En geometría , un compuesto poliédrico es una figura que se compone de varios poliedros que comparten un centro común . Son los análogos tridimensionales de compuestos poligonales como el hexagrama .
Los vértices exteriores de un compuesto se pueden conectar para formar un poliedro convexo llamado casco convexo . Un compuesto es una faceta de su casco convexo. [ cita necesaria ]
Otro poliedro convexo está formado por el pequeño espacio central común a todos los miembros del compuesto. Este poliedro puede utilizarse como núcleo de un conjunto de estelaciones .
Un compuesto poliédrico regular se puede definir como un compuesto que, como un poliedro regular , es transitivo por vértices , transitivo por aristas y transitivo por caras . A diferencia del caso de los poliedros, esto no equivale a que el grupo de simetría actúe transitivamente sobre sus banderas ; el compuesto de dos tetraedros es el único compuesto regular con esa propiedad. Hay cinco compuestos regulares de poliedros:
El más conocido es el compuesto regular de dos tetraedros , a menudo llamado stella octangula , nombre que le dio Kepler . Los vértices de los dos tetraedros definen un cubo , y la intersección de los dos define un octaedro regular , que comparte los mismos planos de caras que el compuesto. Así, el compuesto de dos tetraedros es una estelación del octaedro y, de hecho, la única estelación finita del mismo.
El compuesto regular de cinco tetraedros viene en dos versiones enantiomórficas , que juntas forman el compuesto regular de diez tetraedros. [1] El compuesto regular de diez tetraedros también puede verse como un compuesto de cinco stellae octangulae. [1]
Cada uno de los compuestos tetraédricos regulares es autodual o dual con su gemelo quiral; el compuesto regular de cinco cubos y el compuesto regular de cinco octaedros son duales entre sí.
Por lo tanto, los compuestos poliédricos regulares también pueden considerarse compuestos duales regulares .
La notación de Coxeter para compuestos regulares se proporciona en la tabla anterior, incorporando símbolos de Schläfli . El material dentro de los corchetes, [ d { p , q }], denota los componentes del compuesto: d separa { p , q }'s. El material antes de los corchetes denota la disposición de los vértices del compuesto: c { m , n }[ d { p , q }] es un compuesto de d { p , q } que comparten los vértices de { m , n } contados c veces. El material después de los corchetes denota la disposición de las facetas del compuesto: [ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparten las caras de { s , t } contadas e veces. Estos se pueden combinar: así c { m , n }[ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparten los vértices de { m , n } contados c veces y las caras de { s , t } contadas e veces. Esta notación se puede generalizar a compuestos en cualquier número de dimensiones. [2]
Un compuesto dual está compuesto por un poliedro y su dual, dispuestos recíprocamente alrededor de una media esfera común , de modo que el borde de un poliedro intersecta el borde dual del poliedro dual. Hay cinco compuestos duales de los poliedros regulares.
El núcleo es la rectificación de ambos sólidos. El casco es el dual de esta rectificación, y sus caras rómbicas tienen como diagonales las aristas que se cruzan de los dos sólidos (y tienen sus cuatro vértices alternos). Para los sólidos convexos, esta es la cáscara convexa .
El tetraedro es autodual, por lo que el compuesto dual de un tetraedro con su dual es el octaedro estrellado regular .
Los compuestos duales octaédricos e icosaédricos son las primeras estelaciones del cuboctaedro y el icosidodecaedro , respectivamente.
El compuesto dual del pequeño dodecaedro estrellado (o gran dodecaedro) tiene el gran dodecaedro completamente interior al pequeño dodecaedro estrellado. [3]
En 1976, John Skilling publicó Compuestos uniformes de poliedros uniformes, que enumeraba 75 compuestos (incluidos 6 como conjuntos prismáticos infinitos de compuestos, # 20-# 25) hechos de poliedros uniformes con simetría rotacional. (Cada vértice es transitivo entre vértices y cada vértice es transitivo con todos los demás vértices). Esta lista incluye los cinco compuestos regulares anteriores. [1]
Los 75 compuestos uniformes se enumeran en la siguiente tabla. La mayoría se muestran coloreados de forma singular por cada elemento del poliedro. Algunos pares quirales de grupos de caras están coloreados por la simetría de las caras dentro de cada poliedro.
Dos poliedros que son compuestos pero que tienen sus elementos rígidamente fijados en su lugar son el icosidodecaedro complejo pequeño (compuesto de icosaedro y gran dodecaedro ) y el icosidodecaedro grande complejo (compuesto de dodecaedro estrellado pequeño y icosaedro grande ). Si se generaliza la definición de poliedro uniforme , son uniformes.
La sección de pares de enantiomorfos en la lista de Skilling no contiene el compuesto de dos grandes dodecicosidodecaedros chatos , ya que las caras del pentagrama coincidirían. Eliminando las caras coincidentes se obtiene el compuesto de veinte octaedros .
En 4 dimensiones, hay una gran cantidad de compuestos regulares de politopos regulares. Coxeter enumera algunos de ellos en su libro Politopos regulares . [4] McMullen añadió seis en su artículo New Regular Compounds of 4-Polytopes . [5]
Autoduales:
Parejas duales:
Compuestos uniformes y duales con 4 politopos convexos:
El superíndice (var) en las tablas anteriores indica que los compuestos marcados son distintos de otros compuestos con el mismo número de constituyentes.
Compuestos de estrella autodual:
Pares duales de estrellas compuestas:
Estrellas compuestas uniformes y duales :
Posiciones duales:
En términos de teoría de grupos , si G es el grupo de simetría de un compuesto poliédrico, y el grupo actúa transitivamente sobre los poliedros (de modo que cada poliedro puede enviarse a cualquiera de los demás, como en los compuestos uniformes), entonces si H es el estabilizador de un solo poliedro elegido, los poliedros se pueden identificar con el espacio orbital G / H – la clase lateral gH corresponde a qué poliedro g envía el poliedro elegido.
Hay dieciocho familias de dos parámetros de teselados compuestos regulares del plano euclidiano. En el plano hiperbólico, se conocen cinco familias de un solo parámetro y diecisiete casos aislados, pero no se ha enumerado la totalidad de esta lista.
Las familias de compuestos euclidiana e hiperbólica 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p un número entero) son análogas a la stella octangula esférica , 2 {3,3}.
Una familia conocida de panales compuestos euclidianos regulares en cualquier número de dimensiones es una familia infinita de compuestos de panales hipercúbicos , todos compartiendo vértices y caras con otro panal hipercúbico. Este compuesto puede tener cualquier número de panales hipercúbicos.
También hay compuestos para mosaicos duales y regulares . Un ejemplo sencillo es el compuesto E 2 de un mosaico hexagonal y su mosaico triangular dual , que comparte sus aristas con el mosaico trihexagonal deltoidal . Los compuestos euclidianos de dos panales hipercúbicos son regulares y duales.
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