En geometría tridimensional , hay cuatro series infinitas de grupos de puntos en tres dimensiones ( n ≥1) con simetría rotacional o reflexiva n veces alrededor de un eje (en un ángulo de 360°/ n ) que no cambia el objeto.
Son los grupos de simetría finitos de un cono . Para n = ∞ corresponden a cuatro grupos de frisos . Se utiliza la notación de Schönflies . Los términos horizontal (h) y vertical (v) implican la existencia y dirección de reflexiones con respecto a un eje de simetría vertical. También se muestran la notación de Coxeter entre paréntesis y, entre paréntesis, la notación orbifold .
Ejemplo de árbol de subgrupos de simetría para simetría diédrica: D 4h , [4,2], (*224)
Tipos
quiral
C n , [n] + , ( nn ) de orden n -simetría rotacional de n veces - grupo acro-n-gonal (grupo abstracto Z n ); para n =1: sin simetría ( grupo trivial )
C nh , [n + ,2], ( n * ) de orden 2 n - simetría prismática o grupo orto-n-gonal (grupo abstracto Z n × Dih 1 ); para n =1 esto se denota por C s (1*) y se llama simetría de reflexión , también simetría bilateral . Tiene simetría de reflexión con respecto a un plano perpendicular al eje de rotación n veces.
C nv , [n], (* nn ) de orden 2 n - simetría piramidal o grupo acro-n-gonal completo (grupo abstracto Dih n ); en biología C 2v se llama simetría biradial . Para n =1 tenemos nuevamente C s (1*). Tiene planos de espejo verticales. Este es el grupo de simetría de una pirámide regular de n lados.
S 2n , [2 + ,2n + ], ( n ×) de orden 2 n - grupo giro-n-gonal (no confundir con grupos simétricos , para los cuales se usa la misma notación; grupo abstracto Z 2n ); Tiene un eje de reflexión del rotor de 2 n veces, también llamado eje de rotación impropia de 2 n veces, es decir, el grupo de simetría contiene una combinación de una reflexión en el plano horizontal y una rotación en un ángulo de 180°/n. Así, al igual que D nd , contiene un número de rotaciones impropias sin contener las rotaciones correspondientes.
C 2h , [2,2 + ] (2*) y C 2v , [2], (*22) de orden 4 son dos de los tres tipos de grupos de simetría 3D con el grupo de cuatro de Klein como grupo abstracto. C 2v se aplica, por ejemplo, a una losa rectangular con su lado superior diferente del lado inferior.
Grupos de frisos
En el límite, estos cuatro grupos representan grupos de frisos planos euclidianos como C ∞ , C ∞h , C ∞v y S ∞ . Las rotaciones se convierten en traslaciones en el límite. También se pueden cortar porciones del plano infinito y conectarlas formando un cilindro infinito.
Arenas, Donald E. (1993). "Sistemas cristalinos y geometría". Introducción a la Cristalografía . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. p. 165.ISBN 0-486-67839-3.
Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, John Horton Conway y Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5
Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11,5 grupos de Coxeter esféricos
