Simetría diédrica en tres dimensiones.

En geometría , la simetría diédrica en tres dimensiones es una de las tres secuencias infinitas de grupos de puntos en tres dimensiones que tienen un grupo de simetría que como grupo abstracto es un grupo diédrico Dih _n (para n ≥ 2).

Tipos

Hay 3 tipos de simetría diédrica en tres dimensiones, cada una de las cuales se muestra a continuación en 3 notaciones: notación de Schönflies , notación de Coxeter y notación orbifold .

quiral

D _n , [ n ,2] ⁺ , (22 n ) de orden 2 n - simetría diédrica o grupo para-n-gonal (grupo abstracto: Dih _n ).

aquiral

D _nh , [ n ,2], (*22 n ) de orden 4 n - simetría prismática o grupo orto-n-gonal completo (grupo abstracto: Dih _n × Z ₂ ).
D _nd (o D _nv ), [2 n ,2 ⁺ ], (2* n ) de orden 4 n - simetría antiprismática o grupo giro-n-gonal completo (grupo abstracto: Dih _{2 n} ).

Para un n dado , los tres tienen n simetría rotacional alrededor de un eje ( la rotación en un ángulo de 360°/ n no cambia el objeto) y simetría rotacional doble alrededor de un eje perpendicular, por lo tanto, aproximadamente n de esos. Para n = ∞, corresponden a tres grupos de Friso . Se utiliza la notación de Schönflies , con la notación de Coxeter entre paréntesis y la notación orbifold entre paréntesis. El término horizontal (h) se utiliza con respecto a un eje de rotación vertical.

En 2D, el grupo de simetría D _n incluye reflexiones en líneas. Cuando el plano 2D está incrustado horizontalmente en un espacio 3D, dicha reflexión puede verse como la restricción a ese plano de una reflexión a través de un plano vertical, o como la restricción al plano de una rotación alrededor de la línea de reflexión, en 180°. °. En 3D, se distinguen las dos operaciones: el grupo D _n contiene sólo rotaciones, no reflexiones. El otro grupo es la simetría piramidal C _nv del mismo orden, 2 n .

Con simetría de reflexión en un plano perpendicular al eje de rotación n veces, tenemos D _nh , [n], (*22 n ).

D _nd (o D _nv ), [2 n ,2 ⁺ ], (2* n ) tiene planos especulares verticales entre los ejes de rotación horizontal, no a través de ellos. Como resultado, el eje vertical es un eje de reflexión del rotor de 2 n veces .

D _nh es el grupo de simetría de un prisma regular de n lados y también de una bipirámide regular de n lados . D _nd es el grupo de simetría de un antiprisma regular de n lados , y también de un trapezoedro regular de n lados . D _n es el grupo de simetría de un prisma parcialmente girado.

n = 1 no se incluye porque las tres simetrías son iguales entre sí:

D ₁ y C ₂ : grupo de orden 2 con una única rotación de 180°.
D _{1 h} y C _{2 v} : grupo de orden 4 con una reflexión en un plano y una rotación de 180° alrededor de una recta en ese plano.
D _{1 d} y C _{2 h} : grupo de orden 4 con una reflexión en un plano y una rotación de 180° alrededor de una recta perpendicular a ese plano.

Para n = 2 no hay un eje principal y dos ejes adicionales, sino tres equivalentes.

D ₂ , [2,2] ⁺ , (222) de orden 4 es uno de los tres tipos de grupos de simetría con el grupo de cuatro de Klein como grupo abstracto. Tiene tres ejes de rotación perpendiculares de 2 pliegues. Es el grupo de simetría de un cuboide con una S escrita en dos caras opuestas, en la misma orientación.
D _{2 h} , [2,2], (*222) de orden 8 es el grupo de simetría de un cuboide.
D _{2 d} , [4,2 ⁺ ], (2*2) de orden 8 es el grupo de simetría de, por ejemplo:
- Un cuboide cuadrado con una diagonal dibujada en una cara cuadrada y una diagonal perpendicular en la otra.
- Un tetraedro regular escalado en la dirección de una línea que conecta los puntos medios de dos aristas opuestas ( D _{2 d} es un subgrupo de T d ; al escalar, reducimos la simetría).

Subgrupos

Para D _nh , [n,2], (*22n), ordene 4n

C _nh , [n ⁺ ,2], (n*), orden 2n
C _nv , [n,1], (*nn), orden 2n
D _n , [n,2] ⁺ , (22n), orden 2n

Para D _nd , [2n,2 ⁺ ], (2*n), ordene 4n

S _{2 n} , [2n ⁺ ,2 ⁺ ], (n×), orden 2n
C _nv , [n ⁺ ,2], (n*), orden 2n
D _n , [n,2] ⁺ , (22n), orden 2n

D _nd también es un subgrupo de D _{2 nh} .

Ejemplos

re _nh , [ n ], (*22 n ):

Re _{5 h} , [5], (*225):

re _{4 re} , [8,2 ⁺ ], (2*4):

D _{5 d} , [10,2 ⁺ ], (2*5):

D _{17 d} , [34,2 ⁺ ], (2*17):

Ver también

Referencias

Coxeter , HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y Relaciones para Grupos Discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11,5 grupos de Coxeter esféricos
Conway, John Horton ; Huson, Daniel H. (2002), "La notación Orbifold para grupos bidimensionales", Química estructural , 13 (3), Springer Países Bajos: 247–257, doi :10.1023/A:1015851621002, S2CID 33947139

enlaces externos

Descripción gráfica de los 32 grupos de puntos cristalográficos: forman las primeras partes (aparte de omitir n = 5) de las 7 series infinitas y 5 de los 7 grupos de puntos 3D separados.