha }\},}$ ${\displaystyle \{n/q\}}$ ${\displaystyle \{n\}.}$

Se puede definir un conjunto de mosaicos "uniformes" , en realidad mosaicos isogonales que utilizan polígonos isotoxales como caras menos simétricas que las regulares.

Poliedros y mosaicos isotoxales.

Los poliedros regulares son isoédricos (transitivos de caras), isogonales (transitivos de vértices) e isotoxales (transitivos de aristas).

Los poliedros cuasiregulares , como el cuboctaedro y el icosidodecaedro , son isogonales e isotoxales, pero no isoédricos. Sus duales, incluidos el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico , son isoédricos e isotoxales, pero no isogonales.

No todos los poliedros o mosaicos bidimensionales construidos a partir de polígonos regulares son isotoxales. Por ejemplo, el icosaedro truncado (el conocido balón de fútbol) no es isotoxal, ya que tiene dos tipos de aristas: hexágono-hexágono y hexágono-pentágono, y no es posible que una simetría del sólido mueva una arista hexágono-hexágono sobre un Borde hexagonal-pentágono.

Un poliedro isotoxal tiene el mismo ángulo diédrico en todas sus aristas.

El dual de un poliedro convexo es también un poliedro convexo. ^[2]

El dual de un poliedro no convexo también es un poliedro no convexo. ^[2] (Por contraposición.)

El dual de un poliedro isotoxal también es un poliedro isotoxal. (Consulte el artículo Poliedro dual ).

Hay nueve poliedros isotoxales convexos : los cinco sólidos platónicos ( regulares ) , los dos núcleos comunes ( cuasiregulares ) de los sólidos platónicos duales y sus dos duales.

Hay catorce poliedros isotoxales no convexos: los cuatro poliedros (regulares) de Kepler-Poinsot , los dos núcleos comunes (cuasiregulares) de los poliedros duales de Kepler-Poinsot y sus dos duales, más los tres poliedros en estrella ditrigonales cuasiregulares (3 | pq ) , y sus tres duales.

Existen al menos cinco compuestos poliédricos isotoxales: los cinco compuestos poliédricos regulares ; sus cinco duales son también los cinco compuestos poliédricos regulares (o un gemelo quiral).

Hay al menos cinco mosaicos poligonales isotoxales del plano euclidiano e infinitos mosaicos poligonales isotoxales del plano hiperbólico, incluidas las construcciones de Wythoff de los grupos de mosaicos hiperbólicos regulares { p , q } y no derechos ( pqr ).

Ver también

• Tabla de ángulos diédricos del poliedro.
• Transitivo de vértice
• transitivo de cara
• Transitivo de celda

Referencias

1. Mosaicos y patrones , Branko Gruenbaum, GC Shephard, 1987, 2.5 Mosaicos que utilizan polígonos de estrellas, págs.
2. "dualidad". maths.ac-noumea.nc . Consultado el 30 de septiembre de 2020 .

• Peter R. Cromwell, Poliedros , Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-55432-2 , Transitividad, pág. 371 
• Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y patrones . Nueva York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(6.4 Teselados isotoxales, págs. 309–321)
• Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954), "Poliedros uniformes", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas , 246 (916): 401–450, Bibcode : 1954rspta.246..401c, doi : 10.1098/rsta.1954.0003, ISSN  0080-4614, JSTOR  91532, MR  0062446, S2cid  202575183