En matemáticas, un friso o patrón de friso es un diseño bidimensional que se repite en una dirección. El término se deriva de la arquitectura y las artes decorativas , donde se utilizan a menudo este tipo de patrones repetitivos. (Véase friso .) Los patrones de friso se pueden clasificar en siete tipos según sus simetrías. El conjunto de simetrías de un patrón de friso se denomina grupo de frisos .
Los grupos de frisos son grupos de líneas bidimensionales , que tienen repetición en una sola dirección. Están relacionados con los grupos de papel tapiz más complejos , que clasifican patrones que son repetitivos en dos direcciones, y los grupos cristalográficos , que clasifican patrones que son repetitivos en tres direcciones.
Formalmente, un grupo de frisos es una clase de grupos de simetría discretos infinitos de patrones en una franja (rectángulo de ancho infinito), por lo tanto, una clase de grupos de isometrías del plano o de una franja. Un grupo de simetría de un grupo de frisos contiene necesariamente traslaciones y puede contener reflexiones de deslizamiento , reflexiones a lo largo del eje largo de la franja, reflexiones a lo largo del eje angosto de la franja y rotaciones de 180° . Hay siete grupos de frisos, enumerados en la tabla de resumen. Muchos autores presentan los grupos de frisos en un orden diferente. [1] [2]
Los grupos de simetría reales dentro de un grupo de frisos se caracterizan por la distancia de traslación más pequeña y, para los grupos de frisos con reflexión de línea vertical o rotación de 180° (grupos 2, 5, 6 y 7), por un parámetro de desplazamiento que ubica el eje de reflexión o punto de rotación. En el caso de los grupos de simetría en el plano, los parámetros adicionales son la dirección del vector de traslación y, para los grupos de frisos con reflexión de línea horizontal, reflexión de deslizamiento o rotación de 180° (grupos 3 a 7), la posición del eje de reflexión o punto de rotación en la dirección perpendicular al vector de traslación. Por lo tanto, hay dos grados de libertad para el grupo 1, tres para los grupos 2, 3 y 4, y cuatro para los grupos 5, 6 y 7.
Para dos de los siete grupos de frisos (grupos 1 y 4) los grupos de simetría se generan individualmente , para cuatro (grupos 2, 3, 5 y 6) tienen un par de generadores, y para el grupo 7 los grupos de simetría requieren tres generadores. Un grupo de simetría en el grupo de frisos 1, 2, 3 o 5 es un subgrupo de un grupo de simetría en el último grupo de frisos con la misma distancia de traslación. Un grupo de simetría en el grupo de frisos 4 o 6 es un subgrupo de un grupo de simetría en el último grupo de frisos con la mitad de la distancia de traslación. Este último grupo de frisos contiene los grupos de simetría de los patrones periódicos más simples en la franja (o el plano), una fila de puntos. Cualquier transformación del plano que deje este patrón invariante puede descomponerse en una traslación, ( x , y ) ↦ ( n + x , y ) , seguida opcionalmente por una reflexión en el eje horizontal, ( x , y ) ↦ ( x , − y ) , o en el eje vertical, ( x , y ) ↦ (− x , y ) , siempre que este eje se elija a través o a mitad de camino entre dos puntos, o una rotación de 180°, ( x , y ) ↦ (− x , − y ) (ídem). Por lo tanto, en cierto modo, este grupo de frisos contiene los grupos de simetría "más grandes", que consisten en todas esas transformaciones.
La inclusión de la condición discreta es para excluir el grupo que contiene todas las traslaciones y los grupos que contienen traslaciones arbitrariamente pequeñas (por ejemplo, el grupo de traslaciones horizontales por distancias racionales). Incluso sin escalar y desplazar, hay infinitos casos, por ejemplo, al considerar números racionales cuyos denominadores son potencias de un número primo dado.
La inclusión de la condición infinita es para excluir los grupos que no tienen traducciones:
Hay siete subgrupos distintos (hasta el escalado y desplazamiento de los patrones) en el grupo de frisos discretos generado por una traslación, una reflexión (a lo largo del mismo eje) y una rotación de 180°. Cada uno de estos subgrupos es el grupo de simetría de un patrón de friso, y los patrones de muestra se muestran en la Fig. 1. Los siete grupos diferentes corresponden a las 7 series infinitas de grupos de puntos axiales en tres dimensiones , con n = ∞. [3]
Se identifican en la siguiente tabla utilizando la notación Hermann-Mauguin , la notación Coxeter , la notación Schönflies , la notación orbifold , apodos creados por el matemático John H. Conway y, finalmente, una descripción en términos de traslación, reflexiones y rotaciones.
De los siete grupos de frisos, sólo hay cuatro hasta el isomorfismo . Dos son de generación simple e isomorfos a ; cuatro de ellos son de generación doble, entre los cuales uno es abeliano y tres son no abelianos e isomorfos a , el grupo diedro infinito ; y uno de ellos tiene tres generadores. [5]
Los grupos se pueden clasificar por su tipo de cuadrícula o red bidimensional. [6] El hecho de que la red sea oblicua significa que la segunda dirección no necesita ser ortogonal a la dirección de repetición.
Existen herramientas gráficas de software que crean patrones 2D utilizando grupos de frisos. Normalmente, todo el patrón se actualiza automáticamente en respuesta a las modificaciones de la tira original.
